Auguste De Morgan - Augustus De Morgan

Auguste De Morgan
De Morgan Augustus.jpg
Auguste De Morgan (1806-1871)
Née ( 1806-06-27 )27 juin 1806
Décédés 18 mars 1871 (1871-03-18)(64 ans)
Londres, Angleterre
Nationalité Britanique
mère nourricière Trinity College , Cambridge
Connu pour Lois de
De Morgan Algèbre de De Morgan Algèbre
relationnelle Algèbre
universelle
Carrière scientifique
Des champs Mathématicien et logicien
Établissements Collège universitaire London
University College School
Conseillers académiques John Philips Higman
George Peacock
William Whewell
Étudiants notables Edward Routh
James Joseph Sylvester
Frederick Guthrie
William Stanley Jevons
Ada Lovelace
Francis Guthrie
Stephen Joseph Perry
Influences George Boole
Influencé Thomas Corwin Mendenhall
Isaac Todhunter
Remarques
Il était le père de William De Morgan .

Augustus De Morgan (27 juin 1806 - 18 mars 1871) était un mathématicien et logicien britannique . Il formule les lois de De Morgan et introduit le terme induction mathématique , rendant son idée rigoureuse.

Biographie

Enfance

Augustus De Morgan est né à Madurai , en Inde, en 1806. Son père était le lieutenant-colonel John De Morgan (1772-1816), qui a occupé divers postes au service de la Compagnie des Indes orientales . Sa mère, Elizabeth Dodson (1776-1856), était une descendante de James Dodson , qui a calculé une table d'anti-logarithmes ( logarithmes inverses ). Augustus De Morgan est devenu aveugle d'un œil un mois ou deux après sa naissance. La famille a déménagé en Angleterre quand Auguste avait sept mois. Comme son père et son grand-père étaient tous deux nés en Inde, De Morgan avait l'habitude de dire qu'il n'était ni anglais, ni écossais, ni irlandais, mais un britannique « non attaché », en utilisant le terme technique appliqué à un étudiant de premier cycle d' Oxford ou de Cambridge qui est n'est membre d'aucun des Collèges.

Quand De Morgan avait dix ans, son père mourut. Mme De Morgan a résidé à divers endroits dans le sud-ouest de l'Angleterre, et son fils a reçu son éducation primaire dans diverses écoles de peu de valeur. Ses talents mathématiques passèrent inaperçus jusqu'à l'âge de quatorze ans, lorsqu'un ami de la famille le découvrit en train de faire un dessin élaboré d'une figure d' Euclide avec une règle et un compas . Elle expliqua le but d'Euclide à Auguste, et lui donna une initiation à la démonstration.

Il a reçu ses études secondaires de M. Parsons, un membre de l' Oriel College d'Oxford , qui appréciait mieux les classiques que les mathématiques. Sa mère était un membre actif et ardent de l' Église d'Angleterre et souhaitait que son fils devienne un ecclésiastique, mais à ce moment-là, De Morgan avait commencé à montrer son caractère non conforme . Il est devenu athée.

Il y a un mot dans notre langue avec lequel je ne confondrai pas ce sujet, à la fois à cause de l'usage déshonorant qu'on en fait fréquemment, comme imputation jetée par une secte sur une autre, et de la variété des significations qui s'y rattachent. J'utiliserai le mot Anti-Déisme pour signifier l'opinion qu'il n'existe pas de Créateur qui a fait et soutient l'Univers.

—  De Morgan 1838 , p. 22

Enseignement universitaire

En 1823, à l'âge de seize ans, il entra au Trinity College de Cambridge , où il tomba sous l'influence de George Peacock et de William Whewell , qui devinrent ses amis de toujours ; du premier il tirait un intérêt pour la rénovation de l'algèbre, et du second un intérêt pour la rénovation de la logique, les deux sujets de son œuvre future. Son tuteur au collège était John Philips Higman , FRS (1793-1855).

À l'université, il jouait de la flûte à des fins récréatives et occupait une place importante dans les clubs musicaux. Son amour de la connaissance pour elle-même interférait avec l'entraînement pour la grande course mathématique ; en conséquence, il est sorti quatrième wrangler . Cela lui a donné droit au diplôme de baccalauréat ès arts; mais pour passer le grade supérieur de Master of Arts et ainsi devenir éligible à une bourse, il était alors nécessaire de passer un test théologique. À la signature d'un tel test, De Morgan a ressenti une forte objection, bien qu'il ait été élevé dans l'Église d'Angleterre. Vers 1875, les tests théologiques pour les diplômes universitaires ont été abolis dans les universités d'Oxford et de Cambridge.

