Angle - Angle


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Un angle formé par deux rayons issus d'un sommet.

Dans la géométrie plane , un angle est la figure formée par deux rayons , appelé les côtés de l'angle, le partage d' un point d' extrémité commun, appelé le sommet de l'angle. Les angles formés par deux rayons se trouvent dans un plan, mais ce plan ne doit pas être un plan euclidien . Les angles sont également formés par l'intersection de deux plans dans des espaces euclidien et autres . Ceux - ci sont appelés angles dièdre . Angles formés par l'intersection de deux courbes dans un plan sont définis comme étant l'angle déterminé par les rayons tangents au point d'intersection. États similaires maintiennent dans l' espace, par exemple, l' angle sphérique formé par deux grands cercles sur une sphère est l'angle dièdre entre les plans définis par les grands cercles.

Angle est également utilisé pour désigner la mesure d'un angle ou d'une rotation . Cette mesure est le rapport de la longueur d'un arc de cercle à son rayon . Dans le cas d'un angle géométrique, l'arc est centré au niveau du sommet et délimité par les côtés. Dans le cas d'une rotation, l'arc est centré sur le centre de la rotation et délimité par un autre point et son image par la rotation.

Le mot angle vient du latin mot angulus , ce qui signifie « coin »; parentes mots sont les grecs ἀγκύλος (ankylοs) , ce qui signifie « tordu, courbé, » et anglais mot « cheville ». Les deux sont reliés avec le proto-indo-européenne racine * ank- , ce qui signifie « plier » ou « arc ».

Euclide définit un angle d'inclinaison plan que l' une à l'autre, dans un plan, de deux lignes qui se rencontrent les uns les autres, et ne les uns aux autres se trouvent pas directement au sujet. Selon Proclus un angle doit être une qualité ou une quantité ou une relation. Le premier concept a été utilisé par Eudème , qui considère un angle comme un écart par rapport à une ligne droite ; le second par Carpus de Antioch , qui considérait que l'intervalle ou espace entre les lignes qui se croisent; Euclide a adopté le troisième concept, bien que ses définitions de droite, aigus et des angles obtus sont certainement quantitatifs.

identifier les angles

Dans les expressions mathématiques, il est courant d'utiliser des lettres grecques ( α , β , γ , θ , φ ,...) Pour servir de variables permanentes pour la taille de certains angles. (Pour éviter toute confusion avec l'autre sens, le symbole π est généralement pas utilisé à cette fin.) Lettres romains minuscules de cas ( abc ,...) Sont également utilisés, comme les majuscules lettres romaines dans le contexte de polygones . Voir les chiffres dans cet article pour des exemples.

En figures géométriques, les angles peuvent également être identifiés par les étiquettes apposées sur les trois points qui les définissent. Par exemple, l'angle au sommet A délimitée par les rayons AB et AC ( à savoir les lignes du point A au point B et le point A au point C) est notée angle BAC (en Unicode U + 2220 ANGLE ) ou . Parfois, où il n'y a pas de risque de confusion, l'angle peut être appelé simplement par son sommet ( « angle A »).

Potentiellement, un angle désigné, par exemple, l' angle BAC pourrait se référer à l' un des quatre angles: l'angle dans le sens horaire de B à C, l'angle anti - horaire de B à C, l'angle dans le sens horaire à partir de C vers B, ou l'angle anti - horaire de C à B , où la direction dans laquelle l'angle est mesuré en détermine le signe (voir angles positifs et négatifs ). Cependant, dans de nombreuses situations géométriques , il est évident à partir du contexte que l'angle positif inférieur ou égal à 180 degrés , on entend, et aucune ambiguïté se pose. Dans le cas contraire, une convention peut être adoptée de telle sorte que l' angle se réfère toujours à l' angle BAC dans le sens antihoraire angle (positif) de B à C, et ∠CAB au sens anti - horaire (positif) de C à B.

