Axiom - Axiom


Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre

Un axiome ou postulat est une déclaration qui est considéré comme vrai , pour servir de prémisse ou le point de départ pour plus d'un raisonnement et des arguments. Le mot vient du grec Axioma ( ἀξίωμα ) « ce qui est jugé digne ou en forme » ou « ce qui se félicite aussi évidente. »

Le terme a des différences subtiles dans la définition lorsqu'ils sont utilisés dans le cadre des différents domaines d'études. Tel qu'il est défini dans la philosophie classique , un axiome est une déclaration qui est si évidente ou bien établie, qu'il est accepté sans controverse ou question. Tel qu'il est utilisé dans moderne logique , un axiome est une prémisse ou le point de départ pour le raisonnement.

Tel qu'il est utilisé en mathématiques , le terme axiome est utilisé dans deux sens connexes mais distincts: « axiomes logiques » et « axiomes non-logiques » . Axiomes logiques sont généralement des états qui sont pris pour être vrai dans le système de logique qu'ils définissent (par exemple, ( A et B ) implique A ), souvent présentés sous une forme symbolique, tandis que les axiomes non-logiques (par exemple, un + b = b + a ) sont en fait des affirmations de fond sur les éléments du domaine d'une théorie mathématique spécifique (comme l' arithmétique ). Lorsqu'il est utilisé dans ce dernier sens, « axiome », « postulat » et « hypothèse » peuvent être utilisés de manière interchangeable. En général, un axiome non-logique est pas une vérité de soi, mais plutôt une expression formelle logique utilisée dans la déduction pour construire une théorie mathématique. Pour axiomatiser un système de connaissances est de montrer que ses réclamations peuvent être dérivées d'un petit ensemble de phrases bien compris (les axiomes). Il y a généralement plusieurs façons de axiomatiser un domaine mathématique donné.

Tout axiome est une déclaration qui sert de point de départ à partir duquel d' autres déclarations découlent logiquement. Que ce soit significatif (et, le cas échéant, ce que cela signifie) pour un axiome d'être « vrai » est un sujet de débat dans la philosophie des mathématiques .

Étymologie

Le mot axiome vient du grec mot ἀξίωμα ( Axioma ), un nom verbal du verbe ἀξιόειν ( axioein ), qui signifie « juger digne », mais aussi « d'exiger », ce qui vient de ἄξιος ( Axios ), ce qui signifie " être en équilibre », et donc « avoir (la même) valeur (comme) », « digne », « bon ». Parmi les anciens grecs philosophes un axiome est une réclamation qui pourrait être considérée comme vraie sans aucun besoin de preuve.

La signification de la racine du mot postulat est de « demande »; par exemple, Euclide exige que l' on d' accord que certaines choses peuvent être faites, par exemple , deux points peuvent être reliés par une ligne droite, etc.

Géomètres anciens maintenu une distinction entre les axiomes et postulats. Tout en commentant les livres d'Euclide, Proclus remarque que, " Geminus a jugé que ce [4] Postulat ne doit pas être considéré comme un postulat , mais comme un axiome, car il n'a pas, comme les trois premiers Postulats, affirmer la possibilité d'une construction , mais exprime une propriété essentielle « . Boèce traduit par « postulat » comme petitio et a appelé les axiomes notiones communes , mais dans les manuscrits plus tard cet usage n'a pas été toujours strictement gardé.

Développement historique

début Grecs

La méthode logico-déductif dans lequel les conclusions (nouvelles connaissances) suivent des locaux (ancienne connaissance) par l'application d'arguments sonores ( syllogismes , règles d'inférence), a été développé par les anciens Grecs, et est devenu le principe de base des mathématiques modernes. Tautologies exclus, on ne peut rien déduire si rien est supposé. Axiomes et postulats sont les hypothèses de base qui sous - tendent un corps donné de la connaissance déductive. Ils sont acceptés sans démonstration. Toutes les autres affirmations ( théorèmes , si nous parlons de mathématiques) doit être prouvée à l'aide de ces hypothèses de base. Cependant, l'interprétation des connaissances mathématiques a changé depuis les temps anciens à la moderne, et par conséquent les termes axiome et postulat tenir un sens légèrement différent pour le mathématicien d'aujourd'hui, que ce qu'ils ont fait pour Aristote et Euclide .

