Axiome de choix - Axiom of choice


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Illustration de l'axiome de choix, chaque S i et x i représenté sous la forme d' un pot et un marbre de couleur, respectivement
(S i ) est une infinie famille d'ensembles indexés sur des nombres réels R ; autrement dit, il existe un ensemble S i pour chaque nombre réel i , avec un petit échantillon ci - dessus. Chaque ensemble contient au moins un, et peut - être infiniment nombreux, éléments. L'axiome de choix nous permet de choisir arbitrairement un seul élément de chaque ensemble, formant une famille correspondante d'éléments ( x i ) également indexés sur les nombres réels, avec x i tirée de S i . En général, les collections peuvent être indexés sur un ensemble I , non seulement R .

En mathématiques , l' axiome du choix , ou AC , est un axiome de la théorie des ensembles équivalent à la déclaration que le produit cartésien d'une collection d'ensembles non vides est non vide . Officieusement mettre, l'axiome de choix dit que , compte tenu de toute collection bacs, contenant chacun au moins un objet, il est possible de faire une sélection d'exactement un objet à partir de chaque bac, même si la collection est infinie . Formellement, il déclare que pour chaque famille indexée de nonvide fixe , il existe une famille indexée d'éléments tels que pour tous . L'axiome de choix a été formulée en 1904 par Ernst Zermelo afin de formaliser sa preuve du théorème bien la commande .

Dans de nombreux cas, une telle sélection peut être faite sans invoquer l'axiome du choix; ceci est en particulier le cas si le nombre d'ensembles est fini, ou si une règle de sélection est disponible - une propriété distinctive qui arrive à tenir pour un seul élément dans chaque ensemble. Un exemple illustratif est ensembles cueillis à partir des nombres naturels. De tels ensembles, on peut toujours choisir le plus petit nombre, par exemple dans {{4,5,6}, {10,12}, {}} 1,400,617,8000 les plus petits éléments sont {4, 10, 1}. Dans ce cas, « sélectionner le plus petit nombre » est une fonction de choix . Même si une infinité de jeux ont été recueillies à partir des nombres naturels, il sera toujours possible de choisir le plus petit élément de chaque ensemble pour produire un ensemble. Autrement dit, la fonction de choix fournit l'ensemble des éléments choisis. Cependant, aucune fonction de choix est connu pour la collecte de tous les sous - ensembles non vides des nombres réels (s'il y a des nombres réels inconstructible ). Dans ce cas, doit être invoqué l'axiome du choix.

Russell a inventé une analogie: pour tout (même infinie) la collecte de paires de chaussures, on peut choisir la chaussure gauche de chaque paire pour obtenir une sélection appropriée; ce qui permet de définir directement une fonction de choix. Pour une infinie collection de paires de chaussettes (supposées avoir aucune caractéristique distinctive), il n'y a aucun moyen évident pour une fonction qui sélectionne une chaussette de chaque paire, sans invoquer l'axiome du choix.

Bien qu'à l' origine controversée, l'axiome de choix est maintenant utilisé sans réserve par la plupart des mathématiciens, et il est inclus dans la forme standard de la théorie des ensembles axiomatique , théorie des ensembles Zermelo-Fraenkel avec l'axiome du choix ( ZFC ). Une motivation pour cet usage est qu'un certain nombre de résultats mathématiques généralement reconnus, tels que le théorème de Tychonoff , nécessite l'axiome de choix pour leurs preuves. Les théoriciens de set contemporains étudient également axiomes qui ne sont pas compatibles avec l'axiome de choix, comme l' axiome de déterminabilité . L'axiome de choix est évité dans certaines variétés de mathématiques constructives , bien qu'il existe des variétés de mathématiques constructives dans lequel est enlace l'axiome du choix.

Déclaration

Une fonction de sélection est une fonction f définie sur un ensemble X d'ensembles non vides, de sorte que pour tout ensemble A dans X , f ( A ) est un élément de A . Avec ce concept, peut dire l'axiome:

Axiom  -  Pour tout ensemble X d'ensembles non vides, il existe une fonction de choix f défini sur X .