Types d'angles

angles individuels

  • Un angle égal à 0 ° est appelé un angle nul.
  • Angles inférieur à un angle droit (inférieur à 90 °) sont appelés angles aigus ( « aigu » signifie « forte »).
  • Un angle égal à 1 / quatre tour (90 ° ou π / 2 radians) est appelé un angle droit . Deux lignes qui forment un angle droit sont dites normales , orthogonal ou perpendiculaire .
  • Des angles plus grands qu'un angle droit et inférieur à un angle droit (entre 90 ° et 180 °) sont appelés angles obtus ( « obtus » qui signifie « blunt »).
  • Un angle égal à 1 / deux tour (180 ° ou tc radians) est appelé un angle droit .
  • Des angles plus grands qu'un angle droit , mais inférieure à 1 tour (entre 180 ° et 360 °) sont appelés angles rentrants .
  • Un angle égal à 1 tour (360 ° ou 2 tc radians) est appelé un angle complet , angle complet , ou un Perigon .
  • Des angles qui ne sont pas des angles droits ou d' un multiple d'un angle droit sont appelés angles obliques .

Les noms, les intervalles et les unités de mesure sont présentés dans un tableau ci-dessous:

Aigu ( a ), obtus ( b ) et droites ( c angles). Les angles aigus et obtus sont également connus comme des angles obliques.
Reflex angle
prénom   zéro aigu angle droit obtus tout droit réflexe Perigon
unités Intervalle
Se tourne   0 (0,  une / quatre ) 1 / 4 ( 1 / quatre1 / deux ) 1 / 2 ( 1 / deux , 1) 1
radians 0 (0, une / 2 π ) Une / 2 π ( 1 / 2 π , π ) π ( Π 2 π ) 2 π
Degrés   0 ° (0, 90) ° 90 ° (90, 180) ° 180 ° (180, 360) ° 360 °
gones   0 g (0, 100) g 100 g (100, 200) g 200 g (200, 400) g 400 g

des paires d'angles d'équivalence

  • Angles qui ont la même mesure ( par exemple le même ordre de grandeur) sont dits être égale ou congruent . Un angle est défini par sa mesure et ne dépend pas de la longueur des côtés de l'angle (par exemple , tous les angles droits sont égaux en mesure).
  • Deux angles qui partagent des côtés terminaux, mais diffèrent par la taille par un multiple entier d'un tour, sont appelés angles coterminaux .
  • Un angle de référence est la version aiguë de tout angle déterminé en soustrayant de manière répétée ou en ajoutant angle droit ( 1 / deux tour de 180 °, ou tc radians), les résultats que nécessaire, jusqu'à ce que l'amplitude du résultat est un angle aigu, une valeur entre 0 et une / 4 tour, 90 °, ou tc / 2 radians. Par exemple, un angle de 30 degrés a un angle de référence de 30 °, et un angle de 150 degrés a également un angle de référence de 30 degrés (180-150). Un angle de 750 degrés a un angle de référence de 30 degrés (750-720).

Vertical et les paires d'angles adjacents

Angles A et B sont une paire d'angles verticaux; les angles C et D sont une paire d'angles verticaux.

Lorsque deux lignes droites se coupent en un point, les quatre angles sont formés. Ces angles sont par paires nommées en fonction de leur emplacement par rapport à l'autre.

  • Une paire d'angles opposés de l'autre, formé par deux lignes droites se coupant qui forment un « X » -comme la forme, sont appelés angles verticaux ou angles opposés ou des angles opposés par le sommet . Ils sont désignés par les abréviations vert. opp. ∠s .
L'égalité des angles opposés verticalement est appelé le théorème d'angle vertical . Eudème de Rhodes a attribué la preuve à Thalès de Milet . La proposition a montré que , puisque tous les deux d'une paire d'angles verticaux sont complémentaires aux deux angles adjacents, les angles verticaux sont égaux dans la mesure. Selon une note historique, lorsque Thales a visité l' Egypte, il a observé que chaque fois que les Égyptiens dessinaient deux lignes qui se croisent, ils mesureraient les angles verticaux pour se assurer qu'ils étaient égaux. Thales a conclu que l' on pouvait prouver que tous les angles verticaux sont égaux si l' on accepte quelques notions générales telles que: tous les angles droits sont égaux, égaux à des égaux ajoutés sont égaux et égaux soustraites de égaux sont égaux.
Dans la figure, prendre la mesure de l' angle A = x . Quand deux angles adjacents forment une ligne droite, ils sont complémentaires. Par conséquent, la mesure de l' angle C = 180 - x . De même, la mesure de l' angle D = 180 - x . Les deux Angle C et Angle D ont des mesures égales à 180 - x et sont en harmonie. Depuis Angle B est complémentaire à la fois Angles C et D , l' une de ces mesures d'angle peuvent être utilisées pour déterminer la mesure de l' angle B . En utilisant la mesure de l' un angle C ou Angle D on trouve la mesure de l' angle B = 180 - (180 - x ) = 180 - 180 + x = x . Par conséquent, à la fois Angle A Angle et B ont des mesures égales à x et sont égaux dans la mesure.
Angles A et B sont contiguës.
  • Des angles adjacents , souvent désignés par les abréviations adj. ∠s , sont des angles qui partagent un sommet commun et le bord , mais ne partagent pas de points intérieurs. En d' autres termes, ils sont des angles qui sont côte à côte, ou au voisinage, partageant un « bras ». Angles adjacents qui somme à un angle droit, un angle droit ou un angle complet sont spéciaux et sont appelés respectivement complémentaires , complémentaires et explementary angles (voir « Moissonneuse paires d'angles » ci - dessous).