Université de Londres

Comme aucune carrière ne lui était ouverte dans sa propre université, il décida d'entrer au barreau et s'installa à Londres ; mais il préférait de loin l'enseignement des mathématiques à la lecture du droit. Vers cette époque, le mouvement pour la fondation de l'Université de Londres (aujourd'hui University College London ) a pris forme. Les deux anciennes universités d'Oxford et de Cambridge étaient si protégées par des tests théologiques qu'aucun juif ou dissident en dehors de l'Église d'Angleterre ne pouvait entrer en tant qu'étudiant, encore moins être nommé à un poste. Un groupe d'hommes à l'esprit libéral résolut de surmonter la difficulté en établissant à Londres une université sur le principe de la neutralité religieuse. De Morgan, alors âgé de 22 ans, est nommé professeur de mathématiques. Sa conférence d'introduction "Sur l'étude des mathématiques" est un discours sur l'éducation mentale de valeur permanente, et a été récemment réimprimée aux États-Unis.

L'Université de Londres était une nouvelle institution et les relations entre le Conseil de gestion, le Sénat des professeurs et le corps des étudiants n'étaient pas bien définies. Un différend est survenu entre le professeur d'anatomie et ses étudiants, et à la suite de l'action prise par le Conseil, plusieurs professeurs ont démissionné, dirigé par De Morgan. Un autre professeur de mathématiques a été nommé, qui s'est ensuite noyé quelques années plus tard. De Morgan s'était montré un prince des professeurs : il était invité à regagner sa chaire, qui devint par la suite le centre continu de ses travaux pendant trente ans.

Le même corps de réformateurs, dirigé par Lord Brougham , un Écossais éminent à la fois en science et en politique qui avait institué l'Université de Londres, fonda à peu près à la même époque une Société pour la diffusion des connaissances utiles . Son objectif était de diffuser les connaissances scientifiques et autres au moyen de traités bon marché et clairement écrits par les meilleurs écrivains de l'époque. L'un de ses écrivains les plus volumineux et les plus efficaces était De Morgan. Il a écrit un grand ouvrage sur The Differential and Integral Calculus qui a été publié par la Société ; et il a écrit un sixième des articles de la Penny Cyclopedia , publiés par la Société, et publiés en penny number. Lorsque De Morgan vint résider à Londres, il trouva un ami sympathique en William Frend , malgré son hérésie mathématique sur les quantités négatives. Tous deux étaient arithmétiques et actuaires, et leurs opinions religieuses étaient quelque peu similaires. Frend vivait dans ce qui était alors une banlieue de Londres, dans une maison de campagne autrefois occupée par Daniel Defoe et Isaac Watts . De Morgan avec sa flûte était un visiteur bienvenu.

L'Université de Londres dont De Morgan était professeur était une institution différente de l' Université de Londres . L'Université de Londres a été fondée une dizaine d'années plus tard par le gouvernement dans le but de délivrer des diplômes après examen, sans aucune condition de résidence. L'Université de Londres a été affiliée en tant que collège d'enseignement à l'Université de Londres, et son nom a été changé en University College. L'Université de Londres n'a pas été un succès en tant qu'organisme d'examen; une université d'enseignement a été demandée. De Morgan était un professeur de mathématiques très réussi. C'était son plan de donner une conférence pendant une heure, et à la fin de chaque conférence de donner un certain nombre de problèmes et d'exemples illustrant le sujet traité ; ses étudiants devaient s'asseoir avec eux et lui apporter les résultats, qu'il examinait et rendait révisés avant le prochain cours. De l'avis de De Morgan, une compréhension approfondie et une assimilation mentale des grands principes dépassaient de loin en importance toute dextérité purement analytique dans l'application de principes à moitié compris à des cas particuliers.

Au cours de cette période, il a également promu le travail du mathématicien indien autodidacte Ramchundra , qui a été appelé Ramanujan de De Morgan . Il supervisa la publication à Londres du livre de Ramchundra Treatise on Problems of Maxima and Minima en 1859. Il était très intrigué par d'autres mathématiciens indiens comme brahmagupta mais Ram Chandra en général, dans la préface il admirait son travail

En examinant cet ouvrage, j'y ai vu non seulement un mérite digne d'encouragement, mais un mérite d'un genre particulier, dont l'encouragement, me semblait-il, était susceptible de promouvoir l'effort indigène vers la restauration de l'esprit indigène dans l'Inde.

Dans l'introduction de ce livre, il a reconnu être conscient de la tradition indienne de la logique, bien qu'on ne sache pas si cela a eu une influence sur son propre travail. De Morgan lui-même a écrit en 1860 sur l'importance de la logique indienne :

« Les deux races qui ont fondé les mathématiques, celles des langues sanscrite et grecque, ont été les deux qui ont formé indépendamment des systèmes logiques.

Bien que Mary Boole ait affirmé qu'il y avait une profonde influence - via son oncle George Everest - de la pensée indienne en général et de la logique indienne , en particulier, sur George Boole, ainsi que sur Augustus De Morgan et Charles Babbage :

Pensez à ce qui a dû être l'effet de l'hindouisation intense de trois hommes tels que Babbage, De Morgan et George Boole sur l'atmosphère mathématique de 1830-1865. Quelle part a-t-elle eu dans la génération de l' analyse vectorielle et des mathématiques par lesquelles les recherches en sciences physiques sont maintenant menées ?