Les anciens Grecs considéraient la géométrie comme juste un de plusieurs sciences , et a tenu les théorèmes de la géométrie de pair avec des faits scientifiques. En tant que tels, ils ont développé et utilisé la méthode logico-déductive comme un moyen d'éviter l' erreur, et pour la structuration et la connaissance des communications. D'Aristote analytics postérieur est une exposition définitive de la vue classique.

Un « axiome », dans la terminologie classique, fait référence à une hypothèse de soi commune à de nombreuses branches de la science. Un bon exemple serait l'affirmation selon laquelle

Lorsqu'un montant égal est prélevé égal à égal, un montant égal résulte.

A la base des diverses sciences poser certaines hypothèses supplémentaires qui ont été acceptées sans preuve. Une telle hypothèse a été appelé un postulat . Alors que les axiomes étaient communs à de nombreuses sciences, les postulats de chaque science particulière étaient différentes. Leur validité doit être établie par l'expérience du monde réel. En effet, Aristote avertit que le contenu d'une science ne peut être communiquée avec succès, si l'apprenant est dans le doute sur la vérité des postulats.

L'approche classique est bien illustrée par les éléments d'Euclide , où une liste de postulats est donnée (faits géométriques communs-sensical tirés de notre expérience), suivi d'une liste des « notions communes » (très basiques, assertions évidentes en soi).

postulats
  1. Il est possible de tracer une ligne droite de tout point à tout autre point.
  2. Il est possible d'étendre un segment de ligne en continu dans les deux sens.
  3. Il est possible de décrire un cercle avec un centre et un rayon quelconque.
  4. Il est vrai que tous les angles droits sont égaux entre eux.
  5. ( « Postulat parallèle ») Il est vrai que, si une ligne droite tombant sur deux droites font les angles intérieurs du même côté inférieur à deux angles droits, les deux lignes droites, si elles sont produites indéfiniment, se croisent sur le côté sur lequel sont les angles moins que les deux angles droits.
notions communes
  1. Les choses qui sont égales à la même chose sont aussi égales entre elles.
  2. Si égaux sont ajoutés égaux, les totalités sont égaux.
  3. Si égaux sont soustraites égaux, les reliquats sont égaux.
  4. Les choses qui coïncident entre elles sont égales entre elles.
  5. Le tout est plus grand que la partie.

Le développement moderne

Une leçon apprise par les mathématiques au cours des 150 dernières années est qu'il est utile de dépouiller le sens loin des assertions mathématiques (axiomes, postulats, propositions , théorèmes) et les définitions. Il faut reconnaître la nécessité de notions primitives , ou des termes ou des concepts non définis, dans une étude. Une telle abstraction ou la formalisation fait la connaissance mathématique plus générale, capable de multiples significations différentes, et donc utiles dans plusieurs contextes. Alessandro Padoa , Mario Pieri , et Giuseppe Peano ont été des pionniers dans ce mouvement.

Mathématiques structuralistes va plus loin, et développe des théories et des axiomes (par exemple la théorie des champs , la théorie des groupes , topologie , espaces vectoriels ) sans aucune application particulière à l' esprit. La distinction entre un « axiome » et un « postulat » disparaît. Les postulats d'Euclide sont motivés avec profit en disant qu'ils mènent à une grande richesse de faits géométriques. La vérité de ces faits compliqués repose sur l'acceptation des hypothèses de base. Cependant, en jetant le cinquième postulat d'Euclide nous obtenons des théories qui ont un sens dans des contextes plus larges, la géométrie hyperbolique par exemple. Nous devons simplement être prêts à utiliser des étiquettes comme « ligne » et « en parallèle » avec une plus grande flexibilité. Le développement de la géométrie hyperbolique a enseigné que les mathématiciens postulats devraient être considérés comme purement déclarations officielles, et non pas comme des faits fondés sur l' expérience.

Lorsque les mathématiciens utilisent les champs axiomes, les intentions sont encore plus abstraites. Les propositions de la théorie des champs ne concernent pas une application particulière; le mathématicien travaille maintenant dans l' abstraction complète. Il existe de nombreux exemples de domaines; la théorie des champs donne une bonne connaissance sur eux tous.