Une transversale est une ligne qui coupe une paire de (souvent parallèles) des lignes et est associé à des angles intérieurs alternés , des angles correspondants , angles intérieurs et des angles extérieurs .

La combinaison de paires d'angles

Il y a trois paires d'angles spéciaux qui impliquent la somme des angles:

La complémentarité des angles a et b ( b est le complément d' un , et un est le complément de b ).
  • Angles complémentaires sont des paires d'angles dont la somme des mesures à un angle droit ( une / quatre tour, 90 °, ou tc / 2 radians). Si les deux angles complémentaires sont leurs côtés adjacents non partagés forment un angle droit. Dans la géométrie euclidienne, les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires, car la somme des angles internes d'un triangle est de 180 degrés, et l'angle droit se comptes de quatre - vingt dix degrés.
L'adjectif est complémentaire du latin complementum , associé au verbe complere , « remplir ». Un angle aigu est « rempli » par son complément pour former un angle droit.
La différence entre un angle droit et un angle est appelé le complément de l'angle.
Si les angles A et B sont complémentaires, les relations suivantes sont satisfaites :
(La tangente d'un angle égal à la cotangente de son complément et sa sécante est égale à la cosécante de son complément).
Le préfixe « co » dans les noms de certains rapports trigonométriques fait référence au mot « complémentaire ».
Les angles a et b sont complémentaires des angles.
  • Deux angles qui résument à un angle droit ( une / 2 tour, 180 ° ou π radians) sont appelés angles supplémentaires .
Si les deux angles supplémentaires sont adjacents ( par exemple un commun sommet et partager un seul côté), leurs côtés non partagés forment une ligne droite . Ces angles sont appelés une paire linéaire d'angles . Cependant, des angles supplémentaires ne doivent pas être sur la même ligne, et peuvent être séparés dans l' espace. Par exemple, les angles adjacents d'un parallélogramme sont des angles supplémentaires, et opposés d'un quadrilatère cyclique (d'une dont les sommets tombent tous sur un seul cercle) sont complémentaires.
Si un point P est extérieure à un cercle de centre O, et si les lignes tangentes de P touchent le cercle en des points T et Q, puis ∠TPQ et ∠TOQ sont complémentaires.
Les Sines des angles supplémentaires sont égaux. Leurs tangentes (et cosinus à moins indéfinie) sont égaux en amplitude mais ont des signes opposés.
Dans la géométrie euclidienne, une somme de deux angles d'un triangle est complémentaire au troisième, parce que la somme des angles internes d'un triangle est un angle droit.

Somme des deux explementary angles est un complet angle.
  • Deux angles qui résument à un angle complet (1 tournant à 360 °, ou 2 tc radians) sont appelés angles explementary ou angles conjugués .
    La différence entre un angle et un angle complet est appelé explement de l'angle ou conjugué d'un angle.

