Numéro Algébrique - Algebraic number


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Un nombre algébrique est tout nombre complexe (y compris des nombres réels ) qui est une racine d'un non-zéro polynomial (qui est une valeur qui provoque le polynôme d'égal à 0) dans une variable rationnelles coefficients (ou de manière équivalente - par dénominateurs de compensation - avec entiers coefficients). Tous les nombres entiers et des nombres rationnels sont algébriques, comme toutes les racines des entiers . La même chose est pas vrai pour tous les nombres réels ou tous les nombres complexes. Ces nombres réels et complexes qui ne sont pas algébriques sont appelés nombres transcendants . Ils comprennent π et e . Bien que l'ensemble des nombres complexes est innombrable , l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable et a mesure zéro dans la mesure de Lebesgue comme un sous - ensemble des nombres complexes, et en ce sens presque tous les nombres complexes sont transcendantale.

Exemples

  • Tous les nombres rationnels sont algébriques. Tout nombre rationnel, exprimé par le quotient de deux nombres entiers a et b , b pas égal à zéro, répond à la définition ci - dessus parce que x = a / b est la racine d'un polynôme non nul, à savoir bx - a .
  • Les surds quadratiques (racines irrationnelles d'un polynôme quadratique ax 2 + bx + c avec des coefficients entiers a , b , et c ) sont des nombres algébriques. Si le polynôme quadratique est unitaire ( a = 1 ) , alors que les racines sont en outre qualifié entier quadratique .
  • Les nombres constructibles sont les numéros qui peuvent être construits à partir d' une unité de longueur donnée en utilisant la règle et boussole. Ceux - ci comprennent tous les surds du second degré, tous les nombres rationnels, et tous les numéros qui peuvent être formés à partir de ceux - ci en utilisant les opérations arithmétiques de base et l'extraction des racines carrées. (Notez que , en désignant directions cardinales pour 1, -1, i et - i , les nombres complexes tels que 3 + 2 i sont considéré constructible).
  • Toute expression formé à partir de nombres algébriques en utilisant une combinaison quelconque des opérations arithmétiques de base et l' extraction de n ième racines donne un autre nombre algébrique.
  • Racines de polynômes qui ne peuvent pas être exprimés en termes d'opérations arithmétiques de base et l' extraction de n ième racines (telles que les racines de x 5 - x + 1 ). Cela se produit avec beaucoup , mais pas tous, polynômes de degré 5 ou plus.
  • Entiers de Gauss : ces nombres complexes a + bi où les deux a et b sont des nombres entiers sont également entiers du second degré.
  • Les valeurs des fonctions trigonométriques de rationnelles multiples de π (sauf si indéfini): qui est, les numéros trigonométriques . Par exemple, chacun des cos de / 7 , les cos / 7 , cos / 7 satisfait à 8 x 3 - 4 x 2 - 4 x + 1 = 0 . Ce polynôme est irréductible sur les rationals, et donc ces trois sont cosinus conjugués nombres algébriques. De même, tan / 16 , tan / 16 , tan 11π / 16 , tan 15π / 16 tout satisfait le polynôme irréductible x 4 - 4 x 3 - 6 x 2 + 4 x + 1 = 0 , et ainsi sont conjugués entiers algébriques .
  • Certains nombres irrationnels sont algébriques et certains ne sont pas:
    • Les numéros 2 et 33 / 2 sont algébrique , car ils sont des racines de polynômes x 2 - 2 et 8 x 3 - 3 , respectivement.
    • Le nombre d' or φ est algébrique , car il est une racine du polynôme x 2 - x - 1 .
    • Les numéros π et e ne sont pas des nombres algébriques (voir le théorème Lindemann-Weierstrass ); par conséquent , ils sont transcendantale.

Propriétés

Nombres algébriques sur le plan complexe de couleur par degré (rouge = 1, vert = 2, bleu = 3, jaune = 4)
  • L'ensemble des nombres algébriques est dénombrable (dénombrable).
  • D' où l'ensemble des nombres algébriques a Lebesgue mesure zéro (comme un sous - ensemble des nombres complexes), c'est - à - dire, « presque tous » les nombres complexes ne sont pas algébrique.
  • Étant donné un nombre algébrique, il est unique polynôme unitaire (à coefficients rationnels) du moins degré qui a le numéro comme une racine. Ce polynôme est appelé son polynôme minimal . Si son polynôme minimal est de degré n , le nombre algébrique est dit être de degré n . Un nombre algébrique de degré 1 est un nombre rationnel . Un nombre algébrique de degré 2 est un irrationnel quadratique .
  • Tous les nombres algébriques sont calculables et donc définissable et arithmétique .
  • L'ensemble des nombres réels algébriques est linéaire ordonné , dénombrable, densément ordonné , et sans premier ou le dernier élément, est donc ordre isomorphe à l'ensemble des nombres rationnels.
  • Pour les nombres réels a et b , le nombre complexe a + bi est algébrique si et seulement si un et b sont algébriques.

