Aliasing - Aliasing

Un exemple d'alias

Cette image en taille réelle montre à quoi devrait ressembler une image correctement échantillonnée d'un mur de briques avec un écran de résolution suffisante

Lorsque la résolution est réduite, un aliasing apparaît sous la forme d'un moiré

Le mouvement de la « caméra » à une vitesse d'obturation constante crée un aliasing temporel connu sous le nom d' effet de roue de wagon . La vitesse de la "caméra", se déplaçant vers la droite, augmente constamment au même rythme avec les objets glissant vers la gauche. À mi-chemin de la boucle de 24 secondes, les objets semblent soudainement se déplacer et reculer.

Dans le traitement du signal et les disciplines connexes, l' aliasing est un effet qui fait que différents signaux deviennent indiscernables (ou alias les uns des autres) lorsqu'ils sont échantillonnés . Il fait également souvent référence à la distorsion ou à l' artefact qui se produit lorsqu'un signal reconstruit à partir d'échantillons est différent du signal continu d'origine.

L'aliasing peut se produire dans les signaux échantillonnés dans le temps, par exemple l'audio numérique ou l' effet stroboscopique , et est appelé aliasing temporel . Il peut également se produire dans des signaux échantillonnés dans l'espace (par exemple des motifs de moirage dans des images numériques ) ; ce type d'alias est appelé alias spatial .

Le repliement est généralement évité en appliquant des filtres passe-bas ou des filtres anti-repliement (AAF) au signal d'entrée avant l'échantillonnage et lors de la conversion d'un signal d'un taux d'échantillonnage supérieur à un taux d'échantillonnage inférieur. Un filtrage de reconstruction approprié doit ensuite être utilisé lors de la restauration du signal échantillonné dans le domaine continu ou de la conversion d'un signal d'une fréquence d'échantillonnage inférieure à une fréquence d'échantillonnage supérieure. Pour l'anticrénelage spatial , les types d'anticrénelage incluent l'anticrénelage d' échantillon rapide (FSAA), l'anticrénelage multi-échantillons et le suréchantillonnage .

La description

Points dans le ciel dus au crénelage spatial causé par les demi-teintes redimensionnées à une résolution inférieure

Lorsqu'une image numérique est visualisée, une reconstruction est effectuée par un dispositif d'affichage ou d'impression, ainsi que par les yeux et le cerveau. Si les données d'image sont traitées d'une manière ou d'une autre pendant l'échantillonnage ou la reconstruction, l'image reconstruite différera de l'image d'origine et un alias apparaîtra.

Un exemple de crénelage spatial est le motif de moiré observé dans une image mal pixelisée d'un mur de briques. Les techniques d' anticrénelage spatial évitent de telles pixelisations médiocres. Le repliement peut être causé soit par l'étape d'échantillonnage, soit par l'étape de reconstruction ; ceux-ci peuvent être distingués en appelant l'aliasing d'échantillonnage préaliasing et reconstruction aliasing postaliasing.

Le repliement temporel est une préoccupation majeure dans l'échantillonnage des signaux vidéo et audio. La musique, par exemple, peut contenir des composants à haute fréquence qui sont inaudibles pour les humains. Si un morceau de musique est échantillonné à 32 000 échantillons par seconde (Hz), toute composante de fréquence égale ou supérieure à 16 000 Hz (la fréquence de Nyquist pour ce taux d'échantillonnage) provoquera un crénelage lorsque la musique est reproduite par un convertisseur numérique-analogique ( CAD). Les hautes fréquences du signal analogique apparaîtront comme des fréquences plus basses (mauvais alias) dans l'échantillon numérique enregistré et, par conséquent, ne pourront pas être reproduites par le DAC. Pour éviter cela, un filtre anti-aliasing est utilisé pour supprimer les composants au-dessus de la fréquence de Nyquist avant l'échantillonnage.

Dans la vidéo ou la cinématographie, l'aliasing temporel résulte de la fréquence d'images limitée et provoque l'effet wagon-roue , par lequel une roue à rayons semble tourner trop lentement ou même en arrière. L'aliasing a changé sa fréquence apparente de rotation. Une inversion de sens peut être décrite comme une fréquence négative . Les fréquences de repliement temporel dans la vidéo et la cinématographie sont déterminées par la fréquence d'images de la caméra, mais l'intensité relative des fréquences de repliement est déterminée par la synchronisation de l'obturateur (temps d'exposition) ou l'utilisation d'un filtre de réduction du repliement temporel pendant le tournage.