angles liés polygonales

angles internes et externes.
  • Un angle qui fait partie d'un polygone simple , est appelé un angle intérieur si elle se trouve à l'intérieur de ce polygone simple. Un simple polygone concave présente au moins un angle intérieur qui est un angle réflexe.
    Dans la géométrie euclidienne , les mesures des angles intérieurs d'un triangle ajouter jusqu'à tc radians, 180 °, ou une / 2 tour; les mesures des angles intérieurs de simple convexe quadrilatérale ajouter jusqu'à 2 tc radians, 360 °, ou une tour. En général, les mesures des angles intérieurs d'un convexe simple polygone avec n côtés ajouter jusqu'à ( n  - 2) tc radians ou 180 ( n  - 2) degrés, (2 n  - 4) des angles droits, ou ( n / deux  1) - tourner.
  • Le supplément d'un angle intérieur est appelé un angle extérieur , qui est, un angle intérieur et extérieur forment un angle d' une paire d'angles linéaire . Il y a deux angles extérieurs à chaque sommet du polygone, chacune déterminées par l' extension de l' un des deux côtés du polygone qui se rencontrent au sommet; ces deux angles sont des angles verticaux et donc sont égaux. Un angle extérieur mesure la quantité de rotation on a à faire à un sommet de tracer le polygone. Si l'angle intérieur correspondant est un angle réflexe, l'angle extérieur doit être considéré comme négatif . Même dans un polygone non-simple , il peut être possible de définir l'angle extérieur, mais on devra choisir une orientation du plan (ou surface ) pour décider le signe de la mesure d'angle extérieur.
    Dans la géométrie euclidienne, la somme des angles extérieurs d'un polygone convexe simple sera un tour complet (360 °). L'angle extérieur ici pourrait être appelé un angle supplémentaire extérieur . Angles extérieurs sont couramment utilisés dans Logo tortue géométrie lors de l' élaboration des polygones réguliers.
  • Dans un triangle , les bissectrices de deux angles extérieurs et la bissectrice de l'autre angle intérieur sont simultanées (rencontrer en un seul point).
  • Dans un triangle, les trois points d'intersection, chacune d'une bissectrice extérieure de la face de côté étendu , sont colinéaires .
  • Dans un triangle, les trois points d'intersection, deux d'entre eux entre une bissectrice de l'angle intérieur et du côté opposé, et le troisième entre l'autre bissectrice de l'angle extérieur et le côté opposé étendu, sont colinéaires.
  • Certains auteurs utilisent le nom angle extérieur d'un polygone simple signifie simplement l' angle extérieur de explement ( pas compléter!) De l'angle intérieur. Ceci est en contradiction avec l'utilisation ci - dessus.

angles liés avion-

  • L'angle entre les deux plans ( par exemple, deux faces adjacentes d'un polyèdre ) est appelé un angle dièdre . Il peut être défini comme l'angle aigu entre deux lignes normales aux plans.
  • L'angle entre un plan et une ligne droite coupant est égale à quatre-vingt dix degrés moins l'angle entre la ligne d'intersection et la ligne qui passe par le point d'intersection et est perpendiculaire au plan.

mesure des angles

La taille d'un angle géométrique est généralement caractérisée par l'amplitude de la rotation plus petite que les cartes une des rayons dans l'autre. Angles qui ont la même taille , sont dits être égale ou congruent ou égale à la mesure .

Dans certains contextes, tels que l' identification d' un point sur un cercle ou en décrivant l' orientation d'un objet en deux dimensions par rapport à une orientation de référence, des angles qui diffèrent d'un multiple exact de la pleine tour sont effectivement équivalent. Dans d' autres contextes, tels que l' identification d' un point sur une spirale courbe ou décrivant la rotation cumulée d'un objet en deux dimensions par rapport à une orientation de référence, des angles qui diffèrent d'un multiple non nul d'un tour complet ne sont pas équivalentes.

La mesure de l' angle θ (en radians) est le quotient de s et r .

Afin de mesurer un angle θ , un arc de cercle centré au sommet de l'angle est tracé, par exemple avec une paire de compas . Le rapport de la longueur de l'arc par le rayon r du cercle est la mesure de l'angle en radians .

La mesure de l'angle dans une autre unité angulaire est ensuite obtenue en multipliant sa mesure en radians par le facteur d'échelle k / 2 π , où k est la mesure d'un tour complet dans l'unité choisie (par exemple 360 pour les degrés ou 400 pour en grades ):

La valeur de θ ainsi défini est indépendant de la taille du cercle: si la longueur du rayon est modifié, les changements de longueur d'arc dans la même proportion, de sorte que le rapport s / r est inchangée. (Preuve. La formule ci - dessus peut être réécrite sous la forme k = θr / s . Un tour, pour lequel θ = n unités, correspond à un arc de longueur égale à la circonférence du cercle de circonférence , qui est 2 π r , alors s = 2 π r . substituant n de θ et 2 π r de s dans la formule, a pour résultat k = n / 2 π r = n / 2 π . )

