Arithmétique - Arithmetic

Tables arithmétiques pour enfants, Lausanne, 1835

Arithmétique (du grec ἀριθμός arithmos , « nombre » et τική [τέχνη] , Tike [Techné] , « l' art » ou « métier ») est une branche de mathématiques qui se compose de l'étude des nombres , en particulier en ce qui concerne les propriétés du traditionnel opérations sur eux - addition , soustraction , multiplication , division , exponentiation et extraction de racines . L'arithmétique est une partie élémentaire de la théorie des nombres, et la théorie des nombres est considérée comme l'une des divisions de niveau supérieur des mathématiques modernes , avec l' algèbre , la géométrie et l' analyse . Les termes arithmétique et arithmétique supérieure ont été utilisés jusqu'au début du XXe siècle comme synonymes de la théorie des nombres et sont parfois encore utilisés pour désigner une partie plus large de la théorie des nombres.

Histoire

La préhistoire de l'arithmétique se limite à un petit nombre d'artefacts, qui peuvent indiquer la conception de l'addition et de la soustraction, le plus connu étant l' os d'Ishango d' Afrique centrale , datant de quelque part entre 20 000 et 18 000 avant JC, bien que son interprétation soit contestée.

Les premiers documents écrits indiquent que les Égyptiens et les Babyloniens utilisaient toutes les opérations arithmétiques élémentaires dès 2000 av. Ces artefacts ne révèlent pas toujours le processus spécifique utilisé pour résoudre les problèmes, mais les caractéristiques du système numérique particulier influencent fortement la complexité des méthodes. Le système hiéroglyphique des chiffres égyptiens , comme les chiffres romains ultérieurs , est issu des marques de pointage utilisées pour compter. Dans les deux cas, cette origine a donné lieu à des valeurs utilisant une base décimale , mais n'incluant pas de notation positionnelle . Les calculs complexes avec des chiffres romains nécessitaient l'aide d'une planche de comptage (ou du boulier romain ) pour obtenir les résultats.

Les premiers systèmes numériques qui incluaient la notation positionnelle n'étaient pas décimaux, y compris le système sexagésimal (base 60) pour les chiffres babyloniens et le système vigésimal (base 20) qui définissait les chiffres mayas . En raison de ce concept de valeur de position, la possibilité de réutiliser les mêmes chiffres pour différentes valeurs a contribué à des méthodes de calcul plus simples et plus efficaces.

Le développement historique continu de l'arithmétique moderne commence avec la civilisation hellénistique de la Grèce antique, bien qu'elle soit née beaucoup plus tard que les exemples babyloniens et égyptiens. Avant les travaux d' Euclide vers 300 avant JC, les études grecques en mathématiques se chevauchaient avec des croyances philosophiques et mystiques. Par exemple, Nicomaque a résumé le point de vue de l' approche pythagoricienne des nombres et de leurs relations les uns avec les autres dans son Introduction à l'arithmétique .

Les chiffres grecs étaient utilisés par Archimède , Diophante et d'autres dans une notation positionnelle pas très différente de la notation moderne. Les anciens Grecs n'avaient pas de symbole pour le zéro jusqu'à la période hellénistique, et ils utilisaient trois ensembles distincts de symboles comme chiffres : un ensemble pour les unités, un pour les dizaines et un pour les centaines. Pour la place des milliers, ils réutiliseraient les symboles pour la place des unités, et ainsi de suite. Leur algorithme d'addition était identique à la méthode moderne et leur algorithme de multiplication n'était que légèrement différent. Leur algorithme de division longue était le même, et l' algorithme de racine carrée chiffre par chiffre , couramment utilisé au XXe siècle, était connu d'Archimède (qui l'a peut-être inventé). Il l'a préféré à la méthode d'approximation successive de Hero car, une fois calculé, un chiffre ne change pas, et les racines carrées des carrés parfaits, comme 7485696, se terminent immédiatement par 2736. Pour les nombres avec une partie fractionnaire, comme 546.934, ils ont utilisé puissances négatives de 60—au lieu de puissances négatives de 10 pour la partie fractionnaire 0,934.

