Extension algébrique - Algebraic extension

En algèbre abstraite , une extension de corps L / K est dite algébrique si chaque élément de L est algébrique sur K , c'est-à-dire si chaque élément de L est une racine d'un polynôme non nul à coefficients dans K . Les extensions de champ qui ne sont pas algébriques, c'est-à-dire qui contiennent des éléments transcendantaux , sont appelées transcendantales .

Par exemple, l'extension du champ R / Q , qui est le domaine des nombres réels comme une extension du champ de nombres rationnels , est transcendantale, tandis que les extensions de champ C / R et Q ( 2 ) / Q sont algébrique, où C est le corps des nombres complexes .

Toutes les extensions transcendantales sont d' un degré infini . Cela implique à son tour que toutes les extensions finies sont algébriques. L'inverse n'est cependant pas vrai : il existe des extensions infinies qui sont algébriques. Par exemple, le champ de tous les nombres algébriques est une extension algébrique infinie des nombres rationnels.

Soit E un corps d'extension de K, et a E. Si a est algébrique sur K , alors K ( a ), l'ensemble de tous les polynômes de a à coefficients dans K , n'est pas seulement un anneau mais un corps : K ( a ) est une extension algébrique de K de degré fini sur K . L'inverse est pas vrai. Q[π] et Q[e] sont des corps mais π et e sont transcendantaux sur Q.

Un corps algébriquement clos F n'a pas d'extensions algébriques propres, c'est-à-dire pas d'extensions algébriques E avec F < E. Un exemple est le corps des nombres complexes . Chaque champ a une extension algébrique qui est algébriquement fermée (appelée sa fermeture algébrique ), mais prouver cela en général nécessite une certaine forme de l' axiome du choix .

Une extension L / K est algébrique si et seulement si chaque sous- K - algèbre de L est un corps .

Propriétés

La classe des extensions algébriques forme une classe distincte d'extensions de champ , c'est-à-dire que les trois propriétés suivantes sont valables :

  1. Si E est une extension algébrique de F et F est une extension algébrique de K alors E est une extension algébrique de K .
  2. Si E et F sont des extensions algébriques de K dans un surchamp commun C , alors le compositum EF est une extension algébrique de K .
  3. Si E est une extension algébrique de F et E > K > F alors E est une extension algébrique de K .

Ces résultats finis peuvent être généralisés en utilisant l'induction transfinie :

  1. L'union de toute chaîne d'extensions algébriques sur un corps de base est elle-même une extension algébrique sur le même corps de base.

Ce fait, avec le lemme de Zorn (appliqué à un poset convenablement choisi), établit l'existence de fermetures algébriques .

Généralisations

La théorie des modèles généralise la notion d'extension algébrique aux théories arbitraires : un plongement de M dans N est appelé extension algébrique si pour tout x dans N il existe une formule p avec des paramètres dans M , telle que p ( x ) est vraie et l'ensemble

est fini. Il s'avère que l'application de cette définition à la théorie des champs donne la définition habituelle de l'extension algébrique. Le groupe de Galois de N sur M peut à nouveau être défini comme le groupe des automorphismes , et il s'avère que la plupart de la théorie des groupes de Galois peut être développée pour le cas général.

Voir également

Remarques

  1. ^ Fraleigh (2014), Définition 31.1, p. 283.
  2. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Définition 21.1.23, p. 453.
  3. ^ Fraleigh (2014), Définition 29.6, p. 267.
  4. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Théorème 21.1.8, p. 447.
  5. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Exemple 21.1.17, p. 451.
  6. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Théorème 21.1.8, p. 447.
  7. ^ Fraleigh (2014), Exemple 31.8, p. 285.
  8. ^ Voir aussi Hazewinkel et al. (2004), p. 3.
  9. ^ Fraleigh (2014), Théorème 31.18, p. 288.
  10. ^ Fraleigh (2014), Corollaire 31.13, p. 287.
  11. ^ Fraleigh (2014), Théorème 30.23, p. 280.
  12. ^ Fraleigh (2014), Exemple 29.8, p. 268.
  13. ^ Fraleigh (2014), Corollaire 31.16, p. 287.
  14. ^ Fraleigh (2014), Théorème 31.22, p. 290.
  15. ^ Lang (2002) p.228

Les références

  • Fraleigh, John B. (2014), Un premier cours d'algèbre abstraite , Pearson, ISBN 978-1-292-02496-7
  • Hazewinkel, Michiel ; Gubaréni, Nadiya ; Gubareni, Nadejda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algèbres, anneaux et modules , 1 , Springer, ISBN 1-4020-2690-0
  • Lang, Serge (1993), "V.1:Algebraic Extensions", Algebra (Troisième éd.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, pp. 223ff, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
  • Malik, DB ; Mordeson, John N.; Sen, MK (1997), Principes fondamentaux de l'algèbre abstraite , McGraw-Hill, ISBN 0-07-040035-0
  • McCarthy, Paul J. (1991) [réimpression corrigée de la 2e édition, 1976], Algebraic extensions of fields , New York: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, Zbl  0768.12001
  • Roman, Steven (1995), Théorie des champs , GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081
  • Rotman, Joseph J. (2002), Algèbre moderne avancée , Prentice Hall, ISBN 9780130878687