Angle postulat d'addition

Le postulat d'addition d'angle indique que , si B est à l'intérieur de l' angle AOC , puis

La mesure de l'angle AOC est la somme de la mesure de l' angle AOB et la mesure de l' angle BOC . Dans ce postulat , il n'a pas d' importance dans laquelle l' unité l'angle est mesuré tant que chaque angle est mesuré dans la même unité.

unités

Les unités utilisées pour représenter les angles sont énumérés ci - dessous par ordre décroissant de grandeur. Parmi ces unités, le degré et le radian sont de loin les plus couramment utilisés. Angles exprimés en radians sont adimensionnel aux fins d' analyse dimensionnelle .

La plupart des unités de mesure angulaire sont définis de telle sorte qu'un tour (soit un cercle complet) est égal à n unités, pour un certain nombre entier n . Les deux exceptions sont les radians et la partie de diamètre.

Tourner ( n  = 1)
Le tour , également le cycle , cercle complet , la révolution et la rotation , un mouvement circulaire complet ou d'une mesure (pour revenir au même point) avec le cercle ou d'une ellipse. A son tour , est abrégée τ , cyc , rev , ou pourriture en fonction de l'application, mais dans l'acronyme rpm (tours par minute), il suffit de r est utilisé. A tour de n unités est obtenue en réglant k = 1 / deux π dans la formule ci - dessus. L'équivalence de 1 tour est de 360 °, 2 π rad, 400 grad, et quatre angles droits. Le symbole τ peut également être utilisé comme une constante mathématique pour représenter 2 tc radians. Utilisé de cette façon ( k = τ / ) permet radians à exprimer en une fraction de tour. Par exemple, un demi - tour est T pour / 2 = π .
Quadrant ( n  = 4)
Le quadrant est une / 4 d'un tour, soit un angle droit . Il est l'unité utilisée dans les Eléments d'Euclide . 1 quad. = 90 ° = π / 2  rad = une / 4 tour = 100 grad. En allemand le symbole a été utilisé pour désigner un quart de cercle.
Sextant ( n  = 6)
Le sextant ( angle du triangle équilatéral ) est 1 / six de tour. Il est l'unité utilisée par les Babyloniens , et est particulièrement facile à construire avec la règle et le compas. Le degré, minute d'arc et secondes d'arc sont sexagésimaux sous - unités de l'unité babylonienne. Une unité babylonienne = 60 ° = π / 3 rad rad ≈ 1,047197551.
θ = s / r rad = 1 rad.
Radian ( n  = 2 π  = 6,283...)
Le radian est l'angle sous - tendu par un arc de cercle qui a la même longueur que le rayon du cercle. Le cas du radian de la formule donnée plus haut, un radian de n = 2 π unités est obtenue en réglant k = 2 π / 2 π = 1. Un tour est de 2 tc radians, et un radian est de 180 / π degrés, soit environ 57.2958 degrés. Le radian est abrégé rad , bien que ce symbole est souvent omis dans les textes mathématiques, où radians sont supposées , sauf indication contraire. Lorsque radians sont des angles utilisés sont considérés comme adimensionnel. Le radian est utilisé dans pratiquement tous les travaux mathématiques au - delà de la géométrie simple pratique, en raison, par exemple, à l'agréable et les propriétés « naturelles » que les fonctions trigonométriques affichent lorsque leurs arguments sont en radians. Le radian est l'unité (dérivée) de mesure angulaire dans le SI système.
Position de l' horloge ( n  = 12)
Une position d'horloge est la direction relative d'un objet décrit en utilisant l'analogie d'une horloge de 12 heures . On imagine une horloge se trouvant soit en position verticale ou à plat devant soi, et identifie les douze marques d' une heure avec les directions dans lesquelles ils pointent.
Angle horaire ( n  = 24)
L'astronomique angle horaire est 1 / 24 d'un tour. Comme ce système se prête à des objets de mesure qui le cycle une fois par jour ( par exemple la position relative des étoiles), les sous - unités sexagésimaux sont appelés minute du temps et de seconde de temps . Ceux - ci sont distincts, et 15 fois plus grande que, minutes et secondes d'arc. 1 heure = 15 ° = π / 12  rad = une / six  quad. = Une / 24 tour = 16 2 / 3   grad.
(Compas) le point ou le vent ( n  = 32)