Les anciens Chinois avaient des études arithmétiques avancées datant de la dynastie Shang et se poursuivant tout au long de la dynastie Tang, des nombres de base à l'algèbre avancée. Les anciens Chinois utilisaient une notation positionnelle similaire à celle des Grecs. Puisqu'il leur manquait également un symbole pour zéro , ils avaient un ensemble de symboles pour le lieu des unités et un deuxième ensemble pour le lieu des dizaines. Pour la place des centaines, ils ont ensuite réutilisé les symboles de la place des unités, et ainsi de suite. Leurs symboles étaient basés sur les anciennes barres de comptage . L'heure exacte à laquelle les Chinois ont commencé à calculer avec la représentation positionnelle est inconnue, bien que l'on sache que l'adoption a commencé avant 400 av. Les anciens Chinois ont été les premiers à découvrir, comprendre et appliquer de manière significative les nombres négatifs. Ceci est expliqué dans les Neuf chapitres sur l'art mathématique ( Jiuzhang Suanshu ), qui a été écrit par Liu Hui et remonte au 2ème siècle avant JC.

Le développement progressif du système de numération hindou-arabe a conçu indépendamment le concept de valeur de position et la notation positionnelle, qui combinaient les méthodes de calcul les plus simples avec une base décimale et l'utilisation d'un chiffre représentant 0 . Cela a permis au système de représenter de manière cohérente à la fois les grands et les petits entiers, une approche qui a finalement remplacé tous les autres systèmes. Au début du 6ème siècle après JC, le mathématicien indien Aryabhata a incorporé une version existante de ce système dans son travail et a expérimenté différentes notations. Au 7ème siècle, Brahmagupta a établi l'utilisation de 0 en tant que nombre séparé et a déterminé les résultats pour la multiplication, la division, l'addition et la soustraction de zéro et de tous les autres nombres, à l'exception du résultat de la division par zéro . Son contemporain, l' évêque syriaque Severus Sebokht (650 après JC) a dit : « Les Indiens possèdent une méthode de calcul qu'aucun mot ne peut assez louer. Leur système rationnel de mathématiques, ou de leur méthode de calcul. Je veux dire le système utilisant neuf symboles. Les Arabes ont également appris cette nouvelle méthode et l'ont appelée hesab .

Le Stepped Reckoner de Leibniz a été la première calculatrice capable d'effectuer les quatre opérations arithmétiques.

Bien que le Codex Vigilanus ait décrit une première forme de chiffres arabes (en omettant 0) en 976 après JC, Léonard de Pise ( Fibonacci ) était principalement responsable de la diffusion de leur utilisation dans toute l'Europe après la publication de son livre Liber Abaci en 1202. Il a écrit : « Le méthode des Indiens (Latin Modus Indorum ) surpasse toute méthode connue pour calculer. C'est une méthode merveilleuse. Ils font leurs calculs en utilisant neuf chiffres et le symbole zéro ".

Au Moyen Âge, l'arithmétique était l'un des sept arts libéraux enseignés dans les universités.

L'épanouissement de l' algèbre dans le monde islamique médiéval , et aussi dans l' Europe de la Renaissance , était une conséquence de l'énorme simplification du calcul par la notation décimale .

Divers types d'outils ont été inventés et largement utilisés pour faciliter les calculs numériques. Avant la Renaissance, il s'agissait de divers types d' abaques . Des exemples plus récents incluent des règles de diapositives , des abaques et des calculateurs mécaniques , comme la calculatrice de Pascal . À l'heure actuelle, ils ont été supplantés par les calculatrices électroniques et les ordinateurs .

Opérations arithmétiques

Les opérations arithmétiques de base sont l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Bien que l'arithmétique comprenne également des opérations plus avancées, telles que des manipulations de pourcentages , de racines carrées , d' exponentiation , de fonctions logarithmiques , et même de fonctions trigonométriques , dans la même veine que les logarithmes ( prosthaphaeresis ). Les expressions arithmétiques doivent être évaluées en fonction de la séquence d'opérations prévue. Il existe plusieurs méthodes pour spécifier cela, soit - la plus courante, avec la notation infixe - en utilisant explicitement des parenthèses et en s'appuyant sur les règles de priorité , ou en utilisant une notation préfixe ou postfixe , qui fixent de manière unique l'ordre d'exécution par eux-mêmes. Tout ensemble d'objets sur lesquels les quatre opérations arithmétiques (sauf la division par zéro ) peuvent être effectuées, et où ces quatre opérations obéissent aux lois habituelles (y compris la distributivité), est appelé un champ .

