Le Compendious Book sur le calcul par achèvement et équilibrage -The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing

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page de titre en écriture et calligraphie arabes ; cadre ornemental dessiné à la main; le parchemin est doré et taché par l'âge
page de titre, 9e siècle
Auteur Muhammad ibn Moussa al-Khwarizmi
Titre original اب المختصر حساب الجبر والمقابلة
Pays Califat abbasside
Langue arabe
Sujet Algèbre
Genre Mathématiques
Texte original
 اب المختصر في حساب الجبر والمقابلة à ArabicWikisource

Le Livre Compendious sur le calcul par l' achèvement et l' équilibrage ( arabe : ٱلكتاب ٱلمختصر في حساب ٱلجبر وٱلمقابلة , al-Kitâb al-Mukhtasar hisab al-Fí Jabr wal-Muqābalah ; latine : Liber algèbres et Almucabola ), également connu sous Al-Jabr ( ٱلْجَبْر ), est untraité mathématique arabe sur l' algèbre écrit par le polymathe Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī vers 820 CE alors qu'il se trouvait dans lacapitale abbasside de Bagdad , l'actuel Irak . Al-Jabr était un ouvrage marquant dans l' histoire des mathématiques , établissant l'algèbre comme discipline indépendante, et avec le terme « algèbre » lui-même dérivé d' Al-Jabr .

Le Compendious Book a fourni un compte rendu exhaustif de la résolution des racines positives des équations polynomiales jusqu'au deuxième degré. Ce fut le premier texte à enseigner l'algèbre sous une forme élémentaire et pour elle-même. Il a également introduit le concept fondamental de "réduction" et "d'équilibrage" (que le terme al-jabr renvoyait à l'origine), la transposition de termes soustraits de l'autre côté d'une équation, c'est-à-dire l'annulation de termes similaires de part et d'autre de la équation. L'historien des mathématiques Victor J. Katz considère Al-Jabr comme le premier vrai texte d'algèbre qui existe encore. Traduit en latin par Robert de Chester en 1145, il fut utilisé jusqu'au XVIe siècle comme le principal manuel de mathématiques des universités européennes.

Plusieurs auteurs ont également publié des textes sous ce nom, dont Abū Ḥanīfa al-Dīnawarī , Abū Kāmil Shujā ibn Aslam , Abū Muḥammad al-ʿAdlī, Abū Yūsuf al-Miṣṣīṣī, 'Abd al-Hamīd ibn Turk , Sind ibn ʿibnī, Sahl r , et arafaddīn al-Ṭūsī .

Héritage

R. Rashed et Angela Armstrong écrivent :

Le texte d'Al-Khwarizmi peut être considérée comme distincte non seulement des tablettes babyloniennes , mais aussi de la Diophante ' Arithmetica . Il ne s'agit plus d'une série de problèmes à résoudre, mais d'un exposé qui part de termes primitifs dont les combinaisons doivent donner tous les prototypes possibles d'équations, qui constituent désormais explicitement le véritable objet d'étude. D'autre part, l'idée d'équation pour elle-même apparaît dès le départ et, pourrait-on dire, de manière générique, dans la mesure où elle n'émerge pas simplement au cours de la résolution d'un problème, mais est spécifiquement appelée à définir une classe infinie de problèmes.

JJ O'Connor et EF Robertson ont écrit dans les archives MacTutor History of Mathematics :

L'une des avancées les plus significatives des mathématiques arabes a peut-être commencé à cette époque avec les travaux d'al-Khwarizmi, à savoir les débuts de l'algèbre. Il est important de comprendre à quel point cette nouvelle idée était importante. C'était un mouvement révolutionnaire qui s'éloignait du concept grec des mathématiques qui était essentiellement de la géométrie. L' algèbre est une théorie qui a permis l' unification des nombres rationnels , nombres irrationnels , grandeurs géométriques, etc., à tous être traités comme des « objets algébriques ». Cela a donné aux mathématiques une toute nouvelle voie de développement tellement plus large dans le concept de ce qui existait auparavant, et a fourni un véhicule pour le développement futur du sujet. Un autre aspect important de l'introduction des idées algébriques était qu'elle permettait aux mathématiques de s'appliquer à elles-mêmes d'une manière qui ne s'était jamais produite auparavant.