La pointe , utilisé dans la navigation , est une / 32 de tour. 1 point = 1 / huit d'un angle droit = 11,25 ° = 12,5 grad. Chaque point est subdivisé en quatre quarts de points de sorte que 1 tour est égal à 128 quarts de points.
Hexacontade ( n  = 60)
Le hexacontade est une unité de 6 ° que Eratosthènes utilisé, de sorte que a été divisé en un tour complet de 60 unités.
Pêchus ( n  = 144-180)
-La pêchus était une babylonien unité égale à environ 2 ° ou 2 1 / 2  °.
Degré binaire ( n  = 256)
Le degré binaire , également connu sous le radian binaire (ou brad ), est une / 256 de tour. Le degré binaire est utilisé dans le calcul de telle sorte qu'un angle peut être efficacement représenté dans un seul octet (mais avec une précision limitée). D' autres mesures d'angle utilisée dans le calcul peuvent être basées sur la division d' un tour entier dans 2 n parties égales pour les autres valeurs de n .
Degré ( n  = 360)
Le degré , désigné par un petit cercle superscript (°), est 1/360 d'un tour, donc un tour est de 360 °. Le cas de degrés pour la formule donnée ci - dessus, un degré de n = unités de 360 ° est obtenue par la mise en k = 360 ° / 2 π . L' un des avantages de cette ancienne sexagésimal sous - unité est que de nombreux angles communs en géométrie simple sont mesurés en nombre de degrés. Les fractions d'un degré peuvent être écrites en notation décimale normale (par exemple 3,5 ° pour trois degrés et demi), mais le système « minute » et « deuxième » sous - unités sexagésimaux de « degrés-minutes-secondes » sont également utilisés, en particulier pour coordonnées géographiques et en astronomie et balistique .
Une partie de diamètre ( n  = 376,99...)
La partie de diamètre (parfois utilisé en mathématiques islamiques) est une / 60 radian. Une « partie de diamètre » est d' environ 0,95493 °. Il y a environ 376,991 pièces de diamètre par tour.
Grad ( n  = 400)
Le diplômé , aussi appelé classe , grades ou gon , est 1 / 400 d'un tour, donc un angle droit est de 100 nouveaux diplômés. Il est une sous - unité décimale du quadrant. Un kilomètre a été historiquement défini comme un centi grad d'arc le long d' un grand cercle de la Terre, de sorte que le kilomètre est l'analogue décimal à sexagésimal mile nautique. Le diplômé est utilisé principalement dans la triangulation .
milliradian
Le milliradians (mil ou mrad) est défini comme un millième de radian, ce qui signifie qu'une rotation d'un tour consiste en 2000π mil (ou environ 6283,185 ... mil), et presque tous les sites de portée pour les armes à feu sont étalonnés à cette définition . En outre , il existe trois autres définitions dérivés utilisés pour l' artillerie et de navigation qui sont à peu près égal à un milliradian. Dans ces trois autres définitions d' un tour compense exactement 6000, 6300 ou 6400 millièmes, ce qui correspond à la gamme de couvrant 0,05625 à 0,06 degrés (3,375 à 3,6 minutes). En comparaison, le vrai milliradian est d' environ 0,05729578 ... degrés (3.43775 ... minutes). Un « OTAN mil » est défini comme 1 / 6400 d'un cercle. Tout comme avec le vrai milliradian, chacun des autres définitions exploite la propriété Handby du mil de subtensions, à savoir que la valeur d'un milliradian est approximativement égal à l'angle sous - tendu par une largeur de 1 mètre, vu de 1 km ( 2 π / 6400 = 0.0009817 ... ≈ 1 / mille ).
Minute d'arc ( n  = 21600)
La minute d'arc (ou MOA , arcminute , ou tout simplement minute ) est une / 60 d'un degré = 1 / 21600 tour. Elle est notée par un seul prime ( '). Par exemple, 3 ° 30 'est égale à 3 × 60 + 30 = 210 minutes ou 3 +  30 / 60 = 3,5 degrés. Un format mélangé avec des fractions décimales est également parfois utilisé, par exemple 3 ° 5,72 '= 3 +  5,72 / 60 degrés. Un mile nautique a été historiquement définie comme une minute d'arc le long d' un grand cercle de la Terre.
Seconde d'arc ( n  = 1.296.000)
La seconde d'arc (ou arcsecond , ou tout simplement secondes ) est une / 60 d'une minute d'arc et une / 3 600 d'un degré. Elle est notée par un double prime ( "). Par exemple, 3 ° 7 '30 "est égal à 3 + 7 / 60 + 30 / 3600 degrés, ou 3,125 degrés.

