Propriété d'Archimède - Archimedean property

Illustration de la propriété d'Archimède.

En algèbre abstraite et en analyse , la propriété d'Archimède , du nom du mathématicien grec Archimède de Syracuse , est une propriété détenue par certaines structures algébriques , telles que les groupes ordonnés ou normés , et les champs . La propriété, généralement interprétée, indique qu'étant donné deux nombres positifs x et y , il existe un entier n tel que nx > y . Cela signifie également que l'ensemble des nombres naturels n'est pas borné ci-dessus. En gros, c'est la propriété de ne pas avoir d'éléments infiniment grands ou infiniment petits . C'est Otto Stolz qui a donné son nom à l'axiome d'Archimède car il apparaît comme l'Axiome V d'Archimède sur la sphère et le cylindre .

La notion est née de la théorie des grandeurs de la Grèce antique ; il joue encore un rôle important dans les mathématiques modernes tels que David Hilbert de axiomes de la géométrie , et les théories des groupes ordonnés , champs ordonnés , et les champs locaux .

Une structure algébrique dans laquelle deux éléments non nuls quelconques sont comparables , en ce sens qu'aucun d'eux n'est infinitésimal l'un par rapport à l'autre, est dite archimédienne . Une structure qui a une paire d'éléments non nuls, dont l'un est infinitésimal par rapport à l'autre, est dite non archimédienne . Par exemple, un groupe ordonné linéairement qui est archimédien est un groupe archimédien .

Cela peut être précisé dans divers contextes avec des formulations légèrement différentes. Par exemple, dans le cadre des corps ordonnés , on a l' axiome d'Archimède qui formule cette propriété, où le corps des nombres réels est archimédien, mais celui des fonctions rationnelles à coefficients réels ne l'est pas.

Histoire et origine du nom de la propriété d'Archimède

Le concept a été nommé par Otto Stolz (dans les années 1880) d'après l' ancien géomètre et physicien grec Archimède de Syracuse .

La archimédien apparaît dans le livre V de Euclide éléments comme Définition 4:

On dit que les grandeurs ont un rapport entre elles qui peut, lorsqu'elles sont multipliées, se dépasser les unes les autres.

Parce qu'Archimède l'a attribué à Eudoxe de Cnide, il est également connu sous le nom de "théorème d'Eudoxe" ou d' axiome d'Eudoxe .

Archimède a utilisé des infinitésimaux dans les arguments heuristiques , bien qu'il ait nié qu'il s'agissait de preuves mathématiques finies .

Définition des groupes ordonnés linéairement

Soit $x$ et $y$ avoir des éléments positifs d'un groupe totalement ordonné G . Alors $x$ est infinitésimal par rapport à $y$ (ou de manière équivalente, $y$ est infini par rapport à $x$ ) si, pour chaque entier naturel $n$ , le multiple $nx$ est inférieur à $y$ , c'est-à-dire que l'inégalité suivante est vérifiée :

\underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{terms}}}<y.\,

Cette définition peut être étendue à l'ensemble du groupe en prenant des valeurs absolues.

Le groupe $G$ est d' Archimède s'il n'existe pas de couple $(x, y)$ tel que $x$ soit infinitésimal par rapport à $y$ .

De plus, si $K$ est une structure algébrique avec une unité (1) — par exemple, un anneau — une définition similaire s'applique à $K$ . Si $x$ est infinitésimal par rapport à 1, alors $x$ est un élément infinitésimal . De même, si $y$ est infini par rapport à 1, alors $y$ est un élément infini . La structure algébrique $K$ est archimédienne si elle n'a ni éléments infinis ni éléments infinitésimaux.

Champs ordonnés

Les champs ordonnés ont des propriétés supplémentaires :

Les nombres rationnels sont intégrés dans n'importe quel champ ordonné. C'est-à-dire que tout champ ordonné a une caractéristique zéro.
Si $x$ est infinitésimal, alors $1/ x$ est infini, et vice versa. Donc, pour vérifier qu'un champ est archimédien il suffit de vérifier seulement qu'il n'y a pas d'éléments infinitésimaux, ou de vérifier qu'il n'y a pas d'éléments infinis.
Si $x$ est infinitésimal et r est un nombre rationnel, alors $rx$ est également infinitésimal. En conséquence, étant donné un élément général $c$ , les trois nombres $c /2$ , $c$ et $2 c$ sont soit tous infinitésimaux, soit tous non infinitésimaux.

Dans ce cadre, un champ ordonné $K$ est archimédien précisément lorsque l'énoncé suivant, appelé axiome d'Archimède , est vérifié :

"Soit

x

un élément quelconque de

K

. Alors il existe un entier naturel

n

tel que

n > x

."

