Valeur absolue (algèbre) - Absolute value (algebra)

En algèbre , une valeur absolue (également appelée évaluation , grandeur ou norme , bien que « norme » se réfère généralement à un type spécifique de valeur absolue sur un champ ) est une fonction qui mesure la «taille» des éléments dans un champ ou une intégrale domaine . Plus précisément, si D est un domaine intégral, alors une valeur absolue est toute application | x | de D aux nombres réels R satisfaisant:

(non-négativité)
si et seulement si ( définition positive )
(multiplicativité)
( inégalité triangulaire )

Il résulte de ces axiomes que | 1 | = 1 et | -1 | = 1. De plus, pour tout entier positif n ,

| n | = | 1 + 1 + ... + 1 ( n fois) | = | −1 - 1 - ... - 1 ( n fois) | ≤  n .

La " valeur absolue " classique est celle dans laquelle, par exemple, | 2 | = 2, mais de nombreuses autres fonctions remplissent les conditions énoncées ci-dessus, par exemple la racine carrée de la valeur absolue classique (mais pas son carré).

Une valeur absolue induit une métrique (et donc une topologie ) par

Exemples

  • La valeur absolue standard sur les entiers.
  • La valeur absolue standard sur les nombres complexes .
  • La valeur absolue p -adique sur les nombres rationnels .
  • Si R est le champ de fonctions rationnelles sur un champ F et est un élément fixe irréductible de R , alors ce qui suit définit une valeur absolue sur R : car dans R définissent être , où et

Types de valeur absolue

La valeur absolue triviale est la valeur absolue avec | x | = 0 lorsque x = 0 et | x | = 1 sinon. Chaque domaine intégral peut porter au moins la valeur absolue triviale. La valeur triviale est la seule valeur absolue possible sur un corps fini car tout élément non nul peut être élevé à une certaine puissance pour donner 1.

Si une valeur absolue satisfait la propriété la plus forte | x  +  y | ≤ max (| x |, | y |) pour tout x et y , alors | x | est appelée valeur absolue ultramétrique ou non archimédienne , et sinon valeur absolue archimédienne .

Des endroits

Si | x | 1 et | x | 2 sont deux valeurs absolues sur le même domaine intégral D , alors les deux valeurs absolues sont équivalentes si | x | 1 <1 si et seulement si | x | 2 <1 pour tout x . Si deux valeurs absolues non triviales sont équivalentes, alors pour un exposant e nous avons | x | 1 e = | x | 2 pour tout x . Élever une valeur absolue à une puissance inférieure à 1 entraîne une autre valeur absolue, mais augmenter à une puissance supérieure à 1 n'entraîne pas nécessairement une valeur absolue. (Par exemple, la mise au carré de la valeur absolue habituelle sur les nombres réels donne une fonction qui n'est pas une valeur absolue car elle enfreint la règle | x + y | ≤ | x | + | y |.) Valeurs absolues jusqu'à l'équivalence, ou dans en d'autres termes, une classe d'équivalence de valeurs absolues, s'appelle un lieu .

Le théorème de Ostrowski indique que les lieux triviaux des nombres rationnels Q sont l'ordinaire valeur absolue et la p -adique valeur absolue pour chaque prime p . Pour un nombre premier p donné , tout nombre rationnel q peut s'écrire p n ( a / b ), où a et b sont des entiers non divisibles par p et n est un entier. La valeur absolue p -adique de q est

Puisque la valeur absolue ordinaire et les valeurs absolues p -adiques sont des valeurs absolues selon la définition ci-dessus, elles définissent des lieux.

Évaluations

Si pour une valeur absolue ultramétrique et toute base b  > 1, on définit ν ( x ) = −log b | x | pour x  ≠ 0 et ν (0) = ∞, où ∞ est ordonné supérieur à tous les nombres réels, alors on obtient une fonction de D à R  ∪ {∞}, avec les propriétés suivantes:

  • ν ( x ) = ∞ ⇒ x = 0,
  • ν ( xy ) = ν ( x ) + ν ( y ),
  • ν ( x + y ) ≥ min (ν ( x ), ν ( y )).

Une telle fonction est connue sous le nom de valuation dans la terminologie de Bourbaki , mais d'autres auteurs utilisent le terme valuation pour valeur absolue et disent ensuite valuation exponentielle au lieu de valuation .

Complétions

Étant donné un domaine intégral D avec une valeur absolue, on peut définir les suites de Cauchy d'éléments de D par rapport à la valeur absolue en exigeant que pour tout ε> 0 il y ait un entier positif N tel que pour tous les entiers m , n > N on a | x m - x n | <ε. Les séquences de Cauchy forment un anneau sous addition et multiplication ponctuelle. On peut également définir des séquences nulles comme des séquences ( a n ) d'éléments de D telles que | un n | converge vers zéro. Les séquences nulles sont un idéal premier dans l'anneau des séquences de Cauchy, et l' anneau quotient est donc un domaine intégral. Le domaine D est intégré dans cet anneau de quotient, appelé complétion de D par rapport à la valeur absolue | x |.

Puisque les champs sont des domaines intégraux, il s'agit également d'une construction pour la complétion d'un champ par rapport à une valeur absolue. Pour montrer que le résultat est un champ, et pas seulement un domaine intégral, on peut soit montrer que les séquences nulles forment un idéal maximal , soit construire l'inverse directement. Ce dernier peut être facilement réalisé en prenant, pour tous les éléments non nuls de l'anneau quotient, une séquence partant d'un point au-delà du dernier élément zéro de la séquence. Tout élément différent de zéro de l'anneau de quotient différera par une séquence nulle d'une telle séquence, et en prenant une inversion ponctuelle, nous pouvons trouver un élément inverse représentatif.

Un autre théorème d' Alexander Ostrowski veut que tout champ complet par rapport à une valeur absolue d' Archimède est isomorphe soit au réel soit aux nombres complexes, et la valorisation est équivalente à celle habituelle. Le Gelfand-Tornheim théorème énonce que tous les champs d'une évaluation d' Archimède est isomorphe à un sous - corps de C , la valeur étant équivalente à la valeur absolue usuelle sur C .

Champs et domaines intégraux

Si D est un domaine intégral de valeur absolue | x |, alors on peut étendre la définition de la valeur absolue au champ des fractions de D en posant

En revanche, si F est un champ de valeur absolue ultramétrique | x |, alors l'ensemble des éléments de F tels que | x | ≤ 1 définit un anneau de l' évaluation , qui est un sous - anneau D de F telle que pour tout élément non nul x de F , au moins un des x ou x -1 appartient à D . Puisque F est un corps, D n'a pas de diviseur nul et est un domaine intégral. Il a un idéal maximal unique composé de tous les x tels que | x | <1, et est donc un anneau local .

Remarques

Références