Comme la caméra vidéo, la plupart des schémas d'échantillonnage sont périodiques ; c'est-à-dire qu'ils ont une fréquence d'échantillonnage caractéristique dans le temps ou dans l'espace. Les appareils photo numériques fournissent un certain nombre d'échantillons ( pixels ) par degré ou par radian, ou d'échantillons par mm dans le plan focal de l'appareil photo. Les signaux audio sont échantillonnés ( numérisés ) avec un convertisseur analogique-numérique , qui produit un nombre constant d'échantillons par seconde. Certains des exemples les plus spectaculaires et subtils de repliement se produisent lorsque le signal échantillonné a également un contenu périodique.

Fonctions à bande limitée

Les signaux réels ont une durée finie et leur contenu fréquentiel, tel que défini par la transformée de Fourier , n'a pas de borne supérieure. Une certaine quantité d'alias se produit toujours lorsque de telles fonctions sont échantillonnées. Les fonctions dont le contenu fréquentiel est borné ( bandlimited ) ont une durée infinie dans le domaine temporel. Si échantillonnée à un taux suffisamment élevé, déterminé par la bande passante , la fonction d'origine peut, en théorie, être parfaitement reconstruite à partir de l'ensemble infini d'échantillons.

Signaux passe-bande

Parfois, l'aliasing est utilisé intentionnellement sur des signaux sans contenu basse fréquence, appelés signaux passe-bande . Le sous-échantillonnage , qui crée des alias de basse fréquence, peut produire le même résultat, avec moins d'effort, que le décalage de fréquence du signal vers des fréquences plus basses avant d'échantillonner à la fréquence inférieure. Certains canaliseurs numériques exploitent l'aliasing de cette manière pour une efficacité de calcul. (Voir Échantillonnage (traitement du signal) , Taux de Nyquist (relatif à l'échantillonnage) et Banque de filtres .)

Échantillonnage des fonctions sinusoïdales

Fig.2 En haut à gauche : L' animation représente des instantanés d'une sinusoïde dont la fréquence augmente, alors qu'elle est échantillonnée à une fréquence/taux constant, En haut à droite : Les instantanés correspondants d'une réelle transformée de Fourier continue . La seule composante non nulle, représentant la fréquence réelle, signifie qu'il n'y a pas d'ambiguïté. En bas à droite : La transformée de Fourier discrète des seuls échantillons disponibles. La présence de deux composants signifie que les échantillons peuvent s'adapter à au moins deux sinusoïdes différentes, dont l'une correspond à la fréquence réelle. En bas à gauche : En l'absence d'informations collatérales, l'algorithme de reconstruction par défaut produit la sinusoïde de fréquence inférieure.${\displaystyle f_{s}.}$

Les sinusoïdes sont un type important de fonction périodique, car les signaux réalistes sont souvent modélisés comme la somme de nombreuses sinusoïdes de fréquences différentes et d'amplitudes différentes (par exemple, avec une série de Fourier ou une transformée ). Comprendre ce que l'aliasing fait aux sinusoïdes individuelles est utile pour comprendre ce qui arrive à leur somme.

Lors de l'échantillonnage d'une fonction à la fréquence f _s (intervalles 1/ f _s ), les fonctions de temps ( t ) suivantes donnent des ensembles d'échantillons identiques : {sin(2π( f+Nf _s ) t + φ), N = 0, ± 1, ±2, ±3,... }. Un spectre de fréquences des échantillons produit des réponses tout aussi fortes à toutes ces fréquences. Sans information collatérale, la fréquence de la fonction d'origine est ambiguë. On dit donc que les fonctions et leurs fréquences sont des alias les unes des autres. Notant l'identité trigonométrique :

${\displaystyle \sin(2\pi (f+Nf_{\rm {s}})t+\phi )=\left\{{\begin{array}{ll}+\sin(2\pi (f+Nf_ {\rm {s}})t+\phi ),&f+Nf_{\rm {s}}\geq 0\\-\sin(2\pi |f+Nf_{\rm {s}}|t-\ phi ),&f+Nf_{\rm {s}}<0\\\end{array}}\right.}$

on peut écrire toutes les fréquences d'alias sous forme de valeurs positives :  . Par exemple, un instantané du cadre inférieur droit de la figure 2 montre un composant à la fréquence réelle et un autre composant à l'alias . Au fur et à mesure que l'animation augmente, diminue. Le point auquel ils sont égaux est un axe de symétrie appelé fréquence de repliement , également connue sous le nom de fréquence de Nyquist . ${\displaystyle f_{_{N}}(f)\triangleq \left|f+Nf_{\rm {s}}\right|}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage f_{_{-1}}(f)}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage f_{_{-1}}(f)}$${\style d'affichage (f=f_{s}/2)}$