Formellement, elle peut être exprimée comme suit:

Ainsi, la négation de l'axiome du choix indique qu'il existe une collection d'ensembles non vides qui n'a pas de fonction de choix.

Chaque fonction de choix sur un ensemble X d'ensembles non vides est un élément du produit cartésien des ensembles de X . Ce n'est pas la situation la plus générale d'un produit cartésien d'une famille d'ensembles, où un ensemble donné peut se produire plus d'une fois en tant que facteur; Cependant, on peut se concentrer sur les éléments d'un tel produit qui sélectionnent le même élément à chaque fois un ensemble donné apparaît comme facteur, et ces éléments correspondent à un élément du produit cartésien de tous distincts ensembles dans la famille. L'axiome de choix affirme l'existence de ces éléments; il est donc équivalent à:

Compte tenu de toute la famille des ensembles non vides, leur produit cartésien est un ensemble non vide.

Nomenclature ZF, AC et ZFC

Dans cet article, et d'autres discussions de l'axiome de choix les abréviations suivantes sont communes:

  • AC - l'axiome du choix.
  • ZF - Zermelo-Fraenkel théorie en omettant l'axiome du choix.
  • ZFC - Zermelo-Fraenkel théorie, étendue à l'axiome du choix.

variantes

Il y a beaucoup d'autres déclarations équivalentes de l'axiome du choix. Ceux-ci sont équivalentes dans le sens où, en présence d'autres axiomes de base de la théorie des ensembles, ils impliquent l'axiome de choix et sont sous-entendues par celle-ci.

Une variante permet d'éviter l'utilisation des fonctions de choix par, en effet, remplacer chaque fonction de choix avec sa gamme.

Etant donné un ensemble X de disjoints ensembles non vides, il existe au moins un ensemble C qui contient exactement un élément en commun avec chacun des ensembles de X .

Ceci garantit pour toute partition d'un ensemble X de l'existence d'un sous - ensemble C de X contenant exactement un élément de chaque partie de la partition.

Un autre axiome équivalent considère que les collections X qui sont essentiellement d'autres ensembles spécialisations:

Pour tout ensemble A, l' ensemble d'alimentation de A (avec l'ensemble vide enlevé) a une fonction de choix.

Les auteurs qui utilisent cette formulation parlent souvent de la fonction de choix sur A , mais sachez que cela est une notion légèrement différente de la fonction de choix. Son domaine est le powerset de A (avec l'ensemble vide enlevé), et ainsi est logique pour tout ensemble A , alors que la définition utilisée ailleurs dans cet article, le domaine d'une fonction de choix sur une collection de jeux est que la collecte et donc n'a de sens que pour les ensembles d'ensembles. Avec cette notion alternative de la fonction de choix, l'axiome de choix peut être déclaré comme compact

Chaque jeu a une fonction de choix.

qui est équivalent à

Pour tout ensemble A il existe une fonction f telle que , pour tout sous - ensemble non vide B de A , f ( B ) se situe dans B .

La négation de l'axiome peut donc être exprimée comme suit:

Il existe un ensemble A de telle sorte que pour toutes les fonctions f (sur l'ensemble des sous-ensembles non vides de A ), il y a une chambre de telle sorte que f ( B ) ne se trouve pas dans B .

Restriction à des ensembles finis

La déclaration de l'axiome de choix ne précise pas si la collection d'ensembles non vides est fini ou infini, et implique donc que chaque collection finie d'ensembles non vides a une fonction de choix. Toutefois, ce cas particulier est un théorème de la théorie des ensembles Zermelo-Fraenkel sans l'axiome du choix (ZF); il est facilement prouvé par induction mathématique . Dans le cas encore plus simple d'une collection d' un ensemble, une fonction de choix correspond simplement à un élément, de sorte que cette instance de l'axiome de choix dit que chaque jeu a un élément non vide; cela est trivialement. L'axiome de choix peut être considéré comme affirmant la généralisation de cette propriété, déjà évidente pour les collections finies, aux collections arbitraires.