Jonardon Ganeri a observé que , dans cette période (lorsque les chercheurs se sont attirés vers la logique indienne) a vu George Boole (1815-1864) et Auguste De Morgan (1806-1871) leurs applications d' avant - garde des idées algébriques à la formulation de la logique (comme algébrique logique et logique booléenne ), et a suggéré que ces figures étaient probablement au courant de ces études en xéno-logique, et en outre que leur conscience acquise des lacunes de la logique propositionnelle est susceptible d'avoir stimulé leur volonté de regarder en dehors du système.

Famille

Augustus était l'un des sept enfants, dont quatre ont survécu jusqu'à l'âge adulte.

  • Eliza (1801-1836) a épousé Lewis Hensley, un chirurgien vivant à Bath.
  • Auguste (1806-1871)
  • George (1808-1890), un avocat qui a épousé Joséphine, fille du vice-amiral Josiah Coghill, 3 baronnet Coghill
  • Campbell Greig (1811-1876), chirurgien à l'hôpital de Middlesex

À l'automne 1837, il épouse Sophia Elizabeth Frend (1809-1892), fille aînée de William Frend (1757-1841) et Sarah Blackburne (1779-?), petite-fille de Francis Blackburne (1705-1787), archidiacre de Cleveland .

De Morgan a eu trois fils et quatre filles, dont l'auteur de contes de fées Mary de Morgan . Son fils aîné était le potier William De Morgan . Son deuxième fils George s'est distingué en mathématiques à l'University College et à l'Université de Londres. Lui et un autre ancien élève partageant les mêmes idées ont conçu l'idée de fonder une société mathématique à Londres, où les articles mathématiques seraient non seulement reçus (comme par la Royal Society ), mais en réalité lus et discutés. La première réunion a eu lieu au Collège universitaire; De Morgan était le premier président, son fils le premier secrétaire. Ce fut le début de la London Mathematical Society .

La retraite et la mort

Auguste De Morgan.

En 1866, la chaire de philosophie mentale du University College est devenue vacante. James Martineau , ecclésiastique unitarien et professeur de philosophie mentale, fut formellement recommandé par le Sénat au Conseil ; mais dans le Concile il y avait certains qui s'opposaient à un ecclésiastique unitarien, et d'autres qui s'opposaient à la philosophie théiste. Un laïc de l'école de Bain et Spencer a été nommé. De Morgan a estimé que l'ancienne norme de neutralité religieuse avait été renversée, et a immédiatement démissionné. Il avait maintenant 60 ans. Ses élèves lui ont assuré une pension de 500 £ par an, mais les malheurs ont suivi. Deux ans plus tard, son fils George — le « jeune Bernoulli », comme Auguste aimait à l'entendre appeler, en allusion aux éminents mathématiciens père et fils de ce nom — mourut. Ce coup fut suivi de la mort d'une fille. Cinq ans après sa démission de l'University College, De Morgan mourut de prostration nerveuse le 18 mars 1871.

Travail mathématique

De Morgan était un écrivain brillant et plein d'esprit, que ce soit en tant que polémiste ou en tant que correspondant. À son époque, fleurissaient deux Sir William Hamilton qui ont souvent été confondus. L'un était Sir William Hamilton, 9e baronnet (c'est-à-dire que son titre était hérité), un Écossais, professeur de logique et de métaphysique à l' Université d'Édimbourg ; l'autre était un chevalier (c'est-à-dire qu'il remportait le titre), un Irlandais, professeur d'astronomie à l'Université de Dublin. Le baronnet contribua à la logique, notamment à la doctrine de la quantification du prédicat ; le chevalier, dont le nom complet était William Rowan Hamilton , a contribué aux mathématiques, en particulier à l'algèbre géométrique , et a d'abord décrit les Quaternions . De Morgan s'intéressait au travail des deux et correspondait avec les deux ; mais la correspondance avec l'Écossais se termina par une controverse publique, tandis que celle avec l'Irlandais fut marquée par l'amitié et ne se termina que par la mort. Dans une de ses lettres à Rowan, De Morgan dit :

Que vous sachiez que j'ai découvert que vous et l'autre Sir WH êtes des polaires réciproques par rapport à moi (intellectuellement et moralement, car le baronnet écossais est un ours polaire, et vous, j'allais dire, êtes un gentleman polaire ). Quand j'envoie un peu d'enquête à Edimbourg, le WH de cet acabit dit que je le lui ai pris. Quand je t'en envoie un, tu me le prends, tu le généralises d'un coup d'œil, tu le donnes ainsi généralisé à la société en général, et tu fais de moi le deuxième découvreur d'un théorème connu.

