théorie acoustique - Acoustic theory


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La théorie acoustique est un domaine scientifique qui se rapporte à la description des ondes sonores . Il découle de la dynamique des fluides . Voir l' acoustique de l' ingénierie approche.

La propagation des ondes sonores dans un fluide (tel que l' eau) peut être modélisé par une équation de continuité (conservation de la masse ) et une équation de mouvement (conservation de la dynamique ). Avec quelques simplifications, notamment une densité constante, ils peuvent être donnés comme suit:

où est la pression acoustique et est la vitesse d'écoulement vecteur est le vecteur des coordonnées spatiales , est le temps, est la densité de la masse statique du milieu et est le module de compressibilité du fluide. Le module en vrac peut être exprimée en termes de la densité et de la vitesse du son dans le milieu ( ) sous la forme

Si le champ de vitesse d'écoulement est irrotationnel , alors l' équation d'onde acoustique est une combinaison de ces deux ensembles d'équations d'équilibre et peut être exprimé en

où nous avons utilisé le vecteur Laplacien , . L'équation des ondes acoustiques (et les équations de masse et l' équilibre dynamique) sont souvent exprimés en termes d'un potentiel scalaire où . Dans ce cas , on écrit l'équation des ondes acoustiques

et l'équilibre de la dynamique et l'équilibre de masse sont exprimés en

Dérivation des équations gouvernantes

Les dérivations des équations ci-dessus pour les ondes dans un milieu acoustique sont donnés ci-dessous.

La conservation du moment

Les équations pour la conservation de la dynamique linéaire pour un milieu fluide sont

où est la force de corps par unité de masse, est la pression, et est la contrainte déviatorique . Si le contrainte de Cauchy , alors

où est le tenseur identité de rang 2.

Nous faisons plusieurs hypothèses pour dériver l'équation de l'équilibre dynamique pour un milieu acoustique. Ces hypothèses et les formes résultant des équations de momentum sont décrites ci-dessous.

Hypothèse 1: fluide newtonien

En acoustique, le milieu fluide est supposé être newtonienne . Pour un fluide newtonien, le tenseur de contrainte déviatorique est liée à la vitesse d'écoulement par

où est le cisaillement viscosité et est la viscosité apparente .

Par conséquent, la divergence est donnée par

En utilisant l'identité , nous avons

Les équations pour la conservation de l'impulsion peut alors s'écrire

Hypothèse 2: flux irrotationnel

Pour la plupart des problèmes d'acoustique , nous supposons que le flux est irrotationnel, à savoir la vorticité est égale à zéro. Dans ce cas

et l'équation de mouvement réduit à

Hypothèse 3: Aucune force de corps

Une autre hypothèse souvent faite est que l'effet des forces du corps sur le milieu fluide est négligeable. L'équation de mouvement puis simplifie en outre

Hypothèse 4: Aucune force visqueuses

En outre, si l'on suppose qu'il n'y a pas de forces visqueuses dans le milieu (la masse et les viscosités de cisaillement sont égales à zéro), l'équation de quantité de mouvement se présente sous forme

Hypothèse 5: Les petites perturbations

Une importante hypothèse simplificatrice pour des ondes acoustiques est que l'amplitude de la perturbation des grandeurs de champ est faible. Cette hypothèse conduit au signal linéaire ou petite équation des ondes acoustiques. Ensuite , nous pouvons exprimer les variables comme la somme des (moyenne dans le temps) champ moyen ( ) qui varie dans l' espace et un petit champ fluctuant ( ) qui varie dans l' espace et le temps. C'est

et

Ensuite, l'équation de mouvement peut être exprimée en

Étant donné que les fluctuations sont supposées être faible, les produits des termes de fluctuation peuvent être négligés (au premier ordre) et nous avons

Hypothèse 6: milieu homogène

Ensuite , nous partons du principe que le milieu est homogène; en ce sens que le temps moyenne des variables et ont zéro gradients, c. -à-

L'équation de mouvement devient alors

Hypothèse 7: Moyenne au repos

A ce stade , nous supposons que le milieu est au repos, ce qui implique que la vitesse moyenne d'écoulement est égal à zéro, à savoir . Ensuite , l'équilibre de l' élan réduit à

Laissant tomber les tildes et l' utilisation , nous obtenons la forme couramment utilisée de l'équation de mouvement acoustique

Conservation de la masse

L'équation de la conservation de la masse dans un volume de fluide (sans sources de masse ou puits) est donnée par

où est la masse volumique du fluide et est la vitesse d'écoulement.