Usage

Jusqu'à la fin du 19ème siècle, l'axiome de choix a été souvent utilisé implicitement, même si elle n'a pas encore été officiellement déclaré. Par exemple, après avoir établi que l'ensemble X ne contient que des ensembles non vides, un mathématicien aurait pu dire « laisser F (s) soit l' un des membres de s pour tous s en X ». En général, il est impossible de prouver que F existe sans l'axiome de choix, mais cela semble être passé inaperçu jusqu'à Zermelo .

Toutes les situations ne nécessite l'axiome du choix. Pour les ensembles finis X , l'axiome de choix découle des autres axiomes de la théorie des ensembles. Dans ce cas , il revient à dire que si nous avons plusieurs (un nombre fini de) boîtes, contenant chacun au moins un élément, nous pouvons choisir exactement un élément de chaque boîte. Il est clair que nous pouvons faire ceci: Nous commençons à la première case, choisissez un élément; aller à la deuxième case, choisissez un élément; etc. Le nombre de boîtes est fini, donc finalement notre procédure de choix prend fin. Le résultat est une fonction de choix explicite: une fonction qui prend la première case au premier élément que nous avons choisi, la deuxième case au deuxième élément que nous avons choisi, et ainsi de suite. (Une preuve formelle pour tous les ensembles finis utiliserait le principe de l' induction mathématique pour prouver « pour chaque nombre naturel k , toutes les familles de k cependant, des ensembles non vides a une fonction de choix. ») Cette méthode ne peut pas être utilisé pour montrer que tous les dénombrable famille d'ensembles non vides a une fonction de choix, comme il est affirmé par l' axiome du choix dénombrable . Si le procédé est appliqué à une séquence infinie ( X i  : i ∈ω) d'ensembles non vides, on obtient une fonction à chaque étape finie, mais il n'y a pas d' étape au cours de laquelle une fonction de choix pour toute la famille est construite, et non " limitation » fonction de choix peut être construit, en général, ZF sans l'axiome du choix.

Exemples

La nature des jeux individuels nonempty dans la collection peut permettre d'éviter l'axiome du choix même pour certaines collections infinies. Par exemple, supposons que chaque membre de la collection X est un sous - ensemble non vide des nombres naturels. Chaque tel sous - ensemble a un plus petit élément, donc de préciser notre fonction de choix que nous pouvons simplement dire qu'il associe à chaque jeu au moins l' élément de cet ensemble. Cela nous donne un choix définitif d'un élément de chaque jeu, et il est inutile d'appliquer l'axiome du choix.

La difficulté apparaît quand il n'y a pas d'autre choix naturel d'éléments de chaque ensemble. Si nous ne pouvons pas faire des choix explicites, comment pouvons-nous savons que notre jeu existe? Par exemple, supposons que X est l'ensemble de tous les sous - ensembles non vides des nombres réels . D' abord , nous pourrions essayer de faire comme si X était fini. Si nous essayons de choisir un élément de chaque jeu, puis, parce que X est infini, notre procédure de choix ne sera jamais à sa fin, et par conséquent, nous ne serons jamais en mesure de produire une fonction de choix pour tous X . Ensuite , nous pourrions essayer spécifier l'élément moins de chaque série. Mais certains sous - ensembles des nombres réels n'ont pas moins des éléments. Par exemple, l'ouverture d' intervalle (0,1) ne dispose pas d' un élément moins: si x est en (0,1), alors il en est x / 2, et x / 2 est toujours strictement inférieur à x . Donc , cette tentative échoue également.

De plus, pensez par exemple , le cercle unité S , et l'action sur S par un groupe G composé de toutes les rotations rationnelles. A savoir, ce sont des rotations par des angles qui sont des multiples rationnels de  π . Ici G est dénombrable alors que S est innombrable. D' où S se décompose en plusieurs orbites indénombrablement sous  G . En utilisant l'axiome de choix, on peut choisir un seul point de chaque orbite, l' obtention d' un sous - ensemble dénombrable X de S avec la propriété que tous ses translatées par G sont disjoints de  X . L'ensemble de ces partitions se traduit par le cercle en une collection dénombrable de disjoints, qui sont tous en harmonie par paires. Étant donné que X n'est pas mesurable pour toute rotation invariable mesure finie dénombrable additif sur S , trouver un algorithme pour sélectionner un point dans chaque orbite nécessite l'axiome du choix. Voir ensemble non mesurable pour plus de détails.