L'aliasing est important lorsque l'on tente de reconstruire la forme d'onde d'origine à partir de ses échantillons. La technique de reconstruction la plus courante produit la plus petite des fréquences. Il est donc généralement important que ce soit le minimum unique. Une condition nécessaire et suffisante pour cela s'appelle la condition de Nyquist . Le cadre inférieur gauche de la figure 2 représente le résultat de reconstruction typique des échantillons disponibles. Jusqu'à ce qu'elle dépasse la fréquence de Nyquist, la reconstruction correspond à la forme d'onde réelle (cadre supérieur gauche). Après cela, c'est l'alias basse fréquence de la trame supérieure. ${\style d'affichage f_{_{N}}(f)}$${\style d'affichage f_{0}(f)}$${\displaystyle f_{s}/2>|f|,}$${\style d'affichage f}$

Pliant

Les figures ci-dessous offrent des représentations supplémentaires de l'aliasing, en raison de l'échantillonnage. Un graphique de l' amplitude fonction de la fréquence (pas de temps) pour un seul sinusoïde à fréquence   de 0,6 f _s   et certains de ses alias à   0,4 f _s ,   1,4 f _s ,   et   1,6 f _s   ressemblerait les 4 points noirs dans la figure 3. Les lignes rouges représentent les chemins ( loci ) des 4 points si nous devions ajuster la fréquence et l'amplitude de la sinusoïde le long du segment rouge plein (entre   f _s /2   et   f _s ). Quelle que soit la fonction que nous choisissons pour modifier l'amplitude en fonction de la fréquence, le graphique présentera une symétrie entre 0 et   f _s .   Le pliage est souvent observé dans la pratique lors de la visualisation du spectre de fréquences d'échantillons à valeur réelle, tels que Fig.4..

Fig.3 : Les points noirs sont des alias les uns des autres. La ligne rouge continue est un exemple d'amplitude variant avec la fréquence. Les lignes rouges en pointillés sont les chemins correspondants des alias.

Fig.4 : La transformée de Fourier de la musique échantillonnée à 44 100 échantillons/s présente une symétrie (appelée « repliement ») autour de la fréquence de Nyquist (22 050 Hz).

Fig.5 : Graphique du repliement de fréquence, montrant la fréquence de repliement et la périodicité. Les fréquences supérieures à f s /2 ont un alias inférieur à f s /2, dont la valeur est donnée par ce graphe.

Deux sinusoïdes complexes, de couleur or et cyan, qui correspondent aux mêmes ensembles de points d'échantillonnage réels et imaginaires lorsqu'elles sont échantillonnées à la fréquence ( f _s ) indiquée par les lignes de la grille. Le cas présenté ici est : f _cyan = f ₋₁ ( f _or ) = f _or – f _s

Sinusoïdes complexes

Les sinusoïdes complexes sont des formes d'onde dont les échantillons sont des nombres complexes , et le concept de fréquence négative est nécessaire pour les distinguer. Dans ce cas, les fréquences des alias sont données par simplement :  f _N ( f ) = f + N f _s .   Par conséquent, lorsque   f   augmente de   0   à   f _s ,   f ₋₁ ( f )   augmente également (de   – f _s   à 0). Par conséquent, les sinusoïdes complexes ne présentent pas de pliage .

Fréquence d'échantillonnage

Illustration de 4 formes d'onde reconstruites à partir d'échantillons prélevés à six fréquences différentes. Deux des formes d'onde sont suffisamment échantillonnées pour éviter le repliement aux six fréquences. Les deux autres illustrent une distorsion croissante (crénelage) aux débits inférieurs.

Lorsque la condition   f _s /2 > f   est remplie pour la composante de fréquence la plus élevée du signal d'origine, alors elle est remplie pour toutes les composantes de fréquence, une condition appelée critère de Nyquist . Cela est généralement approximé en filtrant le signal d'origine pour atténuer les composantes haute fréquence avant qu'il ne soit échantillonné. Ces composantes haute fréquence atténuées génèrent toujours des repliements de fréquence basse, mais généralement à des amplitudes suffisamment faibles pour qu'elles ne posent pas de problèmes. Un filtre choisi en prévision d'une certaine fréquence d'échantillonnage est appelé filtre anti-aliasing .

Le signal filtré peut ensuite être reconstruit, par des algorithmes d'interpolation, sans distorsion supplémentaire significative. La plupart des signaux échantillonnés ne sont pas simplement stockés et reconstruits. Mais la fidélité d'une reconstruction théorique (via la formule d'interpolation Whittaker-Shannon ) est une mesure habituelle de l'efficacité de l'échantillonnage.