L'équation de la conservation de la masse pour un milieu acoustique peut également être dérivé d'une manière similaire à celle utilisée pour la conservation du moment.

Hypothèse 1: Les petites perturbations

De l'hypothèse de petites perturbations que nous avons

et

Ensuite, l'équation du bilan de masse peut être écrit

Si nous négligeons plus élevé que les premiers termes d'ordre dans les fluctuations, l'équation du bilan de masse devient

Hypothèse 2: milieu homogène

Ensuite, nous partons du principe que le milieu est homogène, à savoir,

Ensuite, l'équation du bilan de masse prend la forme

Hypothèse 3: Moyenne au repos

A ce stade , nous supposons que le milieu est au repos, à savoir . Ensuite , l'équation du bilan de masse peut être exprimée en

Hypothèse 4: gaz parfaits, adiabatique réversible

Pour fermer le système d'équations nous avons besoin d' une équation d'état pour la pression. Pour ce faire , nous supposons que le milieu est un gaz idéal et toutes les ondes acoustiques compriment le milieu dans une adiabatique et réversible de manière. L'équation d'état peut alors être exprimé sous la forme de l'équation différentielle:

où est la chaleur spécifique à pression constante, est la chaleur spécifique à volume constant, et est la vitesse d'onde. La valeur de 1,4 si le milieu acoustique est de l' air.

Pour les petites perturbations

où est la vitesse du son dans le milieu.

Donc,

L'équilibre de la masse peut alors être écrite comme

Laissant tomber les tildes et la définition nous donne l'expression couramment utilisée pour le reste de la masse dans un milieu acoustique:

des équations d'administration en coordonnées cylindriques

Si nous utilisons un système de coordonnées cylindrique avec des vecteurs de base , puis le gradient de et la divergence de sont donnés par

où la vitesse d'écoulement a été exprimée .

Les équations pour la conservation de l' impulsion peut alors s'écrire

En termes de composants, ces trois équations pour la conservation de l' impulsion en coordonnées cylindriques sont

L'équation de la conservation de la masse peut être de la même écrit en coordonnées cylindriques comme

Temps harmonique équations acoustiques en coordonnées cylindriques

Les équations acoustiques pour la conservation de l' impulsion et la conservation de la masse sont souvent exprimées en temps harmonique forme (à fixe la fréquence ). Dans ce cas, les pressions et la vitesse d'écoulement sont supposés être temps des fonctions harmoniques de la forme

où est la fréquence. Le remplacement de ces expressions dans les équations qui régissent en coordonnées cylindriques nous donne la forme de fréquence fixe de la conservation du moment

et la forme de la fréquence fixe de la conservation de la masse

Cas particulier: Non z-dépendance

Dans le cas particulier où les quantités sont indépendantes de la z-coordonnons , nous pouvons éliminer pour obtenir

En supposant que la solution de cette équation peut être écrite comme

on peut écrire l'équation différentielle partielle

Le côté gauche n'est pas une fonction alors que le côté droit est pas une fonction de . Par conséquent,

où est une constante. Utilisation de la substitution

on a

L'équation de gauche est l' équation de Bessel , qui a la solution générale

où est l'cylindrique fonction de Bessel du premier type et sont des constantes indéterminées. L'équation à droite a la solution générale

où sont des constantes indéterminées. Ensuite , la solution de l'équation d'onde acoustique est

Les conditions aux limites sont nécessaires à ce stade pour déterminer et les autres constantes indéterminées.

Références

Voir également