La raison pour laquelle nous sommes en mesure de choisir moins des éléments de sous - ensembles des nombres naturels est le fait que les nombres naturels sont bien ordonnés : chaque sous - ensemble non vide des nombres naturels a un élément moins unique sous l'ordre naturel. On pourrait dire: « Même si l'ordre habituel des nombres réels ne fonctionne pas, il peut être possible de trouver un ordre différent des nombres réels qui est un bon ordre. Ensuite , notre fonction de choix peut choisir le moindre élément de chaque ensemble sous notre commande inhabituel « . Le problème devient alors celui de la construction d' un bon ordre, qui se révèle d'exiger l'axiome de choix pour son existence; chaque ensemble peut être bien ordonné si et seulement si tient l'axiome du choix.

La critique et l'acceptation

Une preuve exigeant l'axiome de choix peut établir l'existence d'un objet sans explicitement définir l'objet dans la langue de la théorie des ensembles. Par exemple, alors que l'axiome du choix implique qu'il ya un bon ordre des nombres réels, il existe des modèles de la théorie des ensembles avec l'axiome de choix dans lequel aucun bon ordre des nombres réels est définissable. De même, bien qu'un sous - ensemble des nombres réels qui ne sont pas Lebesgue mesurable peut être prouvé d'exister en utilisant l'axiome de choix, il est cohérent qu'un tel ensemble est définissable.

L'axiome de choix prouve l'existence de ces actifs incorporels (objets qui se sont avérés exister, mais qui ne peut être construit explicitement), qui peuvent entrer en conflit avec certains principes philosophiques. Parce qu'il n'y a pas canonique bon ordre de tous les ensembles, une construction qui repose sur un bon ordre ne peut pas produire un résultat canonique, même si un résultat canonique est souhaité (comme cela est souvent le cas dans la théorie des catégories ). Cela a été utilisé comme argument contre l'utilisation de l'axiome du choix.

Un autre argument contre l'axiome de choix est qu'il implique l'existence d'objets qui peuvent sembler contraire à l' intuition. Un exemple est le paradoxe de Banach-Tarski qui dit qu'il est possible de décomposer le 3 dimensions boule unité solide en morceaux finiment beaucoup et, en utilisant des rotations et des traductions seulement, rassembler les morceaux en deux balles solides chacun avec le même volume que l'original . Les pièces de cette décomposition, construit en utilisant l'axiome de choix, sont des ensembles non mesurables .

En dépit de ces apparemment paradoxaux faits, la plupart des mathématiciens acceptent l'axiome du choix comme principe valable pour prouver de nouveaux résultats en mathématiques. Cependant, le débat est assez intéressant, qu'il est considéré comme de la note quand un théorème ZFC (ZF , plus AC) est logiquement équivalent (avec seulement les axiomes ZF) à l'axiome de choix, et les mathématiciens rechercher des résultats qui nécessitent l'axiome de le choix est faux, bien que ce type de déduction est moins fréquent que le type qui nécessite l'axiome de choix pour être vrai.

Il est possible de prouver beaucoup de théorèmes en utilisant ni l'axiome de choix , ni sa négation; ces déclarations seront vrai dans tout modèle de ZF, quelle que soit la vérité ou la fausseté de l'axiome de choix dans ce modèle particulier. La restriction à ZF rend toute réclamation qui repose soit sur l'axiome du choix ou sa négation indémontrable. Par exemple, le paradoxe de Banach-Tarski est ni démontrable ni réfutable de ZF seul: il est impossible de construire la décomposition requise de la boule unité dans ZF, mais aussi impossible de prouver qu'il n'y a pas une telle décomposition. De même, toutes les déclarations ci - dessous qui nécessitent le choix ou une version plus faible de ceux - ci pour leur preuve sont indémontrable dans ZF, mais puisque chacun est démontrable dans ZF plus l'axiome du choix, il existe des modèles de ZF dans lequel chaque affirmation est vraie. Des déclarations telles que le paradoxe de Banach-Tarski peut être reformulé comme des instructions conditionnelles, par exemple, « Si détient AC, puis la décomposition dans le paradoxe de Banach-Tarski existe. » Ces déclarations conditionnelles sont démontrables dans ZF lorsque les déclarations initiales sont démontrables de ZF et l'axiome du choix.