Une addition

L'addition, désignée par le symbole , est l'opération la plus élémentaire de l'arithmétique. Dans sa forme simple, l'addition combine deux nombres, les additions ou les termes , en un seul nombre, la somme des nombres (comme 2 + 2 = 4 ou 3 + 5 = 8 ).

L'ajout d'un nombre fini de nombres peut être considéré comme une simple addition répétée ; cette procédure est connue sous le nom de sommation , un terme également utilisé pour désigner la définition de "l'addition d'une infinité de nombres" dans une série infinie . L'addition répétée du nombre  1 est la forme de comptage la plus basique ; le résultat de l'ajout de 1 est généralement appelé le successeur du nombre d'origine.

L'addition est commutative et associative , donc l'ordre dans lequel un nombre fini de termes est ajouté n'a pas d'importance.

Le nombre 0 a la propriété que, lorsqu'il est ajouté à n'importe quel nombre, il donne le même nombre ; c'est donc l' élément identitaire de l'addition, ou l' identité additive .

Pour tout nombre x , il existe un nombre noté x , appelé l' opposé de x , tel que x + (– x ) = 0 et (– x ) + x = 0 . Ainsi, l'opposé de x est l' inverse de x par rapport à l'addition, ou l' inverse additif de x . Par exemple, l'opposé de 7 est −7 , puisque 7 + (−7) = 0 .

L'addition peut également être interprétée géométriquement, comme dans l'exemple suivant. Si nous avons deux bâtons de longueurs 2 et 5 , alors, si les bâtons sont alignés l'un après l'autre, la longueur du bâton combiné devient 7 , puisque 2 + 5 = 7 .

Soustraction

La soustraction, désignée par le symbole , est l'opération inverse de l'addition. La soustraction trouve la différence entre deux nombres, le minuend moins le subtrahend : D = MS . En recourant à l'addition précédemment établie, c'est-à-dire que la différence est le nombre qui, ajouté à la sous-chaîne, se traduit par la minuende : D + S = M .

Pour les arguments positifs, M et S sont vérifiés :

Si le minuend est plus grand que le subtrahend, la différence D est positive.
Si le minuend est plus petit que le subtrahend, la différence D est négative.

Dans tous les cas, si minuend et subtrahend sont égaux, la différence D = 0.

La soustraction n'est ni commutative ni associative . Pour cette raison, la construction de cette opération inverse dans l'algèbre moderne est souvent rejetée en faveur de l'introduction du concept d'éléments inverses (comme esquissé sous § Addition ), où la soustraction est considérée comme l'ajout de l'inverse additif du sous-trahende au minuend, que est, ab = a + (− b ) . Le prix immédiat de l'abandon de l'opération binaire de soustraction est l'introduction de l' opération unaire (triviale) , fournissant l'inverse additif pour un nombre donné, et perdant l'accès immédiat à la notion de différence , qui est potentiellement trompeuse lorsque des arguments négatifs sont impliqués. .

Pour toute représentation des nombres, il existe des méthodes de calcul des résultats, dont certaines sont particulièrement avantageuses en exploitant des procédures, existant pour une opération, par petites retouches aussi pour d'autres. Par exemple, les calculateurs numériques peuvent réutiliser les circuits d'addition existants et économiser des circuits supplémentaires pour implémenter une soustraction, en employant la méthode du complément à deux pour représenter les inverses additifs, qui est extrêmement facile à implémenter matériellement ( négation ). Le compromis est la réduction de moitié de la plage de nombres pour une longueur de mot fixe.

Une méthode autrefois largement répandue pour obtenir un montant de changement correct, connaissant les montants dus et donnés, est la méthode de comptage , qui ne génère pas explicitement la valeur de la différence. Supposons qu'un montant P soit donné afin de payer le montant requis Q , avec P supérieur à Q . Plutôt que d'effectuer explicitement la soustraction PQ = C et de compter ce montant C en monnaie, l'argent est compté en commençant par le successeur de Q , et en continuant dans les étapes de la monnaie, jusqu'à ce que P soit atteint. Bien que le montant compté doive être égal au résultat de la soustraction PQ , la soustraction n'a jamais vraiment été effectuée et la valeur de PQ n'est pas fournie par cette méthode.

