Analyse asymptotique - Asymptotic analysis

En analyse mathématique , l'analyse asymptotique , également connue sous le nom d' asymptotique , est une méthode de description d'un comportement limitant .

A titre d'illustration, supposons que nous nous intéressons aux propriétés d'une fonction f ( n ) lorsque n devient très grand. Si f ( n ) = n ² + 3 n , alors que n devient très grand, le terme 3 n devient insignifiant par rapport à n ² . La fonction f ( n ) est dite " asymptotiquement équivalente à n ² , car n  → ∞ ". Ceci est souvent écrit symboliquement comme f ( n ) ~ n ² , qui se lit comme " f ( n ) est asymptotique à n ² ".

Un exemple d'un résultat asymptotique important est le théorème des nombres premiers . Soit π( x ) la fonction de comptage des nombres premiers (qui n'est pas directement liée à la constante pi ), c'est-à-dire que π( x ) est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x . Alors le théorème dit que

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.}$

Définition

Formellement, étant donné les fonctions f ( x ) et g ( x ) , on définit une relation binaire

${\displaystyle f(x)\sim g(x)\quad ({\text{as }}x\to \infty )}$

si et seulement si ( de Bruijn 1981 , §1.4)

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}$

Le symbole ~ est le tilde . La relation est une relation d'équivalence sur l'ensemble des fonctions de x ; les fonctions f et g sont dites asymptotiquement équivalentes . Le domaine de f et g peut être n'importe quel ensemble pour lequel la limite est définie : par exemple nombres réels, nombres complexes, entiers positifs.

La même notation est également utilisée pour d'autres manières de passer à une limite : par exemple x  → 0 , x  ↓ 0 , | x | → 0 . La manière de passer à la limite n'est souvent pas énoncée explicitement, si elle ressort clairement du contexte.

Bien que la définition ci-dessus soit courante dans la littérature, elle est problématique si g ( x ) est égal à zéro infiniment souvent lorsque x atteint la valeur limite. Pour cette raison, certains auteurs utilisent une définition alternative. La définition alternative, en notation little-o , est que f ~ g si et seulement si

${\style d'affichage f(x)=g(x)(1+o(1)).}$

Cette définition est équivalente à la définition précédente si g ( x ) n'est pas nul dans un voisinage de la valeur limite.

Propriétés

Si et , alors dans certaines conditions douces, les éléments suivants sont maintenus. ${\displaystyle f\sim g}$${\style d'affichage a\sim b}$

• ${\displaystyle f^{r}\sim g^{r}}$, pour tout r réel
• ${\displaystyle \log(f)\sim \log(g)}$
• ${\displaystyle f\fois a\sim g\fois b}$
• ${\displaystyle f/a\sim g/b}$

De telles propriétés permettent d'échanger librement des fonctions asymptotiquement équivalentes dans de nombreuses expressions algébriques.

Exemples de formules asymptotiques

• Factorielle

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

- c'est l'approximation de Stirling

• Fonction de partition

Pour un entier positif n , la fonction de partition, p ( n ), donne le nombre de façons d'écrire l'entier n sous la forme d'une somme d'entiers positifs, où l'ordre des additions n'est pas pris en compte.

${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}$

• Fonction aérée

La fonction d'Airy, Ai( x ), est une solution de l'équation différentielle   y'' − xy = 0 ; il a de nombreuses applications en physique.

${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$

• Fonctions de Hankel

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z -{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2} {\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}}$

Construction

Général

Envisager:

${\style d'affichage h(x)=f(x)(1-F(x))+g(x)F(x)}$

où et sont des fonctions analytiques à valeur réelle , et est une fonction de distribution cumulative . ${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage g(x)}$${\style d'affichage F(x)}$

Alors est asymptotique à as et asymptotique à as . ${\style d'affichage h(x)}$${\style d'affichage f(x)}$${\displaystyle x\to (-\infty )}$${\style d'affichage g(x)}$${\displaystyle x\to (+\infty )}$

Asymptotique à deux polynômes différents

Supposons que nous voulions une fonction à valeur réelle asymptotique à as et asymptotique à as . Puis ${\style d'affichage (a_{0}+a_{1}x)}$${\displaystyle x\to (-\infty )}$${\style d'affichage (b_{0}+b_{1}x)}$${\displaystyle x\to (+\infty )}$

${\displaystyle h(x)=(a_{0}+a_{1}x)(1-F(x))+(b_{0}+b_{1}x)F(x)}$

va le faire.