La correspondance de De Morgan avec le mathématicien Hamilton s'étendit sur vingt-quatre ans ; il contient des discussions non seulement sur des questions mathématiques, mais aussi sur des sujets d'intérêt général. Il est marqué par la cordialité de la part d'Hamilton et par l'esprit de la part de De Morgan. Ce qui suit est un spécimen : Hamilton a écrit :

Ma copie de l'œuvre de Berkeley n'est pas à moi ; comme Berkeley, vous savez, je suis un Irlandais.

De Morgan a répondu :

Votre phrase "mon exemplaire n'est pas à moi" n'est pas un taureau . C'est un très bon anglais d'utiliser le même mot dans deux sens différents dans une phrase, en particulier lorsqu'il y a usage. L'incongruité du langage n'est pas un taureau, car elle exprime le sens. Mais l'incongruité des idées (comme dans le cas de l'Irlandais qui tirait la corde, et trouvant qu'elle n'avait pas fini, s'écria que quelqu'un en avait coupé l'autre extrémité) est le véritable taureau.

De Morgan était plein de particularités personnelles. A l'occasion de l'installation de son ami, Lord Brougham, au poste de recteur de l'Université d'Edimbourg, le Sénat a proposé de lui conférer le titre honorifique de LL. RÉ.; il a décliné l'honneur comme un abus de langage. Il a une fois imprimé son nom : Augustus De Morgan, H – O – M – O – P – A – U – C – A – R – U – M – L – I – T – E – R – A – R – U – M (latin pour « homme de peu de lettres »).

Il n'aimait pas les provinces en dehors de Londres, et tandis que sa famille profitait de la mer et que les hommes de science s'amusaient à une réunion de la British Association dans le pays, il restait dans les bibliothèques chaudes et poussiéreuses de la métropole. Il disait qu'il se sentait comme Socrate , qui déclarait que plus il était loin d' Athènes, plus il était loin du bonheur. Il n'a jamais cherché à devenir membre de la Royal Society , et il n'a jamais assisté à une réunion de la Society ; il a dit qu'il n'avait pas d'idées ou de sympathies en commun avec le philosophe physique. Son attitude était peut-être due à son infirmité physique, qui l'empêchait d'être soit un observateur, soit un expérimentateur. Il n'a jamais voté lors d'une élection, et il n'a jamais visité la Chambre des communes , la Tour de Londres ou l'Abbaye de Westminster .

Si les écrits de De Morgan, tels que ses contributions à la Useful Knowledge Society, étaient publiés sous la forme d'ouvrages rassemblés, ils formeraient une petite bibliothèque. Grâce principalement aux efforts de Peacock et Whewell, une société philosophique avait été inaugurée à Cambridge, et De Morgan a contribué quatre mémoires à ses transactions sur les fondements de l'algèbre, et un nombre égal sur la logique formelle. La meilleure présentation de sa conception de l'algèbre se trouve dans un volume intitulé Trigonométrie et double algèbre , publié en 1849 ; et sa première vue de la logique formelle se trouve dans un volume publié en 1847. Son travail le plus distinctif est intitulé A Budget of Paradoxes ; il est apparu à l'origine sous forme de lettres dans les colonnes du journal Athenæum ; il a été révisé et étendu par De Morgan dans les dernières années de sa vie, et a été publié à titre posthume par sa veuve.

La théorie de l'algèbre de George Peacock a été beaucoup améliorée par DF Gregory , un membre plus jeune de l'école de Cambridge, qui a insisté non sur la permanence des formes équivalentes, mais sur la permanence de certaines lois formelles. Cette nouvelle théorie de l'algèbre comme science des symboles et de leurs lois de combinaison a été poussée jusqu'à son aboutissement logique par De Morgan ; et sa doctrine sur le sujet est encore suivie par les algébristes anglais en général. Ainsi George Chrystal fonde son Textbook of Algebra sur la théorie de De Morgan ; bien qu'un lecteur attentif puisse remarquer qu'il l'abandonne pratiquement lorsqu'il aborde le sujet des séries infinies. La théorie de De Morgan est énoncée dans son volume sur la trigonométrie et l'algèbre double , où dans le livre II, chapitre II, intitulé "Sur l'algèbre symbolique", il écrit :

En abandonnant le sens des symboles, on abandonne aussi celui des mots qui les décrivent. Ainsi l' addition doit être, pour le moment, un son vide de sens. C'est un mode de combinaison représenté par ; quand reçoit son sens, le mot addition le sera aussi . Il est très important que l'étudiant garde à l'esprit qu'à une exception près , aucun mot ni signe de l'arithmétique ou de l'algèbre n'a un atome de sens tout au long de ce chapitre, dont l'objet est les symboles, et leurs lois de combinaison, donnant un sens symbolique. algèbre qui pourrait devenir la grammaire d'une centaine d'algèbres significatives distinctes . Si quelqu'un affirmait cela et pouvait signifier récompense et punition, et que , , , etc. pouvaient représenter des vertus et des vices, le lecteur pourrait le croire, ou le contredire, à sa guise, mais pas en dehors de ce chapitre.