Multiplication

La multiplication, désignée par les symboles ou , est la deuxième opération de base de l'arithmétique. La multiplication combine également deux nombres en un seul nombre, le produit . Les deux nombres originaux s'appellent le multiplicateur et le multiplicande , la plupart du temps les deux sont simplement appelés facteurs .

La multiplication peut être considérée comme une opération de mise à l'échelle. Si les nombres sont imaginés comme allongés sur une ligne, la multiplication par un nombre supérieur à 1, disons x , revient à tout étirer uniformément à partir de 0, de manière à ce que le nombre 1 lui-même soit étiré jusqu'à l'endroit où se trouvait x . De même, multiplier par un nombre inférieur à 1 peut être imaginé comme une compression vers 0, de sorte que 1 va au multiplicande.

Une autre vue sur la multiplication de nombres entiers (extensible aux rationnels mais pas très accessible pour les nombres réels) est de la considérer comme une addition répétée. Par exemple. 3 × 4 correspond soit à additionner 3 fois un 4 , soit 4 fois un 3 , ce qui donne le même résultat. Il existe différentes opinions sur l'avantage de ces paradigmes dans l'enseignement des mathématiques.

La multiplication est commutative et associative ; de plus, il est distributif sur l'addition et la soustraction. L' identité multiplicative est 1, puisque multiplier n'importe quel nombre par 1 donne le même nombre. L' inverse multiplicatif pour tout nombre sauf  0 est l' inverse de ce nombre, car la multiplication de l'inverse de n'importe quel nombre par le nombre lui-même donne l'identité multiplicative 1 . 0  est le seul nombre sans inverse multiplicatif, et le résultat de la multiplication de n'importe quel nombre et 0 est à nouveau 0. On dit que 0 n'est pas contenu dans le groupe multiplicatif des nombres.

Le produit de a et b s'écrit a × b ou a · b . Lorsque a ou b sont des expressions qui ne s'écrivent pas simplement avec des chiffres, cela s'écrit aussi par simple juxtaposition :  ab . Dans les langages de programmation informatique et les progiciels (dans lesquels on ne peut utiliser que des caractères normalement présents sur un clavier), il est souvent écrit avec un astérisque :  a * b.

Les algorithmes mettant en œuvre l'opération de multiplication pour diverses représentations de nombres sont de loin plus coûteux et laborieux que ceux d'addition. Ceux accessibles pour le calcul manuel reposent soit sur la décomposition des facteurs en valeurs à une seule position et l'application d'additions répétées, soit sur l'utilisation de tableaux ou de règles à calcul , mappant ainsi la multiplication à l'addition et vice versa. Ces méthodes sont obsolètes et sont progressivement remplacées par les appareils mobiles. Les ordinateurs utilisent divers algorithmes sophistiqués et hautement optimisés pour implémenter la multiplication et la division pour les différents formats de nombres pris en charge dans leur système.

Division

La division, désignée par les symboles ou , est essentiellement l'opération inverse de la multiplication. Division trouve le quotient de deux nombres, le dividende divisé par le diviseur . Tout dividende divisé par zéro est indéfini. Pour les nombres positifs distincts, si le dividende est supérieur au diviseur, le quotient est supérieur à 1, sinon il est inférieur ou égal à 1 (une règle similaire s'applique pour les nombres négatifs). Le quotient multiplié par le diviseur donne toujours le dividende.

La division n'est ni commutative ni associative. Ainsi, comme expliqué dans § Soustraction , la construction de la division en algèbre moderne est écartée au profit de la construction des éléments inverses par rapport à la multiplication, comme introduit dans § Multiplication . Par conséquent, la division est la multiplication du dividende avec l' inverse du diviseur comme facteurs, c'est-à-dire a ÷ b = a × 1/b.

Dans les nombres naturels, il existe également une notion différente mais liée appelée division euclidienne , qui génère deux nombres après avoir "divisé" un N naturel (numérateur) par un D naturel (dénominateur): d'abord un Q naturel (quotient) et ensuite un R naturel (reste) tel que N = D × Q + R et 0 R < Q .