En mathématiques constructives

Comme indiqué plus haut, dans ZFC, l'axiome de choix est en mesure de fournir des « preuves non constructive » dans laquelle l'existence d'un objet est prouvé bien qu'aucun exemple explicite est construit. ZFC, cependant, est encore formalisé dans la logique classique. L'axiome de choix a également été étudiée à fond dans le contexte des mathématiques constructives, où la logique non classique est employé. Le statut de l'axiome du choix varie entre les différentes variétés de mathématiques constructives.

En théorie de type Martin-Löf et d'ordre supérieur arithmétique Heyting , la déclaration appropriée de l'axiome du choix est (selon l'approche) incluse comme un axiome ou démontrable comme un théorème. Errett Bishop a fait valoir que l'axiome de choix était acceptable de manière constructive, en disant

Une fonction de choix existe en mathématiques constructives, parce que le choix est sous-entendu par le sens même de l'existence.

Dans la théorie des ensembles constructifs , cependant, le théorème de Diaconescu montre que l'axiome du choix implique la loi du milieu exclu (contrairement à la théorie de type Martin-Löf, où il ne fonctionne pas). Ainsi , l'axiome de choix est généralement pas disponible dans la théorie des ensembles constructifs. Une cause de cette différence est que l'axiome de choix dans la théorie de type ne pas les extensionnalité propriétés que l'axiome de choix dans la théorie des ensembles constructifs fait.

Certains résultats dans la théorie des ensembles constructifs utilisent l' axiome du choix dénombrable ou l' axiome du choix dépendant , ce qui ne signifie pas la loi du milieu exclu dans la théorie des ensembles constructifs. Bien que l'axiome du choix dénombrable en particulier est couramment utilisé en mathématiques constructives, son utilisation a également été mise en doute.

Indépendance

En 1938, Kurt Gödel a montré que la négation de l'axiome de choix n'est pas un théorème de ZF en construisant un modèle intérieur (l' univers constructible ) qui satisfait ZFC et montrant ainsi que ZFC est cohérente si ZF est elle - même cohérente. En 1963, Paul Cohen emploie la technique de forcer , mis au point à cet effet, de montrer que: en supposant ZF est conforme, l'axiome du choix lui - même est pas un théorème de ZF en construisant un modèle beaucoup plus complexe qui satisfait ZF¬C (ZF avec la négation de l' AC ajouté comme axiome) et montrant ainsi que ZF¬C est cohérente. Ensemble , ces résultats établissent que l'axiome de choix est logiquement indépendant de ZF. L'hypothèse selon laquelle ZF est cohérente est sans danger , car en ajoutant un autre axiome à un système déjà incompatible ne peut pas aggraver la situation. En raison de l' indépendance, la décision d'utiliser l'axiome du choix (ou sa négation) dans une preuve ne peut pas être fait en faisant appel à d' autres axiomes de la théorie des ensembles. La décision doit être prise pour d' autres motifs.

Un argument donné en faveur de l' utilisation de l'axiome de choix est qu'il est commode de l' utiliser , car il permet de prouver des propositions simplificatrices qui , autrement , ne pouvait être prouvée. De nombreux théorèmes qui sont démontrables en utilisant le choix sont d'un caractère élégant général: chaque idéal dans un anneau est contenu dans un idéal maximal , chaque espace vectoriel a une base , et tous les produits d' espaces compacts est compact. Sans l'axiome de choix, ces théorèmes peuvent ne pas tenir des objets mathématiques de grande cardinalité.

La preuve du résultat de l' indépendance montre aussi qu'une grande classe d'énoncés mathématiques, y compris toutes les déclarations qui peuvent être formulées dans la langue de l' arithmétique de Peano , sont démontrables dans ZF si et seulement si elles sont démontrables dans ZFC. Les déclarations contenues dans cette classe comprennent la déclaration que P = NP , l' hypothèse de Riemann , et bien d' autres problèmes mathématiques non résolus. Lorsque l' on tente de résoudre les problèmes dans cette classe, il ne fait aucune différence si ZF ou ZFC est employé si la seule question est l'existence d'une preuve. Cependant, il est possible, qu'il y ait une preuve plus courte d'un théorème de ZFC que de ZF.