La seule exception notée ci-dessus, qui a une certaine signification, est le signe placé entre deux symboles, comme dans . Cela indique que les deux symboles ont la même signification résultante, quelles que soient les différentes étapes atteintes. Cela et , si quantités, sont la même quantité de quantité; que si les opérations, elles sont du même effet, etc.

Trigonométrie et double algèbre

L'ouvrage de De Morgan intitulé Trigonométrie et double algèbre se compose de deux parties ; dont le premier est un traité de trigonométrie , et le dernier un traité d'algèbre généralisée qu'il a appelé « double algèbre ». La première étape du développement de l'algèbre est l' arithmétique , où seuls les nombres naturels et les symboles d'opérations tels que + , × , etc. sont utilisés. L'étape suivante est l'arithmétique universelle , où des lettres apparaissent à la place des nombres, de manière à désigner les nombres de manière universelle, et les processus sont menés sans connaître les valeurs des symboles. Soient a et b des nombres naturels quelconques. Une expression telle que ab peut encore être impossible, donc en arithmétique universelle il y a toujours une réserve, à condition que l'opération soit possible . La troisième étape est l' algèbre simple , où le symbole peut désigner une quantité vers l'avant ou une quantité vers l'arrière, et est adéquatement représenté par des segments sur une ligne droite passant par une origine. Les quantités négatives ne sont alors plus impossibles ; ils sont représentés par le segment arrière. Mais une impossibilité reste dans la dernière partie d'une telle expression comme un + b -1 qui se pose dans la solution de l'équation quadratique. La quatrième étape est la double algèbre . Le symbole algébrique désigne en général un segment de droite dans un plan donné. C'est un double symbole car il implique deux spécifications, à savoir, la longueur et la direction ; et -1 est interprété comme désignant un quadrant. L'expression a + b -1 représente alors une droite dans le plan d'abscisse a et d'ordonnée b . Argand et Warren ont porté l'algèbre double jusqu'à présent mais ils n'ont pas pu interpréter sur cette théorie une expression telle que e a −1 . De Morgan a tenté par réduire une telle expression à la forme b + q -1 , et il a estimé qu'il avait montré qu'il pouvait être toujours aussi réduit. Le fait remarquable est que cette double algèbre satisfait à toutes les lois fondamentales énumérées ci-dessus, et comme chaque combinaison apparemment impossible de symboles a été interprétée, elle ressemble à la forme complète de l'algèbre. Dans le chapitre 6, il a introduit les fonctions hyperboliques et a discuté de la connexion de la trigonométrie commune et hyperbolique.

Si la théorie ci-dessus est vraie, la prochaine étape de développement devrait être l' algèbre triple et si a + b −1 représente vraiment une ligne dans un plan donné, il devrait être possible de trouver un troisième terme qui, ajouté à ce qui précède, serait représente une ligne dans l'espace. Argand et quelques autres devinent qu'il était un + b -1 + c -1 -1 , bien que cette contradiction avec la vérité établie par Euler que -1 -1 = e -π / 2 . De Morgan et beaucoup d'autres ont travaillé dur pour résoudre le problème, mais rien n'a été fait jusqu'à ce que le problème soit résolu par Hamilton. Nous voyons maintenant clairement la raison : le symbole de la double algèbre ne désigne pas une longueur et une direction ; mais un multiplicateur et un angle . Dans celui-ci, les angles sont confinés à un seul plan. Par conséquent, la prochaine étape sera une algèbre quadruple , lorsque l'axe du plan est rendu variable. Et cela donne la réponse à la première question ; la double algèbre n'est rien d'autre qu'une trigonométrie plane analytique, et c'est pourquoi elle s'est avérée être l'analyse naturelle des courants alternatifs. Mais De Morgan n'est jamais allé aussi loin. Il mourut avec la conviction que « la double algèbre doit rester comme le développement complet des conceptions de l'arithmétique, en ce qui concerne les symboles que l'arithmétique suggère immédiatement ».

Dans le livre II, chapitre II, à la suite du passage cité ci-dessus sur la théorie de l'algèbre symbolique, De Morgan procède à un inventaire des symboles fondamentaux de l'algèbre, ainsi qu'un inventaire des lois de l'algèbre. Les symboles sont , , , , , , () , et des lettres ; ceux-ci seulement, tous les autres sont dérivés. Comme l'explique De Morgan, le dernier de ces symboles représente l'écriture d'une dernière expression en exposant au-dessus et après une première. Son inventaire des lois fondamentales s'exprime sous quatorze titres, mais certains d'entre eux ne sont que des définitions. La liste précédente de symboles est la matière sous le premier de ces chefs. Les lois proprement dites peuvent être réduites aux suivantes, qui, comme il l'admet, ne sont pas toutes indépendantes les unes des autres, "mais le caractère dissymétrique de l'opération exponentielle, et l'absence du processus de connexion de et ... rend nécessaire de les indiquer séparément" :