Dans certains contextes, y compris la programmation informatique et l'arithmétique avancée, la division est étendue avec une autre sortie pour le reste. Ceci est souvent traité comme une opération distincte, l' opération Modulo , désignée par le symbole ou le mot , bien que parfois une deuxième sortie pour une opération "divmod". Dans les deux cas, l' arithmétique modulaire a une variété de cas d'utilisation. Différentes implémentations de division (plancher, tronqué, euclidien, etc.) correspondent à différentes implémentations de module.

Théorème fondamental de l'arithmétique

Le théorème fondamental de l'arithmétique stipule que tout entier supérieur à 1 a une factorisation première unique (une représentation d'un nombre comme le produit de facteurs premiers), à l'exclusion de l'ordre des facteurs. Par exemple, 252 n'a qu'une seule factorisation première :

252 = 2 2 × 3 2 × 7 1

Les éléments d'Euclide ont d' abord introduit ce théorème et ont donné une preuve partielle (appelée lemme d'Euclide ). Le théorème fondamental de l'arithmétique a été prouvé pour la première fois par Carl Friedrich Gauss .

Le théorème fondamental de l'arithmétique est l'une des raisons pour lesquelles 1 n'est pas considéré comme un nombre premier . D'autres raisons incluent le crible d'Ératosthène et la définition d'un nombre premier lui-même (un nombre naturel supérieur à 1 qui ne peut pas être formé en multipliant deux nombres naturels plus petits.).

Arithmétique décimale

La représentation décimale se réfère exclusivement, dans l'usage courant, au système de numération écriteutilisant des chiffres arabes comme chiffres pour une notation positionnelle de base 10 ("décimale") ; cependant, tout système de numération basé sur des puissances de 10, par exemple, les chiffres grecs , cyrilliques , romains ou chinois peut conceptuellement être décrit comme « notation décimale » ou « représentation décimale ».

Les méthodes modernes pour quatre opérations fondamentales (addition, soustraction, multiplication et division) ont d'abord été conçues par Brahmagupta de l'Inde. Cela était connu pendant l'Europe médiévale sous le nom de "Modus Indorum" ou Méthode des Indiens. La notation positionnelle (également connue sous le nom de "notation de valeur de position") fait référence à la représentation ou à l'encodage de nombres utilisant le même symbole pour les différents ordres de grandeur (par exemple, la "place des unités", "la place des dizaines", "la place des centaines") et, avec un point de base , en utilisant ces mêmes symboles pour représenter des fractions (par exemple, la "place des dixièmes", "la place des centièmes"). Par exemple, 507.36 désigne 5 centaines (10 2 ), plus 0 dizaines (10 1 ), plus 7 unités (10 0 ), plus 3 dixièmes (10 -1 ) plus 6 centièmes (10 -2 ).

Le concept de 0 en tant que nombre comparable aux autres chiffres de base est essentiel à cette notation, tout comme le concept d'utilisation de 0 comme espace réservé, et de même que la définition de multiplication et d'addition avec 0. L'utilisation de 0 comme espace réservé et , par conséquent, l'utilisation d'une notation positionnelle est attestée pour la première fois dans le texte jaïn de l' Inde intitulé le Lokavibhâga , daté de 458 après JC et ce n'est qu'au début du 13ème siècle que ces concepts, transmis via l' érudition du monde arabe , ont été introduits en Europe par Fibonacci en utilisant le système de numération hindou-arabe.

L'algorithme comprend l'ensemble des règles permettant d'effectuer des calculs arithmétiques à l'aide de ce type de numéral écrit. Par exemple, l'addition produit la somme de deux nombres arbitraires. Le résultat est calculé par l'addition répétée de chiffres uniques de chaque numéro qui occupe la même position, en procédant de droite à gauche. Un tableau d'addition avec dix lignes et dix colonnes affiche toutes les valeurs possibles pour chaque somme. Si une somme individuelle dépasse la valeur 9, le résultat est représenté par deux chiffres. Le chiffre le plus à droite est la valeur de la position actuelle, et le résultat de l'ajout ultérieur des chiffres à gauche augmente de la valeur du deuxième chiffre (le plus à gauche), qui est toujours un (sinon zéro). Cet ajustement est appelé un report de la valeur 1.

