Équation des ondes acoustiques - Acoustic wave equation

En physique , l' équation des ondes acoustiques régit la propagation des ondes acoustiques à travers un milieu matériel. La forme de l'équation est une équation aux dérivées partielles du second ordre . L'équation décrit l'évolution de la pression acoustique ou de la vitesse des particules u en fonction de la position x et du temps . Une forme simplifiée de l'équation décrit les ondes acoustiques dans une seule dimension spatiale, tandis qu'une forme plus générale décrit les ondes en trois dimensions.

Pour les médias avec perte, des modèles plus complexes doivent être appliqués afin de prendre en compte l'atténuation et la vitesse de phase dépendantes de la fréquence. De tels modèles incluent des équations d'ondes acoustiques qui incorporent des termes de dérivées fractionnaires, voir également l' article sur l' atténuation acoustique ou le document d'enquête.

Dans une dimension

Équation

L'équation d'onde décrivant le son dans une dimension (position ) est

où est la pression acoustique (l'écart local par rapport à la pression ambiante), et où est la vitesse du son .

Solution

A condition que la vitesse soit une constante, indépendante de la fréquence (cas sans dispersion), alors la solution la plus générale est

où et sont deux fonctions deux fois différentiables. Cela peut être représenté comme la superposition de deux formes d'onde de profil arbitraire, l'une ( ) se déplaçant vers le haut de l'axe des x et l'autre ( ) vers le bas de l'axe des x à la vitesse . Le cas particulier d'une onde sinusoïdale se déplaçant dans un sens est obtenu en choisissant soit ou soit une sinusoïde, et l'autre soit zéro, ce qui donne

.

où est la fréquence angulaire de l'onde et son nombre d'onde .

Dérivation

Dérivation de l'équation des ondes acoustiques

La dérivation de l'équation d'onde implique trois étapes : la dérivation de l'équation d'état, l'équation de continuité unidimensionnelle linéarisée et l'équation de force unidimensionnelle linéarisée.

L'équation d'état ( loi des gaz parfaits )

Dans un processus adiabatique , la pression P en fonction de la densité peut être linéarisée à

C est une constante. Décomposer la pression et la densité en leurs composantes moyenne et totale et noter que :

.

Le module de masse adiabatique d'un fluide est défini comme

ce qui donne le résultat

.

La condensation, s , est définie comme le changement de densité pour une densité de fluide ambiant donnée.

L'équation d'état linéarisée devient

p est la pression acoustique ( ).

L' équation de continuité (conservation de la masse) dans une dimension est

.

u est la vitesse d'écoulement du fluide. Encore une fois, l'équation doit être linéarisée et les variables divisées en composantes moyennes et variables.

Réarranger et noter que la densité ambiante change sans le temps ni la position et que la condensation multipliée par la vitesse est un très petit nombre :

L'équation de la force d'Euler (conservation de la quantité de mouvement) est la dernière composante nécessaire. En une dimension, l'équation est :

,

où représente la dérivée convective, substantielle ou matérielle , qui est la dérivée en un point se déplaçant avec le milieu plutôt qu'en un point fixe.

Linéarisation des variables :

.

En réarrangeant et en négligeant les petits termes, l'équation résultante devient l'équation d'Euler unidimensionnelle linéarisée :

.

Prendre la dérivée temporelle de l'équation de continuité et la dérivée spatiale de l'équation de force donne :

.

En multipliant le premier par , en soustrayant les deux et en substituant l'équation d'état linéarisée,

.

Le résultat final est

où est la vitesse de propagation.

En trois dimensions

Équation

Feynman fournit une dérivation de l'équation d'onde pour le son en trois dimensions comme

où est l' opérateur de Laplace , est la pression acoustique (l'écart local par rapport à la pression ambiante), et est la vitesse du son .

Une équation d'onde similaire mais pour la vitesse des particules du champ vectoriel est donnée par

.

Dans certaines situations, il est plus pratique de résoudre l'équation d'onde pour un potentiel de vitesse de champ scalaire abstrait qui a la forme

puis dériver les grandeurs physiques vitesse des particules et pression acoustique par les équations (ou définition, dans le cas de la vitesse des particules) :

,
.

Solution

Les solutions suivantes sont obtenues par séparation de variables dans différents systèmes de coordonnées. Ce sont des solutions de phaseur , c'est-à-dire qu'elles ont un facteur de dépendance temporelle implicite où est la fréquence angulaire . La dépendance temporelle explicite est donnée par

Voici le numéro d'onde .

Coordonnées cartésiennes

.

Coordonnées cylindriques

.

où les approximations asymptotiques des fonctions de Hankel , quand , sont

.

Coordonnées sphériques

.

Selon la convention de Fourier choisie, l'une d'elles représente une onde progressive vers l'extérieur et l'autre une onde progressive entrante non physique. L'onde de solution voyageant vers l'intérieur n'est pas physique en raison de la singularité qui se produit à r=0 ; les ondes progressives vers l'intérieur existent.

Voir également

Les références