Relation asymétrique - Asymmetric relation

En mathématiques , une relation asymétrique est une relation binaire sur un ensemble où pour tout si est lié à alors n'est pas lié à

Définition formelle

Une relation binaire sur est n'importe quel sous - ensemble de Given write si et seulement si ce qui signifie que c'est un raccourci pour L'expression est lue comme " est liée à par " La relation binaire est appelée asymétrique si pour tout si est vrai alors est faux ; c'est-à-dire, si alors Cela peut être écrit dans la notation de la logique du premier ordre comme

Une définition logiquement équivalente est :

pour tous au moins un de et est faux ,

qui en logique du premier ordre peut s'écrire :

Un exemple de relation asymétrique est la relation " inférieur à " entre nombres réels : si alors n'est pas nécessairement inférieur à La relation " inférieur ou égal " en revanche, n'est pas asymétrique, car l'inversion par exemple, produit et les deux sont vrai. L'asymétrie n'est pas la même chose que « non symétrique » : la relation inférieur ou égal est un exemple de relation qui n'est ni symétrique ni asymétrique. La relation vide est la seule relation qui soit ( videment ) à la fois symétrique et asymétrique.

Propriétés

  • Une relation est asymétrique si et seulement si elle est à la fois antisymétrique et irréflexive .
  • Les restrictions et les réciproques des relations asymétriques sont également asymétriques. Par exemple, la restriction de des réels aux entiers est toujours asymétrique, et l'inverse de est également asymétrique.
  • Une relation transitive est asymétrique si et seulement si elle est irréflexive : si et la transitivité donne une irréflexivité contradictoire.
  • Par conséquent, une relation est transitive et asymétrique si et seulement si elle est d'ordre partiel strict .
  • Toutes les relations asymétriques ne sont pas des ordres partiels stricts. Un exemple de relation asymétrique non transitive, voire antitransitive est la relation pierre-papier ciseaux : si bat alors ne bat pas et si bat et bat alors ne bat pas
  • Une relation asymétrique n'a pas besoin d'avoir la propriété connex . Par exemple, la relation de sous-ensemble strict est asymétrique, et aucun des ensembles et n'est un sous-ensemble strict de l'autre. Une relation est connexe si et seulement si son complément est asymétrique.

Voir également

Les références