Expansion asymptotique

Un développement asymptotique d'une fonction f ( x ) est en pratique une expression de cette fonction en termes de série , dont les sommes partielles ne convergent pas nécessairement, mais telle que prendre toute somme partielle initiale fournit une formule asymptotique pour f . L'idée est que les termes successifs fournissent une description de plus en plus précise de l'ordre de croissance de f .

En symboles, cela signifie que nous avons mais aussi et pour chaque k fixe . Compte tenu de la définition du symbole, la dernière équation signifie dans la petite notation o , c'est à dire, est beaucoup plus petit que${\displaystyle f\sim g_{1},}$${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2}}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$${\style d'affichage \sim }$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})}$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})}$${\displaystyle g_{k}.}$

La relation prend tout son sens si pour tout k , ce qui signifie la forme d'une échelle asymptotique . Dans ce cas, certains auteurs peuvent écrire abusivement pour désigner l'énoncé. Il faut cependant veiller à ce qu'il ne s'agisse pas d'un usage standard du symbole, et qu'il ne corresponde pas à la définition donnée au § Définition . ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$${\style d'affichage g_{k+1}=o(g_{k})}$${\style d'affichage g_{k}}$${\displaystyle f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}}$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).}$${\style d'affichage \sim }$

Dans le cas présent, cette relation résulte en fait de la combinaison des étapes k et k- 1 ; en soustrayant de on obtient, c'est-à-dire${\style d'affichage g_{k}=o(g_{k-1})}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k-1}+o(g_{k-1})}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),}$${\displaystyle g_{k}+o(g_{k})=o(g_{k-1}),}$${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1}).}$

Dans le cas où le développement asymptotique ne converge pas, pour toute valeur particulière de l'argument, il y aura une somme partielle particulière qui fournira la meilleure approximation et l'ajout de termes supplémentaires diminuera la précision. Cette somme partielle optimale aura généralement plus de termes à mesure que l'argument approche de la valeur limite.

Exemples de développements asymptotiques

• Fonction gamma

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x }}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}$

• Intégrale exponentielle

${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n }}}\ (x\à \infty )}$

• Fonction d'erreur

${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1 )^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\à \infty )}$

où (2 n  − 1) !! est la factorielle double .

Exemple travaillé

Les développements asymptotiques se produisent souvent lorsqu'une série ordinaire est utilisée dans une expression formelle qui force la prise de valeurs en dehors de son domaine de convergence. Par exemple, nous pourrions commencer par la série ordinaire

${\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}}$

L'expression de gauche est valable sur l'ensemble du plan complexe , tandis que le membre de droite ne converge que pour . En multipliant et en intégrant les deux côtés, les rendements ${\style d'affichage w\neq 1}$${\style d'affichage |w|<1}$${\displaystyle e^{-w/t}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n= 0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du}$

L'intégrale du côté gauche peut être exprimée en termes d' intégrale exponentielle . L'intégrale du membre de droite, après la substitution , peut être reconnue comme la fonction gamma . En évaluant les deux, on obtient le développement asymptotique ${\displaystyle u=w/t}$

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{ \infty }n!\;t^{n+1}}$

Ici, le membre de droite n'est clairement pas convergent pour toute valeur non nulle de t . Cependant, en gardant t petit et en tronquant la série à droite à un nombre fini de termes, on peut obtenir une assez bonne approximation de la valeur de . En substituant et en notant cela, on obtient le développement asymptotique donné plus haut dans cet article. ${\displaystyle \operatorname {Ei} (1/t)}$${\style d'affichage x=-1/t}$${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}$

Distribution asymptotique

En statistique mathématique , une distribution asymptotique est une distribution hypothétique qui est en quelque sorte la distribution "limitante" d'une séquence de distributions. Une distribution est un ensemble ordonné de variables aléatoires Z _i pour i = 1, ..., n , pour un entier positif n . Une distribution asymptotique permet à i de s'étendre sans borne, c'est-à-dire que n est infini.