Le champ des nombres algébriques

nombres algébriques colorés par degré (bleu = 4, cyan = 3, rouge = 2, vert = 1). Le cercle de base est noir.

La somme, différence, produit et quotient (si le dénominateur est une valeur non nulle) de deux nombres algébriques est à nouveau algébrique (ce fait peut être démontrée en utilisant la résultante ), et les nombres algébriques forment donc un champ Q (parfois désigné par A , bien que cela désigne habituellement le cycle adele ). Chaque racine d'une équation polynomiale dont les coefficients sont des nombres algébriques est à nouveau algébrique. Cela peut être reformulée en disant que le champ des nombres algébriques est algébriquement clos . En fait, il est le plus petit champ algébriquement fermé contenant les rationals, et est donc appelé la clôture algébrique des rationals.

L'ensemble des vrais nombres algébriques lui - même forme un champ.

Domaines connexes

Les nombres définis par les radicaux

Tous les nombres qui peuvent être obtenus à partir des nombres entiers en utilisant un fini nombre d'entiers additions , soustractions , multiplications , divisions , et en prenant n ième racines où n est un entier positif ( expressions radicales ) sont algébrique. L'inverse, cependant, n'est pas vrai: il y a des nombres algébriques qui ne peuvent être obtenus de cette manière. Tous ces chiffres sont des racines de polynômes de degré 5 ou plus. Ceci est le résultat de la théorie de Galois (voir les équations Quintic et le théorème d' Abel-Ruffini ). Un exemple d'un tel nombre est la racine réelle unique du polynôme x 5 - x - 1 (qui est d' environ 1.167 304 ).

Numéro forme fermée

Numéros sont tous les nombres algébriques qui peuvent être définis explicitement ou implicitement en termes de polynômes, à partir des nombres rationnels. On peut généraliser ce à « numéros de forme fermée », qui peuvent être définies de diverses manières. De façon plus générale, tous les numéros qui peuvent être définis explicitement ou implicitement en termes de polynômes, exponentielles et logarithmes sont appelés « numéros élémentaires », et ceux - ci comprennent les nombres algébriques, ainsi que quelques nombres transcendants. Le plus étroitement, on peut considérer les numéros explicitement définis en termes de polynômes, exponentielles et logarithmes - cela ne comprend pas tous les nombres algébriques, mais ne comprend certains nombres transcendants simples tels que e ou ln 2 .

entiers algébriques

nombres algébriques colorés par les plus grands coefficients (rouge signifie 1 pour un entier algébrique)

Un entier algébrique est un nombre algébrique qui est une racine d'un polynôme avec des coefficients entiers de coefficient dominant 1 (un polynôme unitaire). Des exemples d'entiers algébriques sont 5 + 13 2 , 2-6 i et 1 / 2 (1 + i 3 ) . Notez, par conséquent, que les entiers algébriques constituent une bonne surensemble des nombres entiers , comme ceux - ci sont les racines de polynômes unitaires x - k pour tout kZ . En ce sens, les entiers algébriques sont des nombres algébriques quels entiers sont à des nombres rationnels .

La somme, différence et produit des entiers algébriques sont à nouveau entiers algébriques, ce qui signifie que les entiers algébriques forment un anneau . Le nom entier algébrique provient du fait que les seuls nombres rationnels qui sont des entiers algébriques sont les entiers, et parce que les entiers algébriques dans tout champ numérique sont à bien des égards analogues aux entiers. Si K est un champ de numéro, son anneau de nombres entiers est le sous - anneau des entiers algébriques de K , et est souvent désignée par O K . Ce sont les exemples prototypiques de domaines Dedekind .

Des classes spéciales de nombres algébriques

Remarques

Références

  • Artin, Michael (1991), Algèbre , Prentice Hall , ISBN  0-13-004763-5 , M.  1129886
  • Hardy, GH et Wright, EM 1978, 2000 (avec indice général) Introduction à la théorie des nombres: 5e édition , Clarendon Press, Oxford au Royaume - Uni, ISBN  0-19-853171-0
  • Irlande, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Une introduction classique au moderne théorie des nombres , textes études supérieures en mathématiques, 84 (deuxième éd.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4757-2103-4 , ISBN  0-387-97329-X , MR  1070716
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  • Niven, Ivan 1956. Nombres irrationnels , Carus Monographie mathématique non. 11, mathématique Association of America .
  • Ore, Øystein 1948, 1988, Théorie des nombres et son histoire , Dover Publications, Inc. New York, ISBN  0-486-65620-9 (pbk.)