Utilisation historique

Historiquement, le terme aliasing a évolué à partir de l'ingénierie radio en raison de l'action des récepteurs superhétérodynes . Lorsque le récepteur décale plusieurs signaux vers des fréquences plus basses, de RF à IF par hétérodynage , un signal indésirable, à partir d'une fréquence RF aussi éloignée de la fréquence de l' oscillateur local (LO) que le signal souhaité, mais du mauvais côté de la LO, peut se retrouver à la même fréquence FI que celle souhaitée. S'il est suffisamment puissant, il peut interférer avec la réception du signal souhaité. Ce signal indésirable est connu sous le nom d' image ou d' alias du signal souhaité.

Crénelage angulaire

Le repliement se produit chaque fois que l'utilisation d'éléments discrets pour capturer ou produire un signal continu provoque une ambiguïté de fréquence.

Le repliement spatial, en particulier de fréquence angulaire, peut se produire lors de la reproduction d'un champ lumineux ou d'un champ sonore avec des éléments discrets, comme dans les affichages 3D ou la synthèse de champ d'onde du son.

Ce crénelage est visible dans les images telles que les affiches avec impression lenticulaire : si elles ont une faible résolution angulaire, alors qu'on les dépasse, disons de gauche à droite, l'image 2D ne change pas initialement (elle semble donc se déplacer vers la gauche) , puis lorsque l'on passe à l'image angulaire suivante, l'image change soudainement (elle saute donc à droite) – et la fréquence et l'amplitude de ce mouvement latéral correspondent à la résolution angulaire de l'image (et, pour la fréquence, la vitesse du mouvement latéral du spectateur), qui est le repliement angulaire du champ lumineux 4D.

L'absence de parallaxe lors du mouvement du spectateur dans des images en 2D et en 3D film produit par stéréoscopiques lunettes (dans des films en 3D l'effet est appelé « lacet », que l'image semble tourner sur son axe) peuvent de même être considéré comme une perte de angulaire résolution, toutes les fréquences angulaires étant repliées à 0 (constante).

Plus d'exemples

Exemple audio en ligne

	Démo d'aliasing en dents de scie 440 Hz en bande limitée, 440 Hz en alias, 880 Hz en bande limitée, 880 Hz en alias, 1 760 Hz en bande limitée, 1 760 Hz en alias
Des problèmes pour lire ce fichier ? Voir l'aide des médias .

Les effets qualitatifs de l'aliasing peuvent être entendus dans la démonstration audio suivante. Six ondes en dents de scie sont jouées successivement, les deux premières ayant une fréquence fondamentale de 440 Hz (A4), les deux secondes ayant une fréquence fondamentale de 880 Hz (A5) et les deux dernières à 1760 Hz (A6). Les dents de scie alternent entre des dents de scie à bande limitée (non aliasées ) et des dents de scie aliasées et la fréquence d'échantillonnage est de 22,05 kHz. Les dents de scie à bande limitée sont synthétisées à partir de la série de Fourier de la forme d'onde en dents de scie de telle sorte qu'aucune harmonique au-dessus de la fréquence de Nyquist ne soit présente.

La distorsion de repliement dans les fréquences inférieures est de plus en plus évidente avec des fréquences fondamentales plus élevées, et tandis que la dent de scie à bande limitée est toujours claire à 1760 Hz, la dent de scie repliée est dégradée et dure avec un bourdonnement audible à des fréquences inférieures au fondamental.

Recherche de direction

Une forme de repliement spatial peut également se produire dans les réseaux d'antennes ou les réseaux de microphones utilisés pour estimer la direction d'arrivée d'un signal d'onde, comme dans l'exploration géophysique par ondes sismiques. Les ondes doivent être échantillonnées plus densément que deux points par longueur d'onde , sinon la direction d'arrivée des ondes devient ambiguë.

Voir également

• Quartier Brillouin
• Glossaire des termes vidéo
• Jaggies
• Facteur de Kell
• Filtre Sinc
• Fonction Sinc
• Effet stroboscopique
• Effet roue de chariot
• Théorème d'échantillonnage de Nyquist–Shannon § Fréquence critique

Remarques

Les références

Lectures complémentaires

Liens externes

• Aliasing par un oscilloscope d'échantillonnage sur YouTube par Tektronix Application Engineer
• Anti-Aliasing Filter Primer de La Vida Leica, explique son objectif et son effet sur les images enregistrées
• Exemples interactifs démontrant l'effet d'aliasing