Alternativement, on peut utiliser la caractérisation suivante :

\forall \,\varepsilon \in K{\big (}\varepsilon >0\implies \exists \ n\in N:1/n<\varepsilon {\big )}.

Définition des champs normés

Le qualificatif « archimédien » est également formulé dans la théorie des champs valués de rang un et des espaces normés sur les champs valués de rang un comme suit. Soit $F$ un corps doté d'une fonction de valeur absolue, à savoir une fonction qui associe le nombre réel 0 avec l'élément de trame 0 et associe un nombre réel positif à chaque non nul $x$ $\in$ $F$ et satisfait et . Ensuite, $F$ est dit archimédien si pour une non nul $x$ $\in$ $F$ , il existe un nombre naturel $n$ tel que ${\style d'affichage |x|}$ ${\style d'affichage |xy|=|x||y|}$ ${\style d'affichage |x+y|\leq |x|+|y|}$

|\underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{terms}}}|>1.

De même, un espace normé est archimédien si une somme de $n$ termes, chacun égal à un vecteur non nul $x$ , a une norme supérieure à un pour $n$ suffisamment grand . Un champ avec une valeur absolue ou un espace normé est soit d'Archimède, soit satisfait à la condition la plus forte, appelée inégalité triangulaire ultramétrique ,

{\style d'affichage |x+y|\leq \max(|x|,|y|),}

respectivement. Un champ ou espace normé satisfaisant l'inégalité triangulaire ultramétrique est appelé non-archimédien .

Le concept d'espace linéaire normé non archimédien a été introduit par AF Monna.

Exemples et non-exemples

Propriété d'Archimède des nombres réels

Le champ des nombres rationnels peut se voir attribuer l'une des fonctions de valeur absolue, y compris la fonction triviale lorsque $x$ $0$ , la plus habituelle et les fonctions de valeur absolue $p-$ adique . D'après le théorème d'Ostrowski , chaque valeur absolue non triviale sur les nombres rationnels est équivalente soit à la valeur absolue habituelle, soit à une valeur absolue $p$ -adique. Le champ rationnel n'est pas complet par rapport aux valeurs absolues non triviales ; par rapport à la valeur absolue triviale, le champ rationnel est un espace topologique discret, donc complet. La complétion par rapport à la valeur absolue habituelle (de l'ordre) est le champ des nombres réels. Par cette construction le corps des nombres réels est archimédien à la fois comme corps ordonné et comme corps normé. Par contre, les complétions par rapport aux autres valeurs absolues non triviales donnent les corps de nombres $p$ -adiques, où $p$ est un nombre entier premier (voir ci-dessous) ; puisque les valeurs absolues $p$ -adiques satisfont à la propriété ultramétrique , alors les champs de nombres $p$ -adiques sont non archimédiens en tant que champs normés (ils ne peuvent pas être transformés en champs ordonnés). ${\style d'affichage |x|=1,}$ ${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$

Dans la théorie axiomatique des nombres réels , la non-existence de nombres réels infinitésimaux non nuls est impliquée par la propriété de limite supérieure comme suit. Notons par $Z$ l'ensemble constitué de tous les infinitésimaux positifs. Cet ensemble est borné ci-dessus par 1. Supposons maintenant pour une contradiction que $Z$ est non vide. Alors il a une borne supérieure $c$ , qui est également positive, donc $c /2 < c < 2 c$ . Puisque $c$ est une borne supérieure de $Z$ et que $2 c$ est strictement plus grand que $c$ , $2 c$ n'est pas un infinitésimal positif. C'est-à-dire qu'il existe un nombre naturel $n$ pour lequel $1/ n < 2 c$ . D'autre part, $c /2$ est un infinitésimal positif, puisque par la définition de la plus petite borne supérieure il doit y avoir un $x$ infinitésimal entre $c /2$ et $c$ , et si $1/ k < c /2 x$ alors $x$ n'est pas infinitésimal . Mais $1/(4 n) < c /2$ , donc $c /2$ n'est pas infinitésimal, et c'est une contradiction. Cela signifie que $Z$ est vide après tout : il n'y a pas de nombres réels positifs et infinitésimaux.

La propriété d'Archimède des nombres réels est également valable dans l' analyse constructive , même si la propriété de la limite supérieure peut échouer dans ce contexte.