L'axiome de choix n'est pas la seule déclaration importante qui est indépendante de ZF. Par exemple, l' hypothèse de continuum généralisée (GCH) est non seulement indépendante de ZF, mais aussi indépendante de ZFC. Cependant, ZF , plus GCH implique AC, font GCH une Reclamation strictement plus forte que AC, même si elles sont à la fois indépendants de ZF.

plus forts axiomes

L' axiome de constructibilité et le continuum généralisé hypothèse chacun implique l'axiome de choix et sont donc strictement plus fort que lui. Dans les théories de classe tels que Von Neumann-Bernays-Gödel la théorie des ensembles et la théorie des ensembles Morse-Kelley , il y a un axiome appelé l' axiome du choix global qui est plus forte que l'axiome de choix pour les ensembles parce qu'il applique aussi aux classes appropriées. L'axiome du choix global découle de l' axiome de limitation de taille .

équivalents

Il y a des déclarations importantes que, en supposant que les axiomes de ZF mais ni AC ni ¬AC, sont équivalents à l'axiome du choix. Les plus importants d' entre eux sont lemme de Zorn et le théorème de bon ordre . En fait, Zermelo introduit d' abord l'axiome de choix afin de formaliser sa preuve du théorème bien la commande.

La théorie des catégories

Il y a plusieurs résultats dans la théorie des catégories qui font appel à l'axiome de choix pour leur preuve. Ces résultats pourraient être plus faible que, équivalent ou plus fort que l'axiome de choix, en fonction de la force des fondements techniques. Par exemple, si l' on définit les catégories en termes d'ensembles, qui est, comme des ensembles d'objets et morphismes (généralement appelé une petite catégorie ), ou même des catégories petites localement, dont les objets hom-sont des ensembles, alors il n'y a pas de catégorie de tous les ensembles , et il est donc difficile pour une formulation de catégorie théorétique à appliquer à tous les jeux. D'autre part, d' autres descriptions fondamentales de la théorie des catégories sont nettement plus forte, et une déclaration de catégorie identique de choix théorétique peut être plus forte que la formulation standard, à la théorie des classes, mentionnée ci - dessus.

Des exemples de déclarations de catégorie qui nécessitent-théorétique choix comprennent:

  • Chaque petite catégorie a un squelette .
  • Si deux petites catégories sont faiblement équivalentes, alors ils sont équivalents .
  • Chaque foncteur continue sur une petite catégorie complète qui satisfait la condition de jeu de solution appropriée a -gauche adjoint (le théorème de foncteur adjoint Freyd).

formes faibles

Il y a plusieurs déclarations plus faibles qui ne sont pas équivalents à l'axiome de choix, mais sont étroitement liés. Un exemple est l' axiome du choix dépendant (DC). Un exemple encore plus faible est l' axiome de choix dénombrable (AC ω ou CC), ce qui indique qu'une fonction de choix existe pour un ensemble dénombrable d'ensembles non vides. Ces axiomes sont suffisantes pour de nombreuses preuves dans les écoles élémentaires d' analyse mathématique , et sont compatibles avec certains principes, tels que la mesurabilité Lebesgue de tous les ensembles de nombres réels, qui sont réfutable de l'axiome plein de choix.

Autre choix axiomes plus faible que l' axiome de choix incluent le théorème idéal premier booléenne et l' axiome de l' uniformisation . Le premier est équivalent à ZF à l'existence d'un ultrafiltre contenant chaque filtre donné, prouvé par Tarski en 1930.

Résultats nécessitant AC (ou les formes les plus faibles), mais plus faible que

L'un des aspects les plus intéressants de l'axiome de choix est le grand nombre de places en mathématiques qu'il montre. Voici quelques déclarations qui nécessitent l'axiome de choix dans le sens où ils ne sont pas démontrables de ZF mais sont démontrables de ZFC (ZF, plus AC). De manière équivalente, ces déclarations sont vraies dans tous les modèles de ZFC mais fausse dans certains modèles de ZF.