Il est inexact de dire que les axiomes de la théorie des champs sont « des propositions qui sont considérées comme vraies sans preuve. » Au contraire, les axiomes de terrain sont un ensemble de contraintes. Si un système donné d'addition et de multiplication répond à ces contraintes, alors on est en mesure de connaître instantanément une grande quantité d'informations supplémentaires sur ce système.

Les mathématiques modernes formalise ses fondements dans une mesure telle que les théories mathématiques peuvent être considérés comme des objets mathématiques et mathématiques elles- mêmes peuvent être considérés comme une branche de la logique . Frege , Russell , Poincaré , Hilbert et Gödel sont quelques - uns des chiffres clés de ce développement.

Dans la compréhension moderne, un ensemble d'axiomes est une collection d'assertions formellement énoncés dont d' autres assertions formellement énoncées ci - après par l'application de certaines règles bien définies. Dans cette perspective, la logique devient juste un autre système formel. Un ensemble d'axiomes doit être cohérente ; il devrait être impossible de tirer une contradiction de l'axiome. Un ensemble d'axiomes devrait également être non redondante; une affirmation qui peut être déduit des autres axiomes ne pas être considéré comme un axiome.

Ce fut le début de l' espoir de logiciens modernes que diverses branches des mathématiques, peut - être toutes les mathématiques, pourraient être tirées d'une collection cohérente des axiomes de base. Un premier succès du programme formaliste est la formalisation de Hilbert de la géométrie euclidienne et la démonstration connexe de la cohérence de ces axiomes.

Dans un contexte plus large, on a tenté de fonder toutes les mathématiques sur Cantor la théorie des ensembles . Ici , l'émergence du paradoxe de Russell , et antinomies similaires de la théorie des ensembles naïve a soulevé la possibilité qu'un tel système pourrait se révéler incompatible.

Le projet formaliste a subi un revers décisif, alors qu'en 1931 Gödel a montré qu'il est possible, pour un ensemble d'axiomes suffisamment grand ( les axiomes de Peano , par exemple) pour construire une déclaration dont la vérité est indépendante de cet ensemble d'axiomes. En corollaire , Gödel a prouvé que la consistance d'une théorie comme l' arithmétique de Peano est une affirmation indémontrable dans le cadre de cette théorie.

Il est raisonnable de croire à la cohérence de l' arithmétique de Peano parce qu'elle est satisfaite par le système de nombres naturels , un infini système formel mais intuitivement accessible. Cependant, à l' heure actuelle, il n'y a aucun moyen connu de démontrer la cohérence des modernes axiomes Zermelo-Fraenkel pour la théorie des ensembles. De plus, en utilisant des techniques de force ( Cohen ) , on peut montrer que l' hypothèse de continuum (Cantor) est indépendante des axiomes Zermelo-Fraenkel. Ainsi, même cet ensemble très général d'axiomes ne peut pas être considéré comme la base définitive pour les mathématiques.

autres sciences

Axioms jouent un rôle clé non seulement en mathématiques, mais aussi dans d' autres sciences, notamment en physique théorique . En particulier, l'œuvre monumentale d' Isaac Newton est essentiellement basée sur Euclide axiomes de, par un postulat augmentée sur la non-relation de l' espace - temps et la physique qui s'y déroulent à tout moment.

En 1905, les axiomes de Newton ont été remplacés par ceux d' Albert Einstein de la relativité restreinte , et plus tard par ceux de la relativité générale .

Un autre article d'Albert Einstein et ses collaborateurs (voir paradoxe EPR ), presque immédiatement contredite par Niels Bohr , portait sur l'interprétation de la mécanique quantique . Ce fut en 1935. Selon Bohr, cette nouvelle théorie devrait être probabiliste , alors que d' après Einstein , il devrait être déterministe . Notamment, la théorie de la mécanique quantique sous - jacente, à savoir l'ensemble des « théorèmes » dérivés par elle, semblait être identique. Einstein même supposer qu'il suffirait d'ajouter à la mécanique quantique « variables cachées » pour faire appliquer le déterminisme. Cependant, trente ans plus tard, en 1964, John Bell a trouvé un théorème, impliquant des corrélations optiques complexes (voir les inégalités de Bell ), qui a donné des résultats différents en utilisant les mesurablement axiomes d'Einstein par rapport à l' utilisation des axiomes de Bohr. Et il a fallu environ une vingtaine d' années jusqu'à ce qu'une expérience d' Alain Aspect a obtenu des résultats en faveur des axiomes de Bohr, Einstein pas. (Axiomes de Bohr sont tout simplement: La théorie probabiliste devrait être dans le sens de l' interprétation de Copenhague .)

