Axiome de constructibilité - Axiom of constructibility

L' axiome de la constructibilité est un axiome possible pour la théorie des ensembles en mathématiques qui affirme que chaque ensemble est constructible . L'axiome s'écrit généralement V = L , où V et L désignent respectivement l' univers de von Neumann et l' univers constructible . L'axiome, étudié pour la première fois par Kurt Gödel , est incompatible avec la proposition selon laquelle le zéro pointu existe et les grands axiomes cardinaux plus forts (voir la liste des grandes propriétés cardinales ). Les généralisations de cet axiome sont explorées dans la théorie des modèles internes .

Implications

L'axiome de constructibilité implique l' axiome de choix (AC), étant donné la théorie des ensembles de Zermelo – Fraenkel sans l'axiome de choix (ZF). Il règle également de nombreuses questions mathématiques naturelles indépendantes de la théorie des ensembles de Zermelo – Fraenkel avec l'axiome du choix (ZFC); par exemple, l'axiome de la constructibilité implique l' hypothèse du continuum généralisé , la négation de l'hypothèse de Suslin et l'existence d'un ensemble analytique (en fait ) non mesurable de nombres réels , tous indépendants de ZFC. ${\ displaystyle \ Delta _ {2} ^ {1}}$

L'axiome de constructibilité implique la non-existence de ces grands cardinaux avec une force de cohérence supérieure ou égale à 0 ^# , qui comprend certains grands cardinaux «relativement petits». Ainsi, aucun cardinal ne peut être ω ₁ - Erdös en L . Alors que L contient les ordinaux initiaux de ces grands cardinaux (quand ils existent dans un top model de L ), et qu'ils sont toujours des ordinaux initiaux dans L , il exclut les structures auxiliaires (par exemple les mesures ) qui dotent ces cardinaux de leurs grandes propriétés cardinales.

Bien que l'axiome de la constructibilité résout de nombreuses questions de théorie des ensembles, il n'est généralement pas accepté comme axiome de la théorie des ensembles de la même manière que les axiomes ZFC. Parmi les théoriciens des ensembles d'un penchant réaliste , qui croient que l'axiome de la constructibilité est vrai ou faux, la plupart croient qu'il est faux. C'est en partie parce que cela semble inutilement "restrictif", car il n'autorise que certains sous-ensembles d'un ensemble donné, sans aucune raison claire de croire que ce sont tous. C'est en partie parce que l'axiome est contredit par de grands axiomes cardinaux suffisamment forts . Ce point de vue est surtout associé à la Cabale , ou «l'école californienne» comme le dirait Saharon Shelah .

Importance

La signification majeure de l'axiome de la constructibilité réside dans la preuve de Kurt Gödel de la cohérence relative de l' axiome du choix et de l' hypothèse du continuum généralisée à la théorie des ensembles de Von Neumann – Bernays – Gödel . (La preuve se reporte à la théorie des ensembles de Zermelo – Fraenkel , qui est devenue plus répandue ces dernières années.)

À savoir, Gödel a prouvé que c'est relativement cohérent (c'est-à-dire que si peut prouver une contradiction, alors le peut ), et que dans${\ displaystyle V = L}$${\ displaystyle ZFC + (V = L)}$${\ displaystyle ZF}$${\ displaystyle ZF}$

${\ displaystyle V = L \ implique AC \ land GCH,}$

établissant ainsi que AC et GCH sont également relativement cohérents.

La preuve de Gödel a été complétée plus tard par le résultat de Paul Cohen selon lequel AC et GCH sont indépendants , c'est-à-dire que les négations de ces axiomes ( et ) sont également relativement cohérentes avec la théorie des ensembles ZF. ${\ displaystyle \ lnot AC}$${\ displaystyle \ lnot GCH}$

Déclarations vraies en L

Voici une liste de propositions qui tiennent dans l' univers constructible (noté L ):

• L' hypothèse du continuum généralisé et par conséquent
  • L' axiome du choix
• Combinaison de diamants
  • Combinaison
• Place globale
• L'existence des morasses
• La négation de l' hypothèse de Suslin
• La non-existence de 0 ^# et en conséquence
  • La non existence de tous les grands cardinaux qui impliquent l'existence d'un cardinal mesurable
• La vérité de la conjecture de Whitehead selon laquelle tout groupe abélien A avec Ext ¹ ( A , Z ) = 0 est un groupe abélien libre .
• L'existence d'un ordre de puits définissable de tous les ensembles (dont la formule peut être donnée explicitement). En particulier, L satisfait V = HOD .

En acceptant l'axiome de la constructibilité (qui affirme que tout ensemble est constructible ), ces propositions sont également valables dans l' univers de von Neumann , résolvant de nombreuses propositions en théorie des ensembles et quelques questions intéressantes en analyse.

Les références

• Devlin, Keith (1984). Constructibilité . Springer-Verlag . ISBN 3-540-13258-9.

Liens externes

• Combien y a-t-il de nombres réels? , Keith Devlin, Association mathématique d'Amérique , juin 2001