Peut-être des conséquences équivalentes de AC

Il y a plusieurs déclarations ensembliste historiquement importants sous - entendus par AC dont l' équivalence AC est ouvert. Le principe de la partition, qui a été formulée avant AC lui - même, a été cité par Zermelo comme justification de croire AC. En 1906 , Russell a déclaré PP être équivalent, mais si la partition principe implique AC est toujours le plus ancien problème ouvert dans la théorie des ensembles, et les équivalences des autres déclarations sont tout aussi difficile de vieux problèmes ouverts. Dans tous connu modèle de ZF où le choix échoue, ces déclarations ne aussi, mais on ne sait pas si elles peuvent tenir sans choix.

  • La théorie des ensembles
    • Partition principe: s'il y a une surjection de A à B, il y a une injection de B à A. De manière équivalente, chaque partition P d'un ensemble S est inférieur ou égal à S en taille.
    • Converse théorème Schröder-Bernstein : si deux ensembles ont surjections à l'autre, ils sont equinumerous.
    • Faible principe de partition: Une partition d'un ensemble S ne peut pas être strictement supérieur à S. Si WPP détient, ce qui implique déjà l'existence d'un ensemble non mesurable. Chacune des trois précédentes déclarations est sous-entendu par la précédente, mais on ignore si l'une de ces conséquences peuvent être inversées.
    • Il n'y a pas infinie décroissante séquence de cardinaux. L'équivalence a été conjecturé par Schoenflies en 1905.
  • algèbre abstraite
    • Hahn théorème enrobage : Chaque groupe abélien ordonné G de commande incorpore sous - groupe du groupe additif ℝ Ω muni d'un ordre alphabétique, où Ω est l'ensemble des classes d'équivalence d' Archimède de Ω. Cette équivalence a été conjecturé par Hahn en 1907.

Formes plus puissantes de la négation de l'AC

Maintenant, considérons formes plus fortes de la négation de l' AC. Par exemple, si nous abrégeons par BP la demande que chaque ensemble de nombres réels a la propriété de Baire , puis BP est plus forte que ¬AC, qui affirme la non - existence d'une fonction de choix sur peut - être qu'un seul ensemble d'ensembles non vides. Notez que renforcés négations peuvent être compatibles avec des formes affaiblies AC. Par exemple, ZF + DC + BP est cohérente, si ZF est.

Il est également compatible avec ZF + DC que chaque ensemble de nombres réels est Lebesgue mesurable ; Cependant, ce résultat de cohérence, en raison de Robert M. Solovay , ne peut pas être prouvé dans ZFC elle - même, mais a besoin d' un doux cardinal grande hypothèse (l'existence d'un cardinal inaccessible ). Le plus fort axiome de déterminabilité , ou AD, implique que chaque ensemble de nombres réels est Lebesgue mesurable, a la propriété de Baire, et a la propriété de jeu parfait (tous les trois de ces résultats sont réfutées par AC lui - même). ZF + DC + AD est compatible à condition qu'un axiome cardinal grande suffisamment fort est cohérente (l'existence d' une infinité de cardinaux Woodin ).

Le système de Quine de la théorie des ensembles axiomatique, « Nouvelles Fondations » (NF), tire son nom du titre ( « de nouvelles bases pour la logique mathématique ») de l'article 1937 qui a introduit. Dans le système NF axiomatique, l'axiome de choix peut être réfutée.

Des déclarations conformes à la négation de l'AC

Il existe des modèles de la théorie des ensembles Zermelo-Fraenkel dans lequel l'axiome de choix est faux. Nous abrégez « Zermelo-Fraenkel théorie plus la négation de l'axiome de choix » par ZF¬C. Pour certains modèles de ZF¬C, il est possible de prouver la négation de certains faits standard. Notez que tout modèle de ZF¬C est aussi un modèle de ZF, donc pour chacun des énoncés suivants, il existe un modèle de ZF dans lequel cette déclaration est vrai. Pour chacun des énoncés suivants, il y a un modèle de ZF¬C où il est vrai:

  • Dans certains modèles, il existe un ensemble qui peut être divisée en plus strictement classes d'équivalence que l'ensemble d' origine comporte des éléments, et une fonction dont le domaine est strictement inférieur à sa gamme. En fait, cela est le cas dans tous connus modèles.
  • Il existe une fonction f des nombres réels pour les nombres réels tels que f ne soit pas continue à un , mais f est séquentiellement en continu à un , à savoir, pour toute séquence { x n } qui converge vers un , lim n f ( x n ) = f (a).
  • Dans certains modèles, il existe un ensemble infini de nombres réels sans un sous-ensemble dénombrable.
  • Dans certains modèles, les nombres réels sont une union dénombrable d'ensembles dénombrables.
  • Dans certains modèles, il y a un champ sans clôture algébrique.
  • Dans tous les modèles de ZF¬C il y a un espace vectoriel sans fondement.
  • Dans certains modèle dans lequel il existe un espace vectoriel à deux bases différentes de cardinalités.
  • Dans certains modèles , il est un logiciel gratuit algèbre booléenne complète sur dénombrable de générateurs.
  • Dans certains modèles , il est un ensemble qui ne peut pas être linéaire ordonné .

Pour preuves, voir Jech (2008) .

Axiome de choix dans la théorie de type

Dans la théorie des types , un autre type de déclaration est appelée l'axiome du choix. Cette forme commence par deux types, et τ, σ et une relation R entre les objets de type σ et des objets de type τ. L'axiome de choix indique que , si pour chaque x de type σ , il existe un y de type τ tel que R ( x , y ), alors il existe une fonction f à partir des objets de type σ aux objets de type τ tel que R ( x , f ( x )) est vérifiée pour tous les x de type σ:

Contrairement à la théorie des ensembles, l'axiome de choix dans la théorie des types est généralement indiqué en tant que schéma d'axiomes , dans laquelle R varie dans toutes les formules , ou sur toutes les formules de la forme logique particulière.

citations

L'axiome de choix est évidemment vrai, le principe bien ordonnant évidemment faux, et qui peut dire au sujet lemme de Zorn ?

Ceci est une blague: bien que les trois sont tous mathématiquement équivalent, de nombreux mathématiciens trouver l'axiome de choix pour être intuitive, le principe bien donné l'ordre de contre-intuitif, et le lemme de Zorn trop complexe pour toute intuition.

L'axiome de choix est nécessaire de sélectionner un ensemble d'un nombre infini de paires de chaussettes, mais pas un nombre infini de paires de chaussures.

L'observation est que l'on peut définir une fonction pour sélectionner à partir d'un nombre infini de paires de chaussures en déclarant par exemple, de choisir une chaussure gauche. Sans l'axiome du choix, on ne peut affirmer qu'une telle fonction existe pour les paires de chaussettes, parce que les chaussettes gauche et à droite sont (probablement) impossibles à distinguer.

Tarski a essayé de publier son théorème [l'équivalence entre AC et « tous ensemble infini A a la même cardinalité que A  ×  A », voir ci - dessus] dans Comptes Rendus , mais Fréchet et Lebesgue a refusé de le présenter. Fréchet a écrit une implication entre deux propositions bien connues [vraies] ne sont pas un nouveau résultat, et Lebesgue a écrit une implication entre deux fausses propositions est sans intérêt.

Mathématicien américain d'origine polonaise Jan Mycielski rapporte cette anecdote dans un article paru en 2006 dans les avis de l'AMS.

L'axiome tire son nom non pas parce que les mathématiciens qu'il préfèrent d'autres axiomes.

Cette citation provient de la célèbre la Journée Avril Fools article dans le récréations ordinateur colonne du Scientific American , Avril 1989.

Remarques

Références

Traduit en: Jean van Heijenoort , 2002. De Frege à Gödel: Un livre Source en logique mathématique, 1879-1931 . Nouvelle édition. Harvard University Press . ISBN  0-674-32449-8
  • 1904. « La preuve que chaque ensemble peut être bien ordonné, » 139-41.
  • 1908. « Les enquêtes sur les fondements de la théorie des ensembles I, » 199-215.

Liens externes