Par conséquent, il est nécessaire de citer explicitement les axiomes d'Einstein, d'autant plus, car ils concernent des points subtils sur la « réalité » et « localité » d'expériences.

Quoiqu'il en soit, le rôle des axiomes en mathématiques et dans les sciences mentionnées ci-dessus est différent. En mathématiques on ne « prouve » ni « réfute » un axiome pour un ensemble de théorèmes; le point est simplement que dans le domaine conceptuel identifié par les axiomes, les théorèmes suivent logiquement. En revanche, en physique une comparaison avec des expériences fait toujours sens, car une falsifiée théorie physique doit être modifié.

logique mathématique

Dans le domaine de la logique mathématique , une distinction claire entre deux notions d'axiomes: logique et non logique ( un peu similaire à la distinction ancienne entre les « axiomes » et « postulats » respectivement).

axiomes logiques

Ce sont certaines formules dans un langage formel qui sont universellement valables , à savoir, les formules qui sont satisfaites par chaque attribution de valeurs. Habituellement , on prend comme axiomes logiques au moins un certain ensemble minimal de tautologies qui est suffisant pour prouver tous les tautologies dans la langue; dans le cas de la logique des prédicats axiomes logiques que qui sont nécessaires, afin de prouver les vérités logiques qui ne sont pas tautologies au sens strict.

Exemples

Logique propositionnelle

Dans la logique propositionnelle , il est courant de prendre comme axiomes logiques toutes les formules des formes suivantes, où , et peut être des formules de la langue et où les inclus conjonctions primitifs ne sont « » pour la négation de la proposition immédiatement après et « » pour implication de antécédente à des propositions conséquentes:

Chacun de ces modes est un schéma d'axiome , une règle de génération d' un nombre infini d'axiomes. Par exemple, si , et sont variables propositionnelles , alors et sont les deux instances de schéma axiome 1, et sont donc axiomes. On peut montrer que avec seulement ces trois axiome schemata et modus ponens , on peut prouver tous les tautologies du calcul propositionnel. Il peut aussi montrer qu'aucune paire de ces schèmes est suffisante pour prouver tous les tautologies avec modus ponens .

D'autres schémas d'axiome impliquant les mêmes ou différents ensembles de conjonctions primitifs peuvent être alternativement construits.

Ces schèmes axiome sont également utilisés dans le calcul des prédicats , mais il faut d' autres axiomes logiques pour inclure un quantificateur dans le calcul.

Logique du premier ordre

Axiome de l' égalité. Laissez - être une langue de premier ordre . Pour chaque variable , la formule

est universellement valide.

Cela signifie que, pour tout symbole de variable de la formule peut être considérée comme un axiome. En outre, dans cet exemple, pour ce ne pas tomber dans le vague et une série sans fin de « notions primitives », soit une notion précise de ce que nous entendons par (ou, d'ailleurs, « être égale ») doit être bien établi d' abord, ou un usage purement formel et du symbole syntactique doit être appliqué, en ce qui concerne uniquement comme une chaîne et seulement une chaîne de symboles, et la logique mathématique ne fait en effet que.

Un autre exemple plus intéressant schéma d'axiome , est celui qui nous fournit ce qu'on appelle Universal instanciation :

Système Axiom pour instanciation Universal. Étant donné une formule dans une langue de premier ordre , une variable et un terme qui est substituable pour dans la formule

est universellement valide.