  1. Les lois identitaires.
  2. Loi des signes.
  3. Loi commutative.
  4. Loi distributive.
  5. Index des lois.

De Morgan prétend donner un inventaire complet des lois auxquelles les symboles de l'algèbre doivent obéir, car il dit : symboles précédents et aucun autre - sauf s'il s'agit de nouveaux symboles inventés en abréviation de combinaisons de ces symboles - est de l'algèbre symbolique . » De son point de vue, aucun des principes ci-dessus n'est une règle ; ce sont des lois formelles, c'est-à-dire des relations arbitrairement choisies auxquelles doivent être soumis les symboles algébriques. Il ne mentionne pas la loi, qui avait déjà été signalée par Grégoire, à savoir, et à laquelle on a donné plus tard le nom de loi d'association . Si la loi commutative échoue, l'associatif peut tenir bon ; mais pas l' inverse . C'est une chose malheureuse pour le symboliste ou le formaliste qu'en arithmétique universelle n'est pas égal à ; car alors la loi commutative aurait toute sa portée. Pourquoi ne lui donne-t-il pas toute sa portée? Parce que les fondements de l'algèbre sont, après tout, réels et non formels, matériels et non symboliques. Pour les formalistes, les opérations d'indexation sont excessivement réfractaires, en conséquence de quoi certains n'en tiennent pas compte, mais les relèguent aux mathématiques appliquées. Faire l'inventaire des lois auxquelles doivent obéir les symboles de l'algèbre est une tâche impossible, et cela rappelle pas peu la tâche de ces philosophes qui tentent de faire l'inventaire des connaissances a priori de l'esprit.

Logique formelle

Lorsque l'étude des mathématiques a repris à l'Université de Cambridge, l'étude de la logique a fait de même. L'esprit moteur était Whewell, le maître du Trinity College, dont les principaux écrits étaient une histoire des sciences inductives et une philosophie des sciences inductives . Sans aucun doute, De Morgan a été influencé dans ses investigations logiques par Whewell ; mais d'autres contemporains influents étaient Sir William Rowan Hamilton à Dublin et George Boole à Cork. L'ouvrage de De Morgan, Formal Logic , publié en 1847, est principalement remarquable pour son développement du syllogisme numériquement défini . Les disciples d' Aristote disent que de deux propositions particulières telles que Certains M sont des A et Certains M sont des B, rien ne découle nécessairement de la relation entre les A et les B. Mais ils vont plus loin et disent que pour que toute relation concernant les A et les B puisse suivre nécessairement, le terme moyen doit être pris universellement dans l'une des prémisses. De Morgan a fait remarquer qu'à partir de la plupart des M sont des A et que la plupart des M sont des B, il s'ensuit nécessairement que certains A sont des B et il a formulé le syllogisme numériquement défini qui met ce principe sous une forme quantitative exacte. Supposons que le nombre des M est , des M qui sont des A est , et des M qui sont des B est ; alors il y a au moins des A qui sont des B. Supposons que le nombre d'âmes à bord d'un bateau à vapeur soit de 1000, que 500 soient dans le salon et que 700 soient perdues. Il s'ensuit nécessairement qu'au moins 700 + 500 – 1000, c'est-à-dire 200 passagers du salon ont été perdus. Ce seul principe suffit à prouver la validité de tous les modes aristotéliciens. C'est donc un principe fondamental du raisonnement nécessaire.

Ici donc, De Morgan avait fait un grand progrès en introduisant la quantification des termes . A cette époque, Sir William Hamilton enseignait à Édimbourg une doctrine de la quantification du prédicat, et une correspondance s'ensuivit. Cependant, De Morgan s'aperçut bientôt que la quantification de Hamilton était d'un caractère différent ; que cela signifiait par exemple, substituer les deux formes L'ensemble de A est l'ensemble de B , et L'ensemble de A est une partie de B pour la forme aristotélicienne Tous les A sont des B . Hamilton pensait qu'il avait placé la clé de voûte dans l'arc aristotélicien, comme il l'a formulé. Même s'il devait s'agir d'une curieuse arche qui pouvait tenir 2000 ans sans clé de voûte. En conséquence, il n'avait pas de place pour les innovations de De Morgan. Il accuse De Morgan de plagiat, et la polémique fait rage pendant des années dans les colonnes de l' Athenæum , et dans les publications des deux écrivains.

Les mémoires sur la logique que De Morgan a contribué aux Transactions de la Cambridge Philosophical Society après la publication de son livre Formal Logic sont de loin les contributions les plus importantes qu'il ait apportées à la science, en particulier son quatrième mémoire, dans lequel il commence à travailler dans le vaste champ de la « logique des parents ».