Un cas particulier d'une distribution asymptotique est lorsque les entrées tardives atteignent zéro, c'est-à-dire que le Z _i passe à 0 lorsque i tend vers l'infini. Certains cas de "distribution asymptotique" se réfèrent uniquement à ce cas particulier.

Ceci est basé sur la notion d'une fonction asymptotique qui se rapproche nettement d'une valeur constante (l' asymptote ) lorsque la variable indépendante tend vers l'infini ; "propre" dans ce sens, ce qui signifie que pour tout epsilon de proximité souhaité, il existe une valeur de la variable indépendante après laquelle la fonction ne diffère jamais de la constante de plus d'epsilon.

Une asymptote est une ligne droite qu'une courbe approche mais ne rencontre ni ne croise jamais. De manière informelle, on peut parler de courbe rencontrant l'asymptote « à l'infini » bien que ce ne soit pas une définition précise. Dans l'équation, y devient arbitrairement petit à mesure que x augmente. ${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$

Applications

L'analyse asymptotique est utilisée dans plusieurs sciences mathématiques . En statistique , la théorie asymptotique fournit des approximations limitatives de la distribution de probabilité des statistiques d'échantillon , telles que la statistique du rapport de vraisemblance et la valeur attendue de la déviance . Cependant, la théorie asymptotique ne fournit pas de méthode d'évaluation des distributions d'échantillons finis de statistiques d'échantillon. Les bornes non asymptotiques sont fournies par les méthodes de la théorie de l' approximation .

Des exemples d'applications sont les suivants.

• En mathématiques appliquées , l'analyse asymptotique est utilisée pour construire des méthodes numériques permettant d'approcher les solutions d' équations .
• En statistique mathématique et en théorie des probabilités , les asymptotiques sont utilisées dans l'analyse du comportement à long terme ou à grand échantillon de variables aléatoires et d'estimateurs.
• En informatique dans l' analyse d'algorithmes , compte tenu de la performance des algorithmes.
• Le comportement des systèmes physiques , un exemple étant la mécanique statistique .
• Dans l' analyse des accidents lors de l'identification de la cause de l'accident grâce à la modélisation du nombre d'accidents avec un grand nombre d'accidents dans un temps et un espace donnés.

L'analyse asymptotique est un outil clé pour explorer les équations aux dérivées ordinaires et partielles qui surviennent dans la modélisation mathématique des phénomènes du monde réel. Un exemple illustratif est la dérivation des équations de la couche limite à partir des équations complètes de Navier-Stokes régissant l'écoulement des fluides. Dans de nombreux cas, l'expansion asymptotique est la puissance d'un petit paramètre ε : dans le cas de la couche limite, ceci est le adimensionnelle rapport de l'épaisseur de la couche limite à une échelle de longueur caractéristique du problème. En effet, les applications de l'analyse asymptotique dans la modélisation mathématique se concentrent souvent sur un paramètre non dimensionnel qui a été montré, ou supposé, être petit grâce à une considération des échelles du problème à résoudre.

Développements asymptotiques surviennent généralement dans l'approximation de certaines intégrales ( la méthode de Laplace , méthode de point selle , la méthode de la plus grande pente ) ou dans le rapprochement des distributions de probabilité ( série Edgeworth ). Les graphes de Feynman en théorie quantique des champs sont un autre exemple d'expansions asymptotiques qui souvent ne convergent pas.

Voir également

Remarques

Les références

• Balser, W. (1994), De la série de puissance divergente aux fonctions analytiques , Springer-Verlag , ISBN 9783540485940
• de Bruijn, NG (1981), Méthodes asymptotiques en analyse , Dover Publications , ISBN 9780486642215
• Estrada, R.; Kanwal, RP (2002), Une approche distributionnelle de l'asymptotique , Birkhäuser , ISBN 9780817681302
• Miller, PD (2006), Analyse asymptotique appliquée , American Mathematical Society , ISBN 9780821840788
• Murray, JD (1984), Analyse asymptotique , Springer, ISBN 9781461211228
• Paris, RB ; Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press

Liens externes

• Analyse asymptotique  — page d'accueil de la revue, publiée par IOS Press
• Un article sur l'analyse des séries chronologiques utilisant la distribution asymptotique