Lorsque le symbole représente la formule avec le terme substitué . (Voir Remplacement des variables .) En termes informels, cet exemple nous permet d'affirmer que, si l' on sait qu'une certaine propriété est valable pour tous les et qui représente un objet particulier dans notre structure, nous devrions être en mesure de réclamer . Encore une fois, nous réclamons que la formule est valable , qui est, nous devons être en mesure de donner une « preuve » de ce fait, ou pour mieux dire, un metaproof . En fait, ces exemples sont metatheorems de notre théorie de la logique mathématique puisque nous traitons avec le concept même de la preuve elle - même. En dehors de cela, nous pouvons aussi avoir Existentielle Généralisation :

Système Axiom existentialistes Généralisation. Étant donné une formule dans une langue de premier ordre , une variable et un terme qui est substituable dans la formule

est universellement valide.

axiomes non-logiques

Axiomes non-logiques sont des formules qui jouent le rôle des hypothèses propres à la théorie. Raisonner sur deux structures différentes, par exemple les nombres naturels et les nombres entiers , peut impliquer les mêmes axiomes logiques; les axiomes non-logiques ont pour but de saisir ce qui est spécial sur une structure particulière (ou un ensemble de structures, tels que les groupes ). Ainsi axiomes non-logiques, à la différence des axiomes logiques, ne sont pas tautologies . Un autre nom pour un axiome non-logique est postulat .

Presque tous les modernes théorie mathématique commence à partir d' un ensemble donné d'axiomes non-logiques, et on pensait que , en principe , toute théorie pourrait être axiomatisé de cette manière et officialisée jusqu'à la langue nue de formules logiques.

Axiomes non-logiques sont souvent simplement appelés axiomes en mathématiques discours . Cela ne veut pas dire que l'on prétend qu'elles sont vraies dans un certain sens absolu. Par exemple, dans certains groupes, le fonctionnement du groupe est commutative , et cela peut affirmer avec l'introduction d'un axiome supplémentaire, mais sans cet axiome nous pouvons faire très bien en développement (plus générale) la théorie des groupes, et nous pouvons même prendre sa négation comme un axiome pour l'étude des groupes non commutatifs.

Ainsi, un axiome est une base élémentaire pour un système de logique formelle qui , ensemble , avec les règles d'inférence définissent un système déductif .

Exemples

Cette section donne des exemples de théories mathématiques qui sont entièrement développés à partir d'un ensemble d'axiomes non-logiques (axiomes, désormais). Un traitement rigoureux de ces sujets commence par une spécification de ces axiomes.

Les théories de base, telles que l' arithmétique , analyse réelle et des analyses complexes sont souvent introduites non axiomatique, mais il est implicitement ou explicitement généralement une hypothèse que les axiomes utilisés sont les axiomes de la théorie des ensembles Zermelo-Fraenkel avec choix, ZFC abrégé, ou certains système très similaire de la théorie des ensembles axiomatique comme Von Neumann-Bernays-Gödel la théorie des ensembles , une extension conservative de ZFC. Parfois , un peu plus fortes théories telles que la théorie des ensembles Morse-Kelley ou la théorie des ensembles avec un cardinal fortement inaccessible permettant l'utilisation d'un univers Grothendieck sont utilisés, mais en fait la plupart des mathématiciens peuvent réellement prouver tout ce qu'ils ont besoin dans des systèmes plus faibles que ZFC, comme deuxième commander arithmétique .

L'étude de la topologie en mathématiques se prolonge à travers toute la topologie de point de consigne , la topologie algébrique , topologie différentielle , et tout l'attirail connexe, comme la théorie de l' homologie , la théorie homotopy . Le développement de l' algèbre abstraite apporté avec elle - même la théorie des groupes , des anneaux , des champs et la théorie de Galois .

Cette liste pourrait être élargie pour inclure la plupart des domaines des mathématiques, y compris la théorie de la mesure , la théorie ergodique , la probabilité , la théorie de la représentation et la géométrie différentielle .

Arithmétique

Les axiomes Peano sont les plus largement utilisé axiomatique de l' arithmétique du premier ordre . Ils sont un ensemble d'axiomes assez forts pour prouver de nombreux faits importants sur la théorie des nombres et ils ont permis Gödel d'établir son fameux second théorème d'incomplétude .

Nous avons une langue où est un symbole constant et est une fonction unaire et les axiomes suivants:

  1. pour toute formule avec une variable libre.