Budget des paradoxes

Dans l'introduction au Budget des paradoxes, De Morgan explique ce qu'il entend par le mot :

Un grand nombre d'individus, depuis l'essor de la méthode mathématique, se sont attaqués, chacun pour soi, à ses conséquences directes et indirectes. J'appellerai chacune de ces personnes un paradoxe , et son système un paradoxe . J'emploie le mot dans son sens ancien : un paradoxe est quelque chose qui est en dehors de l'opinion générale, que ce soit dans le sujet, la méthode ou la conclusion. Beaucoup de choses avancées seraient maintenant appelées des crotchets , qui est le mot le plus proche que nous ayons du vieux paradoxe . Mais il y a cette différence, qu'en appelant une chose un petit doigt, nous entendons en parler à la légère ; ce qui n'était pas le sens nécessaire du paradoxe. Ainsi, au XVIe siècle, beaucoup parlaient du mouvement de la terre comme du paradoxe de Copernic et tenaient en très haute estime l'ingéniosité de cette théorie, et certains, je pense, s'y penchaient même. Au XVIIe siècle, la privation de sens a eu lieu, du moins en Angleterre.

Comment distinguer le paradoxe sonore du faux paradoxeur ? De Morgan fournit le test suivant :

La manière dont un paradoxeur se montrera, quant au sens ou au non-sens, ne dépendra pas de ce qu'il soutient, mais de s'il a ou n'a pas fait une connaissance suffisante de ce qui a été fait par les autres, notamment quant au mode de le faire, un préalable pour s'inventer des connaissances... La nouvelle connaissance, quand à quelque fin, doit venir de la contemplation de l'ancienne connaissance, dans tout ce qui concerne la pensée ; l'appareil mécanique échappe parfois, pas très souvent, à cette règle. Tous les hommes que l'on appelle maintenant des découvreurs, dans tous les domaines régis par la pensée, ont été des hommes versés dans l'esprit de leurs prédécesseurs et instruits de ce qui avait été avant eux. Il n'y a pas une exception.

Le budget consiste en une revue d'une grande collection de livres paradoxaux que De Morgan avait accumulés dans sa propre bibliothèque, en partie par achat dans des kiosques, en partie à partir de livres qui lui ont été envoyés pour examen, en partie à partir de livres envoyés par les auteurs. Il donne la classification suivante : les quadrateurs du cercle, les trisecteurs de l'angle, les duplicateurs du cube, les constructeurs du mouvement perpétuel, les subverseurs de la gravitation, les stagnateurs de la terre, les constructeurs de l'univers. Vous trouverez encore des spécimens de toutes ces classes dans le Nouveau Monde et dans le nouveau siècle. De Morgan donne sa connaissance personnelle des paradoxes.

Je soupçonne que je connais mieux la classe d'anglais que n'importe quel homme en Grande-Bretagne. Je n'ai jamais tenu compte : mais je sais qu'une année avec une autre ? et moins des dernières années qu'auparavant ? – J'en ai parlé à plus de cinq chaque année, donnant plus de cent cinquante spécimens. De cela, je suis sûr que c'est ma faute s'ils n'ont pas été mille. Personne ne sait comment ils pullulent, sauf ceux auxquels ils ont naturellement recours. Ils sont de tous grades et professions, de tous âges et de tous caractères. Ce sont des gens très sérieux, et leur but est de bonne foi , la diffusion de leurs paradoxes. Un grand nombre - la masse, en effet - sont analphabètes, et un grand nombre gaspillent leurs moyens, et sont dans ou s'approchent de la pénurie. Ces découvreurs se méprisent les uns les autres.

Un paradoxe à qui De Morgan a fait le compliment qu'Achille a fait à Hector — pour le traîner encore et encore autour des murs — était James Smith, un marchand prospère de Liverpool. Il a trouvé . Son mode de raisonnement était une curieuse caricature de la reductio ad absurdum d'Euclide. Il dit let , puis montra que dans cette supposition, toute autre valeur de doit être absurde. Par conséquent, est la vraie valeur. Ce qui suit est un spécimen du train de De Morgan autour des murs de Troie :

M. Smith continue de m'écrire de longues lettres, auxquelles il laisse entendre que je dois répondre. Dans sa dernière des 31 pages de papier à notes écrites de près, il m'informe, en référence à mon silence obstiné, que bien que je me considère et que les autres pensent que je suis un Goliath mathématique, j'ai résolu de jouer l'escargot mathématique et de garder dans ma coquille. Un escargot mathématique ! Ce ne peut être ce qu'on appelle ce qui règle la sonnerie d'une horloge ; car cela signifierait que je dois faire sonner à M. Smith la vraie heure du jour, ce que je ne ferais en aucun cas sur une horloge qui gagne 19 secondes impaires à chaque heure par la fausse valeur quadrative de . Mais il ose me dire que les cailloux de la fronde de la simple vérité et du bon sens finiront par fendre ma carapace, et me mettre hors de combat . La confusion des images est amusante : Goliath se transformant en escargot à éviter et James Smith, Esq., du Mersey Dock Board : et mis hors de combat par des cailloux d'une fronde. Si Goliath s'était glissé dans une coquille d'escargot, David aurait brisé le Philistin avec son pied. Il y a quelque chose comme de la modestie dans l'implication que le caillou crack-shell n'a pas encore pris effet ; on aurait pu penser que le frondeur chantait à ce moment-là — Et trois fois [et un huitième] j'ai mis en déroute tous mes ennemis, Et trois fois [et un huitième] j'ai tué le tué.

