automorphisme - Automorphism


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En mathématiques , un automorphisme est un isomorphisme d'un objet mathématique à lui - même. Il est, dans un certain sens, une symétrie de l'objet, et une façon de cartographier l'objet lui - même , tout en préservant l' ensemble de sa structure. L'ensemble de tous les automorphismes d'un objet forme un groupe , appelé groupe d'automorphismes . Il est, vaguement parlant, le groupe de symétrie de l'objet.

Définition

Dans le contexte de l' algèbre abstraite , un objet mathématique est une structure algébrique telle qu'un groupe , anneau ou espace vectoriel . Un automorphisme est tout simplement un bijective homomorphisme d'un objet avec lui - même. (La définition d'un morphisme dépend du type de structure algébrique; voir, par exemple, un groupe homomorphism , anneau homomorphism et opérateur linéaire ).

Le morphisme identité ( carte d'identité ) est appelée automorphismes trivial dans certains contextes. Respectivement, d' autres automorphismes (non-identité) sont appelés triviaux automorphismes .

La définition exacte d'un automorphisme dépend du type de « objet mathématique » en question et ce, précisément, constitue un « isomorphisme » de cet objet. Le cadre le plus général dans lequel ces mots ont un sens est une branche abstraite des mathématiques appelée théorie des catégories . La théorie des catégories traite des objets abstraits et morphisme entre ces objets.

Dans la théorie des catégories, un automorphisme est un endomorphisme (c. -à- un morphisme d'un objet à lui - même) qui est aussi un isomorphisme (au sens catégorique du mot).

Ceci est une définition très abstraite puisque, dans la théorie des catégories, morphismes ne sont pas nécessairement les fonctions et les objets ne sont pas nécessairement des ensembles. Dans la plupart des paramètres concrets, cependant, les objets seront ensembles avec une structure supplémentaire et les morphismes seront des fonctions préservant cette structure.

groupe automorphisme

Si les automorphismes d'un objet X forment un ensemble ( au lieu d'une bonne classe ), ils forment un groupe sous composition de morphismes . Ce groupe est appelé le groupe automorphism de X .

Fermeture
Composition de deux automorphismes est un autre automorphisme.
associativité
Il fait partie de la définition d'une catégorie que la composition de morphismes est associative.
Identité
L'identité est le morphisme identité d'un objet à lui-même, qui est un automorphismes.
inverses
Par définition, toute une inverse a isomorphisme qui est aussi un isomorphisme, et puisque l'inverse est également un endomorphisme du même objet est un automorphisme.

Le groupe d'automorphismes d'un objet X dans une catégorie C est notée Aut C ( X ), ou tout simplement Aut ( X ) si la catégorie est clair à partir du contexte.

Exemples

L'histoire

L' un des premiers automorphismes du groupe (automorphisme d'un groupe, pas seulement un groupe de automorphismes de points) a été donné par le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton en 1856, dans son calcul Icosian , où il a découvert un ordre deux automorphisme, écrit:

de sorte que est une nouvelle cinquième racine de l' unité, liée à l'ancien cinquième racine par des relations de réciprocité parfaite.

automorphismes interne et externe

Dans certaines catégories, notamment les groupes , anneaux et algèbres de Lie -Il est possible de séparer automorphismes en deux types, appelés « internes » et « automorphismes extérieurs ».

Dans le cas des groupes, les automorphismes intérieurs sont les conjugaisons par les éléments du groupe lui - même. Pour chaque élément un d'un groupe G , la conjugaison par un est l'opération φ a  : GG donnée par φ une ( g ) = aga -1 (ou un -1 ga , varie utilisation). On peut facilement vérifier que la conjugaison par un est un automorphisme de groupe. Les automorphismes intérieurs forment un sous - groupe de Aut ( G ), notée Inn ( G ); on appelle cela le lemme de Goursat .

Les autres automorphismes sont appelés automorphismes extérieurs . Le groupe quotient Aut ( G ) / Inn ( G ) est habituellement désigné par rupture ( G ); les éléments non triviales sont les classes d' équivalence contenant les automorphismes extérieurs.

La même définition tient en tout unifère anneau ou algèbreun est tout élément inversible . Pour algèbres de Lie la définition est légèrement différente.

Voir également

Références

  1. ^ PJ Pahl, R Damrath (2001). "§7.5.5 Automorphismes". Fondements mathématiques de l' ingénierie informatique (ed traduction Felix Pahl.). Springer. p. 376. ISBN  3-540-67995-2 .
  2. ^ Yale, Paul B. (mai 1966). « Automorphismes des nombres complexes » (PDF) . Magazine Mathématiques . 39 (3): 135-141. doi : 10,2307 / 2689301 . JSTOR  2689301 .
  3. ^ Lounesto, Pertti (2001), Clifford algèbres et spineurs (2e éd.), Cambridge University Press, pp 22-23., ISBN  0-521-00551-5
  4. ^ Manuel de l' algèbre , 3 , Elsevier , 2003, p. 453
  5. ^ Sir William Rowan Hamilton (1856). « Mémorandum sur un nouveau système de racines de l' unité » (PDF) . Magazine philosophique . 12 : 446.

Liens externes