Coordonnées de l'angle d'action - Action-angle coordinates

En mécanique classique , les coordonnées action-angle sont un ensemble de coordonnées canoniques utiles pour résoudre de nombreux systèmes intégrables . La méthode des angles d'action est utile pour obtenir les fréquences de mouvement oscillatoire ou rotationnel sans résoudre les équations de mouvement . Les coordonnées de l'angle d'action sont principalement utilisées lorsque les équations de Hamilton – Jacobi sont complètement séparables. (Par conséquent, l' hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, c'est-à-dire que l' énergie est conservée .) Les variables d'angle d'action définissent un tore invariant , ainsi appelé parce que le maintien de la constante d'action définit la surface d'un tore , tandis que les variables d'angle paramétrent les coordonnées sur le tore.

Les conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld , utilisées pour développer la mécanique quantique avant l'avènement de la mécanique des ondes , indiquent que l'action doit être un multiple entier de la constante de Planck ; de même, la vision d' Einstein sur la quantification EBK et la difficulté de quantifier les systèmes non intégrables a été exprimée en termes de tores invariants des coordonnées de l'angle d'action.

Les coordonnées de l'angle d'action sont également utiles dans la théorie des perturbations de la mécanique hamiltonienne , en particulier pour déterminer les invariants adiabatiques . L'un des premiers résultats de la théorie du chaos , pour les perturbations non linéaires des systèmes dynamiques avec un petit nombre de degrés de liberté est le théorème KAM , qui stipule que les tores invariants sont stables sous de petites perturbations.

L'utilisation de variables d'angle d'action a été au cœur de la solution du réseau de Toda et de la définition des paires de Lax , ou plus généralement de l'idée d' évolution isospectrale d'un système.

Dérivation

Les angles d'action résultent d'une transformation canonique de type 2 où la fonction génératrice est la fonction caractéristique de Hamilton (et non la fonction principale de Hamilton ). Puisque l'hamiltonien original ne dépend pas explicitement du temps, le nouvel hamiltonien est simplement l'ancien hamiltonien exprimé en termes des nouvelles coordonnées canoniques , que nous désignons par (les angles d'action , qui sont les coordonnées généralisées ) et leur nouvelle impulsion généralisée . Nous n'aurons pas besoin de résoudre ici la fonction génératrice elle-même; au lieu de cela, nous l'utiliserons simplement comme un moyen de relier les nouvelles et anciennes coordonnées canoniques . ${\ displaystyle W (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle K (\ mathbf {w}, \ mathbf {J})}$ ${\ displaystyle H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ ${\ displaystyle W}$

Plutôt que de définir directement les angles d'action , nous définissons à la place leurs moments généralisés, qui ressemblent à l' action classique pour chaque coordonnée généralisée d' origine ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$

{\ displaystyle J_ {k} \ equiv \ oint p_ {k} \, \ mathrm {d} q_ {k}}

où le chemin d'intégration est implicitement donné par la fonction d'énergie constante . Puisque le mouvement réel n'est pas impliqué dans cette intégration, ces moments généralisés sont des constantes du mouvement, ce qui implique que l'hamiltonien transformé ne dépend pas des coordonnées généralisées conjuguées ${\ displaystyle E = E (q_ {k}, p_ {k})}$ ${\ displaystyle J_ {k}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle w_ {k}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} J_ {k} = 0 = {\ frac {\ partial K} {\ partial w_ {k}}}}

où les sont donnés par l'équation typique pour une transformation canonique de type 2 ${\ displaystyle w_ {k}}$

{\ displaystyle w_ {k} \ equiv {\ frac {\ partial W} {\ partial J_ {k}}}}

Par conséquent, le nouvel hamiltonien ne dépend que de la nouvelle impulsion généralisée . ${\ displaystyle K = K (\ mathbf {J})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$

La dynamique des angles d'action est donnée par les équations de Hamilton

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} w_ {k} = {\ frac {\ partial K} {\ partial J_ {k}}} \ equiv \ nu _ { k} (\ mathbf {J})}

Le côté droit est une constante du mouvement (puisque tous les 's sont). Par conséquent, la solution est donnée par ${\ displaystyle J}$

{\ displaystyle w_ {k} = \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) t + \ beta _ {k}}

où est une constante d'intégration. En particulier, si la coordonnée généralisée d' origine subit une oscillation ou une rotation de période , l'angle d'action correspondant change de . ${\ displaystyle \ beta _ {k}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle w_ {k}}$ ${\ displaystyle \ Delta w_ {k} = \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) T}$