Les angles positifs et négatifs

Bien que la définition de la mesure d'un angle ne supporte pas le concept d'un angle négatif, il est souvent utile d'imposer une convention qui permet aux valeurs angulaires positives et négatives afin de représenter des orientations et / ou des rotations dans des directions opposées par rapport à une référence.

Dans un à deux dimensions du système de coordonnées cartésiennes , un angle est typiquement défini par ses deux côtés, avec son sommet à l'origine. Le côté initial est sur le positif axe x , tandis que l'autre côté ou côté terminal est défini par la mesure de la partie initiale en radians, degrés, ou à tour de rôle. Avec des angles positifs représentant des rotations vers le positif de l' axe y et les angles négatifs représentant des rotations vers les négatifs y -axis. Lorsque les coordonnées cartésiennes sont représentés par la position standard , définie par la x selon l' axe vers la droite et l' y selon l' axe vers le haut, les rotations sont positifs dans le sens antihoraire et rotations négatives sont dans le sens horaire .

Dans de nombreux contextes, un angle de - θ est effectivement équivalent à un angle de « moins d' un tour complet θ ». Par exemple, une orientation représentée comme -45 ° est effectivement équivalent à une orientation représentée comme 360 ° - 45 ° ou 315 °. Bien que la position finale est la même, une rotation physique (mouvement) de -45 ° est pas identique à une rotation de 315 ° (par exemple, la rotation d'une personne titulaire d' un repos de balai sur un sol poussiéreux sans laisser de traces visuellement différents des régions balayées sur le sol).

Dans la géométrie en trois dimensions, « droite » et « vers la gauche » aurait aucun sens absolu, de sorte que la direction des angles positifs et négatifs doit être défini par rapport à une référence, qui est typiquement un vecteur passant par le sommet de l'angle et perpendiculaire au plan dans où les rayons du mensonge d'angle.

En navigation , les paliers ou azimut sont mesurés par rapport au nord. Par convention, en vue de dessus, les angles d' appui sont dans le sens horaire positif, donc un palier de 45 ° correspond à une orientation nord-est. Des paliers négatifs ne sont pas utilisés pour la navigation, de sorte qu'une orientation nord-ouest correspond à un palier de 315 °.

D'autres moyens de mesure de la taille d'un angle

Il existe plusieurs alternatives à la mesure de la taille d'un angle par l'angle de rotation. La qualité d'une pente ou gradient est égal à la tangente de l'angle, ou parfois (rarement) le sinus . Un gradient est souvent exprimé en pourcentage. Pour des valeurs très faibles (moins de 5%), le degré de pente est approximativement la mesure de l'angle en radians.

Dans la géométrie rationnelle la propagation entre deux lignes est définie comme étant le carré du sinus de l'angle entre les lignes. Comme le sinus d'un angle et le sinus de l'angle supplémentaire sont les mêmes, tous les angles de rotation qui met en correspondance l' une des lignes dans l'autre mène à la même valeur pour l'écart entre les lignes.

approximations astronomiques

Les astronomes mesurent la séparation angulaire des objets en degrés à partir de leur point d'observation.

  • 0,5 ° est approximativement la largeur du soleil ou de la lune.
  • 1 ° est d'environ la largeur d'un petit doigt à bout de bras.
  • 10 ° est d'environ la largeur d'une main fermée à bout de bras.
  • 20 ° est d'environ la largeur d'un empan à bout de bras.

Ces mesures dépendent clairement du sujet individuel, et ci - dessus doivent être traités comme grossière règle générale que des approximations.

Angles entre les courbes

L'angle entre les deux courbes à P est défini comme l'angle entre la tangente A et B à P .

