Accélération angulaire - Angular acceleration

Radians par seconde au carré
Système d'unité	Unité dérivée du SI
Unité de	Accélération angulaire
symbole	rad/s 2

Fait partie d'une série sur
Mécanique classique
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}$ Deuxième loi du mouvement
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En physique , l'accélération angulaire fait référence au taux de variation de la vitesse angulaire dans le temps . Comme il existe deux types de vitesse angulaire, à savoir la vitesse angulaire de spin et la vitesse angulaire orbitale, il existe naturellement aussi deux types d'accélération angulaire, appelées respectivement accélération angulaire de spin et accélération angulaire orbitale. L'accélération angulaire de rotation fait référence à l'accélération angulaire d'un corps rigide autour de son centre de rotation, et l'accélération angulaire orbitale fait référence à l'accélération angulaire d'une particule ponctuelle autour d'une origine fixe.

L' accélération angulaire est mesurée en unités d'angle par unité de temps au carré (qui , dans l' IS unités est radians par seconde au carré), et est généralement représenté par le symbole alpha ( α ). En deux dimensions, l'accélération angulaire est un pseudoscalaire dont le signe est considéré comme positif si la vitesse angulaire augmente dans le sens antihoraire ou diminue dans le sens horaire, et est considéré comme négatif si la vitesse angulaire augmente dans le sens horaire ou diminue dans le sens antihoraire. En trois dimensions, l'accélération angulaire est un pseudovecteur .

Pour les corps rigides, l'accélération angulaire doit être provoquée par un couple extérieur net . Cependant, il n'en est pas ainsi pour les corps non rigides : par exemple, une patineuse artistique peut accélérer sa rotation (obtenant ainsi une accélération angulaire) simplement en contractant ses bras et ses jambes vers l'intérieur, ce qui n'implique aucun couple extérieur .

Accélération angulaire orbitale d'une particule ponctuelle

Particule en deux dimensions

En deux dimensions, l'accélération angulaire orbitale est la vitesse à laquelle la vitesse angulaire orbitale bidimensionnelle de la particule autour de l'origine change. La vitesse angulaire instantanée ω en un point quelconque dans le temps est donnée par

${\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}}}$,

où est la distance à l'origine et est la composante transversale radiale de la vitesse instantanée (c'est-à-dire la composante perpendiculaire au vecteur position), qui par convention est positive pour le mouvement antihoraire et négative pour le mouvement horaire. ${\style d'affichage r}$${\displaystyle v_{\perp }}$

Par conséquent, l'accélération angulaire instantanée α de la particule est donnée par

${\displaystyle \alpha ={\frac {d}{dt}}({\frac {v_{\perp }}{r}})}$.

En développant le côté droit en utilisant la règle du produit du calcul différentiel, cela devient

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{ \frac {dr}{dt}}}$.

Dans le cas particulier où la particule subit un mouvement circulaire autour de l'origine, devient juste l'accélération tangentielle et disparaît (puisque la distance de l'origine reste constante), donc l'équation ci-dessus se simplifie en ${\displaystyle {\frac {dv_{\perp }}{dt}}}$${\displaystyle a_{\perp }}$${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}}$.

En deux dimensions, l'accélération angulaire est un nombre avec un signe plus ou moins indiquant l'orientation, mais ne pointant pas dans une direction. Le signe est classiquement pris comme positif si la vitesse angulaire augmente dans le sens antihoraire ou diminue dans le sens horaire, et le signe est pris négatif si la vitesse angulaire augmente dans le sens horaire ou diminue dans le sens antihoraire. L'accélération angulaire peut alors être appelée pseudoscalaire , une quantité numérique qui change de signe sous une inversion de parité , telle que l'inversion d'un axe ou la commutation des deux axes.

Particule en trois dimensions

En trois dimensions, l'accélération angulaire orbitale est la vitesse à laquelle le vecteur de vitesse angulaire orbitale tridimensionnel change avec le temps. Le vecteur vitesse angulaire instantanée à tout moment est donné par ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}}$,

où est le vecteur position de la particule, sa distance à l'origine et son vecteur vitesse. ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\style d'affichage r}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

Par conséquent, l'accélération angulaire orbitale est le vecteur défini par ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}})}$.

En développant cette dérivée en utilisant la règle du produit pour les produits croisés et la règle du quotient ordinaire, on obtient :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v } }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr }{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \times \mathbf { a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \ mathbf {v} )\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}} }{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} ).\end{aligned}}}$

Puisque est juste , le deuxième terme peut être réécrit comme . Dans le cas où la distance de la particule à l'origine ne change pas avec le temps (ce qui inclut le mouvement circulaire comme sous-cas), le deuxième terme disparaît et la formule ci-dessus se simplifie en ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }$${\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle -{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}$${\style d'affichage r}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}}$.

A partir de l'équation ci-dessus, on peut récupérer l'accélération transversale radiale dans ce cas particulier comme :

${\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} }$.

Contrairement à en deux dimensions, l'accélération angulaire en trois dimensions n'a pas besoin d'être associée à un changement de vitesse${\displaystyle \omega =|{\boldsymbol {\omega }}|}$ angulaire : Si le vecteur position de la particule « se tord » dans l'espace, changeant son plan instantané de déplacement angulaire, le changement de direction du la vitesse produira toujours une accélération angulaire non nulle. Cela ne peut pas se produire si le vecteur de position est limité à un plan fixe, auquel cas a une direction fixe perpendiculaire au plan. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Le vecteur accélération angulaire est plus proprement appelé pseudovecteur : Il a trois composantes qui se transforment sous les rotations de la même manière que les coordonnées cartésiennes d'un point, mais qui ne se transforment pas comme les coordonnées cartésiennes sous les réflexions.

Relation avec le couple

Le couple net sur une particule ponctuelle est défini comme le pseudovecteur

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$,

où est la force nette sur la particule. ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Le couple est l'analogue rotationnel de la force : il induit un changement dans l'état de rotation d'un système, tout comme la force induit un changement dans l'état de translation d'un système. Comme la force sur une particule est liée à l'accélération par l'équation , on peut écrire une équation similaire reliant le couple sur une particule à l'accélération angulaire, bien que cette relation soit nécessairement plus compliquée. ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

Tout d'abord, en remplaçant dans l'équation ci-dessus pour le couple, on obtient ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m(\mathbf {r} \times \mathbf {a} )=mr^{2}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}})}$.

De la section précédente :

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\ frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}$,

où est l'accélération angulaire orbitale et la vitesse angulaire orbitale. Par conséquent: ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }})=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}.}$

Dans le cas particulier de la distance constante de la particule à l'origine ( ), le deuxième terme de l'équation ci-dessus disparaît et l'équation ci-dessus se simplifie en ${\style d'affichage r}$${\displaystyle {\tfrac {dr}{dt}}=0}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}}$,

qui peut être interprété comme un "analogue rotationnel" à , où la quantité (appelée moment d'inertie de la particule) joue le rôle de la masse . Cependant, contrairement à , cette équation ne s'applique pas à une trajectoire arbitraire, seulement à une trajectoire contenue dans une coque sphérique autour de l'origine. ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$${\displaystyle mr^{2}}$${\style d'affichage m}$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

Voir également

• Couple
• Moment angulaire
• Vitesse angulaire
• Vitesse angulaire

Les références