Dans le domaine des mathématiques pures, De Morgan pouvait facilement déceler le faux du vrai paradoxe ; mais il n'était pas aussi compétent dans le domaine de la physique. Son beau-père était un paradoxe, et sa femme une paradoxale ; et, de l'avis des physiciens, De Morgan lui-même s'en est à peine échappé. Sa femme a écrit un livre décrivant les phénomènes de spiritisme, table-rap, table-turning , etc.; et De Morgan a écrit une préface dans laquelle il a dit qu'il connaissait certains des faits affirmés, en croyait d'autres sur témoignage, mais ne prétendait pas savoir s'ils étaient causés par des esprits, ou avaient une origine inconnue et inimaginable. De cette alternative, il a laissé de côté les causes matérielles ordinaires. Faraday a prononcé une conférence sur le spiritisme , dans laquelle il a établi que dans l'enquête, nous devons partir avec l'idée de ce qui est physiquement possible, ou impossible ; De Morgan n'y croyait pas.

Rapports

De Morgan a développé le calcul des relations dans son Syllabus of a Proposed System of Logic (1966 : 208-46), publié pour la première fois en 1860. De Morgan a pu montrer que le raisonnement avec des syllogismes pouvait être remplacé par la composition de relations . Le calcul a été décrit comme la logique des parents par Charles Sanders Peirce , qui admirait De Morgan et l'a rencontré peu de temps avant sa mort. Le calcul a été étendu dans le troisième volume de Ernst Schröder de mourir Vorlesungen über Algebra der Logik . Les relations binaires , en particulier la théorie de l'ordre , se sont avérées essentielles aux Principia Mathematica de Bertrand Russell et Alfred North Whitehead . À son tour, ce calcul est devenu l'objet de beaucoup plus de travaux, à partir de 1940, par Alfred Tarski et ses collègues et étudiants de l' Université de Californie .

Spiritualisme

De Morgan plus tard dans sa vie s'est intéressé aux phénomènes du spiritisme . En 1849, il avait enquêté sur la voyance et fut impressionné par le sujet. Il a ensuite mené des enquêtes paranormales dans sa propre maison avec la médium américaine Maria Hayden. Le résultat de ces enquêtes a ensuite été publié par sa femme Sophia. De Morgan pensait que sa carrière de scientifique aurait pu être affectée s'il avait révélé son intérêt pour l'étude du spiritisme, il a donc aidé à publier le livre de manière anonyme. Le livre a été publié en 1863, intitulé From Matter to Spirit: The Result of Ten Years Experience in Spirit Manifestations .

Selon l'historienne Janet Oppenheim , la femme de De Morgan, Sophia, était une spiritualiste convaincue, mais De Morgan partageait une position de troisième voie sur les phénomènes spiritualistes, qu'Oppenheim définissait comme une « position d'attente » ; il n'était ni croyant ni sceptique. Au lieu de cela, son point de vue était que la méthodologie des sciences physiques n'exclut pas automatiquement les phénomènes psychiques , et que de tels phénomènes peuvent être expliqués dans le temps par l'existence possible de forces naturelles que les physiciens n'avaient pas encore identifiées.

Dans la préface de From Matter to Spirit (1863), De Morgan déclare :

Pensant qu'il est très probable que l'univers puisse contenir quelques agences - disons un demi-million - dont personne ne sait rien, je ne peux que soupçonner qu'une petite proportion de ces agences - disons cinq mille - peut être individuellement compétente pour la production de tous les phénomènes [spiritualistes], ou peuvent être tout à fait à la hauteur parmi eux. Les explications physiques que j'ai vues sont faciles, mais lamentablement insuffisantes : l'hypothèse spiritualiste est suffisante, mais infiniment difficile. Le temps et la réflexion décideront, le second demandant au premier plus de résultats d'essai.

Le chercheur psychique John Beloff a écrit que De Morgan était le premier scientifique notable en Grande-Bretagne à s'intéresser à l'étude du spiritualisme et que ses études avaient influencé la décision de William Crookes d'étudier également le spiritualisme. Beloff prétend également que De Morgan était athée et qu'il a donc été exclu d'un poste à Oxford ou à Cambridge.

Héritage

Au-delà de son grand héritage mathématique, le siège de la London Mathematical Society s'appelle De Morgan House et la société étudiante du département de mathématiques de l'University College London s'appelle Augustus De Morgan Society.

Le cratère De Morgan sur la Lune porte son nom.

Écrits choisis

Voir également

Les références

Remarques

Citations

Sources

Lectures complémentaires

Liens externes