Le processus de multiplication de deux nombres arbitraires est similaire au processus d'addition. Une table de multiplication avec dix lignes et dix colonnes répertorie les résultats pour chaque paire de chiffres. Si un produit individuel d'une paire de chiffres dépasse 9, l' ajustement de retenue augmente le résultat de toute multiplication ultérieure des chiffres vers la gauche par une valeur égale au deuxième chiffre (le plus à gauche), qui est une valeur de 1 à 8 ( 9 × 9 = 81 ). Des étapes supplémentaires définissent le résultat final.

Des techniques similaires existent pour la soustraction et la division.

La création d'un processus correct de multiplication repose sur la relation entre les valeurs des chiffres adjacents. La valeur d'un chiffre dans un chiffre dépend de sa position. De plus, chaque position à gauche représente une valeur dix fois plus grande que la position à droite. En termes mathématiques, l' exposant de la base (base) de 10 augmente de 1 (vers la gauche) ou diminue de 1 (vers la droite). Par conséquent, la valeur de tout chiffre arbitraire est multipliée par une valeur de la forme 10 n avec l' entier  n . La liste des valeurs correspondant à toutes les positions possibles pour un seul chiffre s'écrit {..., 10 2 , 10, 1, 10 -1 , 10 -2 , ...}.

La multiplication répétée de n'importe quelle valeur de cette liste par 10 produit une autre valeur dans la liste. Dans la terminologie mathématique, cette caractéristique est définie comme fermeture , et la liste précédente est décrite comme fermée sous multiplication . C'est la base pour trouver correctement les résultats de la multiplication en utilisant la technique précédente. Ce résultat est un exemple des utilisations de la théorie des nombres .

Arithmétique des unités composées

L'arithmétique des unités composées est l'application d'opérations arithmétiques à des quantités de base mixtes telles que les pieds et les pouces ; gallons et pintes; livres, shillings et pence; etc. Avant les systèmes monétaires et les unités de mesure à base décimale, l'arithmétique des unités composées était largement utilisée dans le commerce et l'industrie.

Opérations arithmétiques de base

Les techniques utilisées dans l'arithmétique des unités composées ont été développées au cours de plusieurs siècles et sont bien documentées dans de nombreux manuels dans de nombreuses langues différentes. En plus des fonctions arithmétiques de base rencontrées dans l'arithmétique décimale, l'arithmétique des unités composées utilise trois autres fonctions :

  • Réduction , dans laquelle une quantité composée est réduite à une quantité unique, par exemple, conversion d'une distance exprimée en yards, pieds et pouces en une distance exprimée en pouces.
  • L'expansion , la fonction inverse de la réduction, est la conversion d'une quantité exprimée en une seule unité de mesure en une unité composée, telle que l'expansion de 24 oz à 1 lb 8 oz .
  • La normalisation est la conversion d'un ensemble d'unités composées en une forme standard, par exemple en réécrivant " 1 pi 13 in " en " 2 pi 1 in ".

La connaissance des relations entre les différentes unités de mesure, leurs multiples et leurs sous-multiples constitue une partie essentielle de l'arithmétique des unités composées.

Principes de l'arithmétique des unités composées

Il existe deux approches de base pour l'arithmétique des unités composées :

  • Méthode de réduction-expansion où toutes les variables unitaires composées sont réduites à des variables unitaires simples, le calcul effectué et le résultat étendu à nouveau aux unités composées. Cette approche est adaptée aux calculs automatisés. Un exemple typique est la gestion du temps par Microsoft Excel où tous les intervalles de temps sont traités en interne sous forme de jours et de fractions décimales d'un jour.
  • Méthode de normalisation continue dans laquelle chaque unité est traitée séparément et le problème est continuellement normalisé au fur et à mesure que la solution se développe. Cette approche, largement décrite dans les textes classiques, est la mieux adaptée aux calculs manuels. Un exemple de la méthode de normalisation continue appliquée à l'addition est présenté ci-dessous.
MixedUnitAddition.svg

L'opération d'addition s'effectue de droite à gauche ; dans ce cas, les pence sont traités en premier, puis les shillings suivis des livres. Les nombres sous la "ligne de réponse" sont des résultats intermédiaires.