Ce sont les fréquences d'oscillation / rotation pour les coordonnées généralisées d' origine . Pour le montrer, nous intégrons le changement net de l'angle d'action sur exactement une variation complète (c.-à-d. Oscillation ou rotation) de ses coordonnées généralisées ${\ displaystyle \ nu _ {k} (\ mathbf {J})}$ ${\ displaystyle q_ {k}}$ ${\ displaystyle w_ {k}}$ ${\ displaystyle q_ {k}}$

{\ displaystyle \ Delta w_ {k} \ equiv \ oint {\ frac {\ partial w_ {k}} {\ partial q_ {k}}} \, \ mathrm {d} q_ {k} = \ oint {\ frac {\ partial ^ {2} W} {\ partial J_ {k} \, \ partial q_ {k}}} \, \ mathrm {d} q_ {k} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} J_ {k}}} \ oint {\ frac {\ partial W} {\ partial q_ {k}}} \, \ mathrm {d} q_ {k} = {\ frac {\ mathrm {d} } {\ mathrm {d} J_ {k}}} \ oint p_ {k} \, \ mathrm {d} q_ {k} = {\ frac {\ mathrm {d} J_ {k}} {\ mathrm {d } J_ {k}}} = 1}

En définissant les deux expressions pour égal, nous obtenons l'équation souhaitée ${\ displaystyle \ Delta w_ {k}}$

{\ displaystyle \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) = {\ frac {1} {T}}}

Les angles d'action sont un ensemble indépendant de coordonnées généralisées . Ainsi, dans le cas général, chaque coordonnée généralisée d'origine peut être exprimée comme une série de Fourier dans tous les angles d'action ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ ${\ displaystyle q_ {k}}$

{\ displaystyle q_ {k} = \ sum _ {s_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {s_ {2} = - \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ sum _ { s_ {N} = - \ infty} ^ {\ infty} A_ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {N}} ^ {k} e ^ {i2 \ pi s_ {1} w_ { 1}} e ^ {i2 \ pi s_ {2} w_ {2}} \ cdots e ^ {i2 \ pi s_ {N} w_ {N}}}

où est le coefficient de la série de Fourier. Dans la plupart des cas pratiques, cependant, une coordonnée généralisée originale sera exprimable comme une série de Fourier uniquement dans ses propres angles d'action. ${\ displaystyle A_ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {N}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle q_ {k}}$ ${\ displaystyle w_ {k}}$

{\ displaystyle q_ {k} = \ sum _ {s_ {k} = - \ infty} ^ {\ infty} A_ {s_ {k}} ^ {k} e ^ {i2 \ pi s_ {k} w_ {k }}}

Résumé du protocole de base

La procédure générale comporte trois étapes:

Calculer la nouvelle impulsion généralisée ${\ displaystyle J_ {k}}$
Exprimez l'hamiltonien original entièrement en fonction de ces variables.
Prendre les dérivées de l'hamiltonien par rapport à ces impulsions pour obtenir les fréquences ${\ displaystyle \ nu _ {k}}$

Dégénérescence

Dans certains cas, les fréquences de deux coordonnées généralisées différentes sont identiques, c'est-à-dire pour . Dans de tels cas, le mouvement est appelé dégénéré . ${\ displaystyle \ nu _ {k} = \ nu _ {l}}$ ${\ displaystyle k \ neq l}$

Un mouvement dégénéré signale qu'il existe des quantités conservées générales supplémentaires; par exemple, les fréquences du problème de Kepler sont dégénérées, correspondant à la conservation du vecteur Laplace – Runge – Lenz .

Le mouvement dégénéré signale également que les équations de Hamilton – Jacobi sont complètement séparables en plus d'un système de coordonnées; par exemple, le problème de Kepler est complètement séparable à la fois en coordonnées sphériques et en coordonnées paraboliques .

Voir également

Les références

LD Landau et EM Lifshitz, (1976) Mechanics , 3e. éd., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (couverture rigide) et ISBN 0-08-029141-4 (couverture souple).
H. Goldstein, (1980) Mécanique classique , 2e. éd., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
G. Sardanashvily , (2015) Manuel des systèmes hamiltoniens intégrables , URSS. ISBN 978-5-396-00687-4
Previato, Emma (2003), Dictionnaire de mathématiques appliquées pour ingénieurs et scientifiques , CRC Press , Bibcode : 2003dame.book ..... P , ISBN 978-1-58488-053-0

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