relation antisymétrique - Antisymmetric relation


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En mathématiques , une relation binaire R sur un ensemble X est anti-symétrique s'il n'y a pas de paire distincts éléments de X dont chacun est lié par R à l'autre. Plus formellement, R est anti-symétrique précisément si pour tout un et b dans X

si R ( a , b ) avec un  ≠  b , alors R ( b , a ) ne doit pas contenir,

ou équivalent,

si R ( a , b ) et R ( b , a ), puis a  =  b .

(La définition de rien ne dit antisymétrie de savoir si R ( a , a ) détient effectivement ou non pour tout un .)

La divisibilité rapport sur les nombres naturels est un exemple important d'une relation anti-symétrique. Dans ce contexte, des moyens anti-symétrie que la seule façon dont chacun des deux nombres peut être divisible par l'autre si les deux sont, en fait, le même nombre; de manière équivalente, si n et m sont distincts et n est un facteur de m , alors m ne peut pas être un facteur n . Par exemple, 12 est divisible par 4, mais 4 n'est pas divisible par 12.

L'habituelle relation d'ordre ≤ sur les nombres réels est anti-symétrique: si pour deux nombres réels x et y les deux inégalités x  ≤  y et y  ≤  x tiennent alors x et y doivent être égaux. De même, le sous - ensemble afin ⊆ sur les sous - ensembles d'un ensemble donné est anti-symétrique: étant donné deux ensembles A et B , si chaque élément de A est également en B et chaque élément B est également en A , alors A et B doivent contenir tous les mêmes éléments et donc égaux:

Partiels et le total des commandes sont antisymétrique par définition. Une relation peut être à la fois symétrique et anti-symétrique (par exemple, la relation d'égalité ), et il y a des relations qui ne sont ni symétriques , ni anti-symétrique (par exemple, les « proies sur » relation sur biologique des espèces ).

Anti-symétrie est différente de l' asymétrie , ce qui nécessite à la fois anti-symétrie et irréflexivité . Ainsi, toute relation asymétrique est anti-symétrique, mais l'inverse est faux.

Voir également

Références

  • Weisstein, Eric W. "Relation antisymétrique" . MathWorld .
  • Lipschutz, Seymour ; Marc Lars Lipson (1997). Théorie et problèmes de mathématiques discrètes . McGraw-Hill. p. 33. ISBN  0-07-038045-7 .