Progression arithmétique - Arithmetic progression

Une progression arithmétique ou séquence arithmétique est une séquence de nombres telle que la différence entre les termes consécutifs est constante. Par exemple, la séquence 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . . est une progression arithmétique avec une différence commune de 2.

Si le terme initial d'une progression arithmétique est et que la différence commune des membres successifs est d , alors le n ième terme de la suite ( ) est donné par :

,

et en général

.

Une partie finie d'une progression arithmétique est appelée une progression arithmétique finie et parfois simplement appelée une progression arithmétique. La somme d'une progression arithmétique finie est appelée une série arithmétique .

Somme

2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40
14 + 11 + 8 + 5 + 2 = 40

16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80

Calcul de la somme 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Lorsque la séquence est inversée et ajoutée à elle-même terme par terme, la séquence résultante a une seule valeur répétée, égale à la somme des premier et dernier nombres (2 + 14 = 16). Ainsi 16 × 5 = 80 est le double de la somme.

La somme des membres d'une progression arithmétique finie est appelée une série arithmétique . Par exemple, considérons la somme :

Cette somme peut être trouvée rapidement en prenant le nombre n de termes à additionner (ici 5), en multipliant par la somme du premier et du dernier nombre de la progression (ici 2 + 14 = 16), et en divisant par 2 :

Dans le cas ci-dessus, cela donne l'équation:

Cette formule fonctionne pour tous les nombres réels et . Par exemple:

Dérivation

Démonstration animée de la formule donnant la somme des premiers entiers 1+2+...+n.

Pour dériver la formule ci-dessus, commencez par exprimer la série arithmétique de deux manières différentes :

En ajoutant les deux membres des deux équations, tous les termes impliquant d s'annulent :

Diviser les deux côtés par 2 produit une forme commune de l'équation :

Une forme alternative résulte de la réinsertion de la substitution :

De plus, la valeur moyenne de la série peut être calculée via : :

La formule est très similaire à la moyenne d'une distribution uniforme discrète .

Produit

Le produit des membres d'une progression arithmétique finie avec un élément initial a 1 , des différences communes d et n éléments au total est déterminé dans une expression fermée

où désigne la fonction Gamma . La formule n'est pas valide lorsque est négatif ou zéro.

Ceci est une généralisation du fait que le produit de la progression est donné par la factorielle et que le produit

pour les entiers positifs et est donné par

Dérivation

où désigne la factorielle croissante .

Par la formule de récurrence , valable pour un nombre complexe ,

,
,

pour que

pour un entier positif et un nombre complexe positif.

Ainsi, si ,

,

et enfin,

Exemples

Exemple 1

En prenant l' exemple , le produit des termes de la progression arithmétique donnés jusqu'au 50ème terme est

Exemple 2

Le produit des 10 premiers nombres impairs est donné par

= 654 729 075

Écart-type

L'écart type de toute progression arithmétique peut être calculé comme suit

où est le nombre de termes dans la progression et est la différence commune entre les termes. La formule est très similaire à l'écart-type d'une distribution uniforme discrète .

Intersections

L' intersection de deux progressions arithmétiques doublement infinies est soit vide, soit une autre progression arithmétique, qui peut être trouvée en utilisant le théorème des restes chinois . Si chaque paire de progressions dans une famille de progressions arithmétiques doublement infinies a une intersection non vide, alors il existe un nombre commun à toutes ; c'est-à-dire que les progressions arithmétiques infinies forment une famille de Helly . Cependant, l'intersection d'une infinité de progressions arithmétiques infinies pourrait être un nombre unique plutôt que d'être elle-même une progression infinie.

Histoire

Selon une anecdote de fiabilité incertaine, le jeune Carl Friedrich Gauss à l'école primaire a réinventé cette méthode pour calculer la somme des nombres entiers de 1 à 100, en multipliant m/2paires de nombres dans la somme par les valeurs de chaque paire n + 1 . Cependant, quelle que soit la vérité de cette histoire, Gauss n'a pas été le premier à découvrir cette formule, et certains pensent qu'il est probable que son origine remonte aux Pythagoriciens au 5ème siècle avant JC. Des règles similaires étaient connues dans l'antiquité par Archimède , Hypsiclès et Diophante ; en Chine à Zhang Qiujian ; en Inde à Aryabhata , Brahmagupta et Bhaskara II ; et dans l'Europe médiévale à Alcuin , Dicuil , Fibonacci , Sacrobosco et aux commentateurs anonymes du Talmud connus sous le nom de Tosafistes .

Voir également

Les références

Liens externes