Atome (théorie de l'ordre) - Atom (order theory)

Dans le domaine mathématique de la théorie de l' ordre , un élément a d'un ensemble partiellement ordonné avec le moins d'élément 0 est un atome si 0 < a et il n'y a pas de x tel que 0 < x < a .

De manière équivalente, on peut définir un atome comme un élément minimal parmi les éléments non nuls, ou encore un élément qui recouvre le moindre élément 0 .

Ordres atomiques

Fig. 2 : Le réseau des diviseurs de 4, avec l'ordre " est diviseur de ", est atomique, 2 étant le seul atome et coatome. Ce n'est pas atomistique, puisque 4 ne peut pas être obtenu comme le plus petit commun multiple d'atomes.
Fig. 1 : L' ensemble de puissance de l'ensemble { x , y , z } avec l'ordre " est un sous - ensemble de " est un ensemble atomistique partiellement ordonné : chaque ensemble membre peut être obtenu comme l' union de tous les ensembles singletons en dessous.

Soit < : désigne la relation de recouvrement dans un ensemble partiellement ordonné.

Un ensemble partiellement ordonné avec un plus petit élément 0 est atomique si chaque élément b  >  0 a un atome de dessous, qui est, il y a une certaine une telle manière que b  ≥  a  :>  0 . Tout ensemble fini partiellement ordonné avec 0 est atomique, mais l'ensemble des nombres réels non négatifs (ordonnés de la manière habituelle) n'est pas atomique (et n'a en fait pas d'atomes).

Un ensemble ordonné est relativement atomique (ou fortement atomique ) si , pour tout un  <  b il y a un élément c de telle sorte que un  <:  c  ≤  b ou, de façon équivalente, si chaque intervalle [ a ,  b ] est atomique. Tout ensemble partiellement ordonné relativement atomique avec un moindre élément est atomique. Chaque poset fini est relativement atomique.

Un ensemble partiellement ordonné avec le moins d'élément 0 est appelé atomistique (à ne pas confondre avec atomic ) si chaque élément est la limite supérieure d'un ensemble d'atomes. L'ordre linéaire à trois éléments n'est pas atomistique (voir Fig. 2).

Les atomes dans les ensembles partiellement ordonnés sont des généralisations abstraites des singletons dans la théorie des ensembles (voir Fig. 1). L'atomicité (la propriété d'être atomique) fournit une généralisation abstraite dans le contexte de la théorie de l' ordre de la capacité de sélectionner un élément dans un ensemble non vide.

Coatoms

Les termes coatom , coatomic et coatomistic sont définis de manière double. Ainsi, dans un ensemble partiellement ordonné avec le plus grand élément 1 , on dit que

  • un coatome est un élément couvert par 1 ,
  • l'ensemble est coatomique si chaque b  <  1 a un coatome c au-dessus de lui, et
  • l'ensemble est coatomistique si chaque élément est la plus grande borne inférieure d'un ensemble de coatomes.

Les références

  • Davey, BA; Priestley, HA (2002), Introduction aux treillis et à l'ordre , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-78451-1

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