Anneau (mathématiques) - Annulus (mathematics)

Illustration de la méthode de calcul visuel de Mamikon montrant que les aires de deux anneaux avec la même longueur de corde sont les mêmes quels que soient les rayons intérieur et extérieur.

En mathématiques , un anneau (pluriel annuli ou annulus ) est la région entre deux cercles concentriques. De manière informelle, il a la forme d'un anneau ou d'une rondelle de matériel . Le mot « annulus » est emprunté au mot latin anulus ou annulus qui signifie « petite bague ». La forme adjectivale est annulaire (comme dans l' éclipse annulaire ).

L'anneau ouvert est topologiquement équivalent à la fois au cylindre ouvert S ¹ × (0,1) et au plan perforé .

Surface

L'aire d'un anneau est la différence entre les aires du plus grand cercle de rayon R et du plus petit de rayon r :

${\displaystyle A=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$

L'aire d'un anneau est déterminée par la longueur du segment de ligne le plus long à l'intérieur de l'anneau, qui est la corde tangente au cercle intérieur, 2 d dans le diagramme ci-joint. Cela peut être montré en utilisant le théorème de Pythagore puisque cette ligne est tangente au plus petit cercle et perpendiculaire à son rayon en ce point, donc d et r sont les côtés d'un triangle rectangle avec l'hypoténuse R , et l'aire de l'anneau est donnée par

${\displaystyle A=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)=\pi d^{2}.}$

L'aire peut également être obtenue par calcul en divisant l'anneau en un nombre infini d'anneaux de largeur infinitésimale dρ et d'aire 2π ρ dρ puis en intégrant de ρ = r à ρ = R :

${\displaystyle A=\int _{r}^{R}\!\!2\pi \rho \,d\rho =\pi \left(R^{2}-r^{2}\right). }$

La zone d'un secteur de l' espace annulaire de l' angle θ , avec θ mesuré en radians, est donnée par

${\displaystyle A={\frac {\theta }{2}}\left(R^{2}-r^{2}\right).}$

Structure complexe

En analyse complexe, un anneau ann( a ; r , R ) dans le plan complexe est une région ouverte définie comme

${\displaystyle r<|za|<R.}$

Si r vaut 0 , la région est connue sous le nom de disque perforé (un disque avec un trou ponctuel au centre) de rayon R autour du point a .

En tant que sous-ensemble du plan complexe , un anneau peut être considéré comme une surface de Riemann . La structure complexe d'un anneau ne dépend que du rapport r/R. Chaque anneau ann( a ; r , R ) peut être mappé holomorphe à un anneau standard centré à l'origine et avec un rayon extérieur 1 par la carte

${\displaystyle z\mapsto {\frac {za}{R}}.}$

Le rayon intérieur est alors r/R< 1 .

Le théorème des trois cercles de Hadamard est une déclaration sur la valeur maximale qu'une fonction holomorphe peut prendre à l'intérieur d'un anneau.

Voir également

• Fraise annulaire
• Théorème/conjecture de l'Annulus  – En mathématiques, sur la région entre deux sphères bien élevées
• Liste des formes géométriques
• Coquille sphérique
• Tore  – Surface de révolution en forme de beignet
• Calcul visuel#Description  – Preuves mathématiques visuelles, pour une approche alternative de l'aire de l'anneau

Les références

Liens externes

• Définition et propriétés de l'anneau Avec animation interactive
• Aire d'un anneau, formule Avec animation interactive