La structure standard est où est l'ensemble des nombres naturels, est la fonction successeur et est interprété naturellement que le nombre 0.

la géométrie euclidienne

Probablement le plus ancien et le plus célèbre, la liste des axiomes sont les 4 + 1 postulats d'Euclide de géométrie plane . Les axiomes sont appelés « 4 + 1 » car près de deux millénaires , le cinquième (parallèle) postulent ( « à travers un point à l' extérieur d' une ligne il y a exactement une parallèle ») a été suspecté d'être obtenue à partir des quatre premiers. En fin de compte, le cinquième postulat a été jugé indépendant des quatre premiers. En effet, on peut supposer que exactement un parallèle par un point extérieur à une ligne existe, ou une infinité d'exister. Ce choix nous donne deux formes alternatives de la géométrie dans laquelle l'intérieur des angles d'un triangle ajoutent à exactement 180 degrés ou moins, respectivement, et sont connus comme euclidienne et hyperboliques géométries. Si on supprime également le deuxième postulat ( « une ligne peut être prolongé indéfiniment ») , alors la géométrie elliptique se présente, lorsqu'il n'y a pas parallèle par l' intermédiaire d' un point à l' extérieur d' une ligne, et dans lequel les angles intérieurs d'un triangle ajouter jusqu'à plus de 180 degrés .

analyse réelle

Les objectifs de l' étude sont dans le domaine des nombres réels . Les nombres réels sont particulièrement bien choisi (jusqu'à isomorphisme ) par les propriétés d'un champ complet ordonné Dedekind , ce qui signifie que tout ensemble non vide des nombres réels avec une limite supérieure a une borne supérieure. Cependant, l' expression de ces propriétés comme axiomes nécessite l' utilisation de la logique du second ordre . Les théorèmes Löwenheim-Skolem nous disent que si nous nous limitons à la logique du premier ordre , tout système d'axiome pour les nombres réels admet d' autres modèles, y compris les modèles qui sont plus petits que les modèles réels et qui sont plus grandes. Certains de ces derniers sont étudiés dans l' analyse non standard .

Rôle dans la logique mathématique

systèmes déductifs et l'exhaustivité

Un déductive système consiste en un ensemble d'axiomes logiques, un ensemble d'axiomes non-logiques, et un ensemble de règles d'inférence . Une propriété souhaitable d'un système déductif est qu'il soit complet . Un système est dit complet si, pour toutes les formules ,

qui est, pour toute déclaration qui est une conséquence logique de il existe en fait une déduction de la déclaration . Ceci est parfois exprimé comme « tout ce qui est vrai est prouvable », mais il faut comprendre que « true » signifie ici « fait vrai par l'ensemble des axiomes », et non, par exemple, « vrai dans l'interprétation voulue ». Le théorème de complétude de Gödel établit l'intégralité d'un certain type couramment utilisé système déductif.

Notez que « l' intégralité » a un sens différent ici qu'il fait dans le cadre du premier théorème d'incomplétude de Gödel , qui stipule qu'aucune récursive , cohérente ensemble d'axiomes non-logiques de la théorie de l' arithmétique est complète , en ce sens qu'il y aura toujours existe une déclaration arithmétique telle que ni ne peut être prouvé par l'ensemble donné d'axiomes.

Il y a donc, d'une part, la notion de complétude d'un système déductif et d'autre part celle de l' intégralité d'un ensemble d'axiomes non-logiques . Le théorème de complétude et le théorème d'incomplétude, malgré leur nom, ne se contredisent pas.

D'autres discussions

Les premiers mathématiciens considéraient la géométrie axiomatique comme un modèle d' espace physique , et , évidemment , il ne pouvait être qu'un tel modèle. L'idée que les systèmes mathématiques alternatives pourraient exister était très troublant mathématiciens du 19ème siècle et les développeurs de systèmes tels que l' algèbre de Boole a fait des efforts élaborés pour les tirer de l' arithmétique traditionnelle. Galois a montré juste avant sa mort prématurée que ces efforts ont été en grande partie gaspillés. En fin de compte, le résumé des parallèles entre les systèmes algébriques ont été considérés comme plus importants que les détails et l' algèbre moderne est né. Dans les axiomes de vue moderne peut être un ensemble de formules, tant qu'ils ne sont pas connus pour être incompatibles.

Voir également

Références

Pour en savoir plus

Liens externes