Le livre

Le livre était une compilation et une extension de règles connues pour résoudre des équations quadratiques et pour d'autres problèmes, et considéré comme le fondement de l'algèbre, l'établissant comme une discipline indépendante. Le mot algèbre est dérivé du nom d'une des opérations de base avec des équations décrites dans ce livre, suite à sa traduction latine par Robert de Chester .

Équations du second degré

Pages d'une copie arabe du XIVe siècle du livre, montrant des solutions géométriques à deux équations quadratiques

Le livre classe les équations quadratiques dans l'un des six types de base et fournit des méthodes algébriques et géométriques pour résoudre les équations de base. L'historien Carl Boyer note ce qui suit concernant le manque de notations abstraites modernes dans le livre :

... l'algèbre d'al-Khwarizmi est complètement rhétorique, sans aucune des syncopes (voir Histoire de l'algèbre ) trouvées dans l' arithmétique grecque ou dans l'œuvre de Brahmagupta . Même les nombres étaient écrits avec des mots plutôt que des symboles !

—  Carl B. Boyer, Une histoire des mathématiques

Ainsi les équations sont décrites verbalement en termes de « carrés » (ce qui serait aujourd'hui « x 2 »), de « racines » (ce qui serait aujourd'hui « x ») et de « nombres » (« constantes » : nombres ordinaires épelés, comme 'quarante-deux'). Les six types, avec des notations modernes, sont :

  1. carrés de racines égales ( ax 2 = bx )
  2. carrés égaux nombre ( ax 2 = c )
  3. racines égales nombre ( bx = c )
  4. les carrés et les racines sont en nombre égal ( ax 2 + bx = c )
  5. carrés et nombre de racines égales ( ax 2 + c = bx )
  6. racines et nombre de carrés égaux ( bx + c = ax 2 )

Les mathématiciens islamiques, contrairement aux hindous, ne traitaient pas du tout les nombres négatifs ; par conséquent, une équation comme bx + c = 0 n'apparaît pas dans la classification, car elle n'a pas de solutions positives si tous les coefficients sont positifs. De même, les types d'équation 4, 5 et 6, qui semblent équivalents à l'œil moderne, ont été distingués car les coefficients doivent tous être positifs.

L'opération al-ğabr ("forcer", "restaurer") déplace une quantité déficiente d'un côté de l'équation à l'autre. Dans un exemple d'al-Khwarizmi (en notation moderne), " x 2 = 40 x  − 4 x 2 " est transformé par al-ğabr en " 5 x 2 = 40 x ". L'application répétée de cette règle élimine les quantités négatives des calculs.

Al-Muqabala ( المقابله , "équilibrer" ou "correspondant") signifie soustraction de la même quantité positive des deux côtés : " x 2 + 5 = 40 x + 4 x 2 " est transformé en " 5 = 40 x + 3 x 2 ". L'application répétée de cette règle fait apparaître les quantités de chaque type ("carré"/"racine"/"nombre") dans l'équation au plus une fois, ce qui permet de voir qu'il n'y a que 6 types de base résolvables du problème, lorsqu'ils sont limités à coefficients positifs et solutions.

Les parties suivantes du livre ne reposent pas sur la résolution d'équations quadratiques.

Superficie et volume

Le deuxième chapitre du livre répertorie les méthodes de recherche d' aire et de volume . Celles-ci incluent des approximations de pi (π), données de trois manières, comme 3 1/7, √10 et 62832/2000. Cette dernière approximation, égale à 3,1416, est apparue plus tôt dans l' Indianryabhaṭīya indien (499 CE).

Autres sujets

Al-Khwārizmī explique le calendrier juif et le cycle de 19 ans décrit par la convergence des mois lunaires et des années solaires.

Environ la moitié du livre traite des règles islamiques d'héritage , qui sont complexes et nécessitent des compétences dans les équations algébriques du premier ordre.

Remarques

Les références

Lectures complémentaires

Liens externes