Toutes les définitions exigent tacitement que la relation homogène soit transitive : Un " " indique que la propriété de la colonne est requise par la définition du terme de la ligne (tout à gauche). Par exemple, la définition d'une relation d'équivalence exige qu'elle soit symétrique. En vente ici sont des propriétés supplémentaires qu'une relation homogène peut satisfaire.
Oui
Une relation binaire sur est n'importe quel sous - ensemble de Given write si et seulement si ce qui signifie que c'est un raccourci pour L'expression est lue comme " est liée à par " La relation binaire est appelée asymétrique si pour tout si est vrai alors est faux ; c'est-à-dire, si alors
Cela peut être écrit dans la notation de la logique du premier ordre comme
Un exemple de relation asymétrique est la relation " inférieur à " entre nombres réels : si alors n'est pas nécessairement inférieur à La relation " inférieur ou égal " en revanche, n'est pas asymétrique, car l'inversion par exemple, produit et les deux sont vrai. L'asymétrie n'est pas la même chose que « non symétrique » : la relation inférieur ou égal est un exemple de relation qui n'est ni symétrique ni asymétrique. La relation vide est la seule relation qui soit ( videment ) à la fois symétrique et asymétrique.
Les restrictions et les réciproques des relations asymétriques sont également asymétriques. Par exemple, la restriction de des réels aux entiers est toujours asymétrique, et l'inverse de est également asymétrique.
Une relation transitive est asymétrique si et seulement si elle est irréflexive : si et la transitivité donne une irréflexivité contradictoire.
Par conséquent, une relation est transitive et asymétrique si et seulement si elle est d'ordre partiel strict .
Toutes les relations asymétriques ne sont pas des ordres partiels stricts. Un exemple de relation asymétrique non transitive, voire antitransitive est la relation pierre-papier ciseaux : si bat alors ne bat pas et si bat et bat alors ne bat pas
Une relation asymétrique n'a pas besoin d'avoir la propriété connex . Par exemple, la relation de sous-ensemble strict est asymétrique, et aucun des ensembles et n'est un sous-ensemble strict de l'autre. Une relation est connexe si et seulement si son complément est asymétrique.