L'angle entre une ligne et une courbe (angle mixte) ou entre deux courbes d'intersection (angle curviligne) est défini comme étant l'angle entre les tangentes au point d'intersection. Divers noms (maintenant rarement, voire jamais, utilisé) ont été données à des cas particuliers: - amphicyrtic (Gr. Ἀμφί , des deux côtés, κυρτός, convexe) ou cissoidal (Gr κισσός, lierre.), Biconvexe; xystroidal ou sistroidal (Gr ξυστρίς, un outil de grattage.), concavo-convexe; amphicoelic (Gr. κοίλη, un creux) ou lunularis Angulus , biconcave.

angles bissectrice et trisection

Les anciens mathématiciens grecs savaient bisect un angle (diviser en deux angles de mesure égale) en utilisant seulement une boussole et straight , mais ne pouvait trisection certains angles. En 1837 , Pierre Wantzel a montré que pour la plupart des angles cette construction ne peut être effectuée.

Produit scalaire et généralisations

Dans l' espace euclidien , l'angle θ entre deux vecteurs euclidiennes u et v est liée à leur produit scalaire et leurs longueurs par la formule

Cette formule fournit une méthode simple pour trouver l'angle entre deux plans (ou les surfaces courbes) à partir de leurs vecteurs normaux et entre les lignes d' inclinaison de leurs équations vectorielles.

produit intérieur

Pour définir des angles dans un abstrait réel espace produit intérieur , on remplace le produit scalaire euclidien ( · ) par le produit intérieur , à savoir

Dans un complexe espace produit intérieur , l'expression de cosinus ci - dessus peut donner des valeurs non réelles, il est remplacé par

ou, plus couramment, en utilisant la valeur absolue,

La définition ci ne tient pas compte de la direction des vecteurs et décrit ainsi l'angle entre une sous - espaces de dimension et engendré par les vecteurs et de façon correspondante.

Angles entre sous-espaces

La définition de l'angle entre une sous - espaces de dimension et donnée par

dans un espace de Hilbert peut être étendue à toutes les sous - espaces de dimension finie. Compte tenu de deux sous - espaces , avec , cela conduit à une définition des angles dits canoniques ou angles principaux entre sous - espaces.

Angles de géométrie de Riemann

Dans la géométrie de Riemann , le tenseur métrique est utilisée pour définir l'angle entre les deux tangentes . Où U et V sont des vecteurs tangents et g ij sont les composantes du tenseur métrique G ,

angle hyperboliques

Un angle hyperbolique est un raisonnement d'une fonction hyperbolique tout comme l' angle circulaire est l'argument d'une fonction circulaire . La comparaison peut être visualisé comme la taille des ouvertures d'un secteur hyperbolique et un secteur circulaire depuis les zones de ces secteurs correspondent aux grandeurs d'angle dans chaque cas. Contrairement à l'angle circulaire, l'angle hyperbolique est sans limite. Lorsque les fonctions circulaires et hyperboliques sont considérées comme série infinie dans leur argument angle, les circulaires sont juste séries alternées formes des fonctions hyperboliques. Ce tissage des deux types d'angle et la fonction a été expliquée par Leonhard Euler dans Introduction à l'analyse de l'infini .

Angles en géographie et l'astronomie

En géographie , l'emplacement de tout point de la Terre peut être identifiée à l' aide d' un système de coordonnées géographiques . Ce système indique la latitude et la longitude de tout lieu en termes d'angles sous - tendus au centre de la Terre, en utilisant l' équateur et (généralement) le méridien de Greenwich comme référence.

En astronomie , un point donné sur la sphère céleste (qui est, la position apparente d'un objet astronomique) peut être identifié en utilisant l' un des plusieurs systèmes de coordonnées astronomiques , où les références varient selon le système particulier. Les astronomes mesurent la séparation angulaire des deux étoiles en imaginant deux lignes passant par le centre de la Terre , chacun croisant l' une des étoiles. L'angle entre ces lignes peut être mesurée, et la séparation angulaire entre les deux étoiles.

Dans la géographie et l' astronomie, une direction de visée peut être spécifiée en termes d'un angle vertical telles que l' altitude / élévation par rapport à l' horizon , ainsi que l' azimut par rapport au nord .

Les astronomes mesurent également la taille apparente des objets comme un diamètre angulaire . Par exemple, la pleine lune a un diamètre angulaire d'environ 0,5 °, lorsqu'il est vu à partir de la Terre. On pourrait dire: « Le diamètre de la Lune forme un angle d'un demi - degré. » La formule petit angle peut être utilisé pour convertir une telle mesure angulaire dans un rapport de distance / taille.

Voir également

Remarques

Références

Attribution

Liens externes