Le total dans la colonne pence est 25. Puisqu'il y a 12 pennies dans un shilling, 25 est divisé par 12 pour donner 2 avec un reste de 1. La valeur "1" est alors écrite sur la ligne de réponse et la valeur "2" reporté à la colonne des shillings. Cette opération est répétée en utilisant les valeurs de la colonne des shillings, avec l'étape supplémentaire d'ajouter la valeur qui a été reportée de la colonne des centimes. Le total intermédiaire est divisé par 20 car il y a 20 shillings dans une livre. La colonne en livres est ensuite traitée, mais comme les livres sont la plus grande unité prise en compte, aucune valeur n'est reportée de la colonne en livres.

Par souci de simplicité, l'exemple choisi n'avait pas de liard.

Opérations en pratique

Une balance calibrée en unités impériales avec un affichage des coûts associé.

Au cours des 19e et 20e siècles, diverses aides ont été développées pour faciliter la manipulation des unités composées, en particulier dans les applications commerciales. Les aides les plus courantes étaient les caisses mécaniques qui ont été adaptées dans des pays comme le Royaume-Uni pour accueillir les livres, les shillings, les centimes et les farthings, et les calculateurs prêts à l'emploi , qui sont des livres destinés aux commerçants qui cataloguaient les résultats de divers calculs de routine tels que les pourcentages ou multiples de diverses sommes d'argent. Un livret typique de 150 pages indiquait des multiples "de un à dix mille aux différents prix d'un liard à une livre".

La nature lourde de l'arithmétique des unités composées est reconnue depuis de nombreuses années - en 1586, le mathématicien flamand Simon Stevin a publié une petite brochure intitulée De Thiende ("le dixième") dans laquelle il a déclaré l'introduction universelle de la monnaie décimale, des mesures et des poids. n'être qu'une question de temps. À l'ère moderne, de nombreux programmes de conversion, tels que celui inclus dans la calculatrice du système d'exploitation Microsoft Windows 7, affichent les unités composées dans un format décimal réduit plutôt que d'utiliser un format étendu (par exemple "2,5 pieds" est affiché plutôt que "2 pieds 6 dans" ).

La théorie du nombre

Jusqu'au XIXe siècle, la théorie des nombres était synonyme d'« arithmétique ». Les problèmes abordés étaient directement liés aux opérations de base et concernaient la primalité , la divisibilité et la résolution d'équations en nombres entiers , comme le dernier théorème de Fermat . Il est apparu que la plupart de ces problèmes, bien que très élémentaires à énoncer, sont très difficiles et ne peuvent être résolus sans des mathématiques très approfondies impliquant des concepts et des méthodes de nombreuses autres branches des mathématiques. Cela a conduit à de nouvelles branches de la théorie des nombres telles que la théorie analytique des nombres , la théorie algébrique des nombres , la géométrie diophantienne et la géométrie algébrique arithmétique . La preuve de Wiles du dernier théorème de Fermat est un exemple typique de la nécessité de méthodes sophistiquées, qui vont bien au-delà des méthodes classiques de l'arithmétique, pour résoudre des problèmes qui peuvent être énoncés en arithmétique élémentaire.

L'arithmétique en éducation

L' enseignement primaire en mathématiques met souvent l'accent sur les algorithmes pour l'arithmétique des nombres naturels , entiers , fractions et décimales ( en utilisant le système de valeur de décimales). Cette étude est parfois appelée algorisme.

La difficulté et l'apparence non motivée de ces algorithmes ont longtemps conduit les éducateurs à remettre en question ce programme, préconisant l'enseignement précoce d'idées mathématiques plus centrales et intuitives. Un mouvement notable dans cette direction était le New Math des années 1960 et 1970, qui a tenté d'enseigner l'arithmétique dans l'esprit du développement axiomatique de la théorie des ensembles, un écho de la tendance dominante dans les mathématiques supérieures.

En outre, l'arithmétique a été utilisée par les érudits islamiques afin d'enseigner l'application des règles liées à la Zakat et à l' Irth . Cela a été fait dans un livre intitulé Le meilleur de l'arithmétique par Abd-al-Fattah-al-Dumyati.

Le livre commence par les fondements des mathématiques et procède à son application dans les derniers chapitres.

Voir également

Rubriques connexes

Remarques

Les références

Liens externes