Champ ordonné non archimédien

Pour un exemple de corps ordonné qui n'est pas archimédien, prenons le corps de fonctions rationnelles à coefficients réels. (Une fonction rationnelle est toute fonction qui peut être exprimée comme un polynôme divisé par un autre polynôme ; nous supposerons dans ce qui suit que cela a été fait de telle sorte que le coefficient dominant du dénominateur soit positif.) Pour en faire une fonction ordonnée. champ, il faut attribuer un ordre compatible avec les opérations d'addition et de multiplication. Maintenant $f > g$ si et seulement si f − g > 0, il suffit donc de dire quelles fonctions rationnelles sont considérées comme positives. Appelez la fonction positive si le coefficient dominant du numérateur est positif. (Il faut vérifier que cet ordre est bien défini et compatible avec l'addition et la multiplication.) Par cette définition, la fonction rationnelle 1/ x est positive mais inférieure à la fonction rationnelle 1. En fait, si $n$ est un entier naturel, alors n (1/ x ) = n / x est positif mais toujours inférieur à 1, quelle que soit la taille de $n$ . Par conséquent, 1/ x est un infinitésimal dans ce domaine.

Cet exemple se généralise à d'autres coefficients. Prendre des fonctions rationnelles avec des coefficients rationnels au lieu de réels produit un champ ordonné non archimédien dénombrable. Prendre les coefficients comme les fonctions rationnelles d'une variable différente, disons $y$ , produit un exemple avec un type d'ordre différent .

Champs à valeur non archimédienne

Le champ des nombres rationnels dotés de la métrique p-adique et les champs de nombres p-adiques qui sont les complétions, n'ont pas la propriété d'Archimède comme champs à valeurs absolues. Tous les champs valués d'Archimède sont isométriquement isomorphes à un sous-champ des nombres complexes avec une puissance de la valeur absolue habituelle.

Définitions équivalentes du champ ordonné d'Archimède

Chaque champ $K$ linéairement ordonné contient (une copie isomorphe de) les rationnels en tant que sous-champ ordonné, à savoir le sous-champ généré par l'unité multiplicative 1 de $K$ , qui à son tour contient les entiers en tant que sous-groupe ordonné, qui contient les nombres naturels en tant que monoïde . Le plongement des rationnels donne alors une façon de parler des rationnels, des entiers et des nombres naturels dans $K$ . Ce qui suit sont des caractérisations équivalentes des champs d'Archimède en termes de ces sous-structures.

Les entiers naturels sont cofinals dans $K$ . C'est-à-dire que chaque élément de $K$ est inférieur à un nombre naturel. (Ce n'est pas le cas lorsqu'il existe des éléments infinis.) Ainsi, un champ d'Archimède est celui dont les nombres naturels croissent sans limite.
Zéro est l' infimum en $K$ de l'ensemble {1/2, 1/3, 1/4, …}. (Si $K$ contenait une valeur infinitésimale positive, ce serait une borne inférieure pour l'ensemble d'où zéro ne serait pas la plus grande borne inférieure.)
L'ensemble des éléments de $K$ entre les rationnels positifs et négatifs est non-ouvert. C'est parce que l'ensemble se compose de tous les infinitésimaux, qui est juste l'ensemble {0} lorsqu'il n'y a pas d'infinitésimaux non nuls, et sinon est ouvert, il n'y a ni le plus petit ni le plus grand infinitésimal non nul. Remarquons que dans les deux cas, l'ensemble des infinitésimaux est fermé. Dans ce dernier cas, (i) tout infinitésimal est inférieur à tout rationnel positif, (ii) il n'y a ni plus grand infinitésimal ni plus petit rationnel positif, et (iii) il n'y a rien d'autre entre les deux. Par conséquent, tout champ ordonné non archimédien est à la fois incomplet et déconnecté.
Pour tout $x$ dans $K,$ l'ensemble des entiers supérieurs à $x$ a un moindre élément. (Si $x$ était une quantité infinie négative, chaque entier serait supérieur à elle.)
Tout intervalle ouvert non vide de $K$ contient un rationnel. (Si $x$ est un infinitésimal positif, l'intervalle ouvert $(x, 2 x)$ contient une infinité d'infinitésimaux mais pas un seul rationnel.)
Les rationnels sont denses dans $K$ par rapport à sup et inf. (C'est-à-dire que chaque élément de $K$ est le sup d'un certain ensemble de rationnels, et l'inf d'un autre ensemble de rationnels.) Ainsi, un champ d'Archimède est toute extension ordonnée dense des rationnels, au sens de tout champ ordonné qui intègre ses éléments rationnels.

Voir également

0.999... – Extension décimale alternative du nombre 1
Espace vectoriel ordonné d'Archimède
Construction des nombres réels – Définitions axiomatiques des nombres réels

Remarques

Les références

Schechter, Éric (1997). Manuel d'analyse et ses fondements . Presse académique. ISBN 0-12-622760-8. Archivé de l'original le 2015-03-07 . Récupéré le 30-01-2009 .

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