Axiome du choix dépendant - Axiom of dependent choice

En mathématiques , l' axiome du choix dépendant , noté , est une forme faible de l' axiome du choix ( ) qui est encore suffisante pour développer la majeure partie de l' analyse réelle . Il a été introduit par Paul Bernays dans un article 1942 qui explore qui ensembliste axiomes sont nécessaires pour développer l' analyse. ${\mathsf {DC}}$ ${\mathsf {AC}}$

Déclaration formelle

Une relation binaire homogène sur est dite entière si pour tout il en existe tel qui soit vrai. ${\style d'affichage R}$ ${\style d'affichage X}$ $a\in X,$ $b\in X$ ${\style d'affichage a\,R~b}$

L'axiome du choix dépendant peut être énoncé comme suit: Pour chaque nonvide ensemble et chaque relation binaire ensemble sur il existe une séquence dans de telle sorte que ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage R}$ ${\style d'affichage X,}$ $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\style d'affichage X}$

{\style d'affichage x_{n}\,R~x_{n+1}}

pour tous

n\in \mathbb {N} .

Si l'ensemble ci-dessus est limité à l'ensemble de tous les nombres réels , alors l'axiome résultant est noté par ${\style d'affichage X}$ ${\mathsf {DC}}_{\mathbb {R} }.$

Utilisation

Même sans un tel axiome, pour tout , on peut utiliser l'induction mathématique ordinaire pour former les premiers termes d'une telle séquence. L'axiome du choix dépendant dit que nous pouvons former une séquence entière (dénombrable infinie) de cette façon. ${\style d'affichage n}$ ${\style d'affichage n}$

L'axiome est le fragment de ce qui est nécessaire pour montrer l'existence d'une séquence construite par récursion transfinie de longueur dénombrable , s'il faut faire un choix à chaque étape et si certains de ces choix ne peuvent être faits indépendamment des choix précédents. ${\mathsf {DC}}$ ${\mathsf {AC}}$

Énoncés équivalents

Sur la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel , est équivalent au théorème des catégories de Baire pour les espaces métriques complets. ${\mathsf {ZF}}$ ${\mathsf {DC}}$

Il est également équivalent au théorème de Löwenheim-Skolem . ${\mathsf {ZF}}$

${\mathsf {DC}}$ est également équivalent à l'affirmation selon laquelle chaque arbre élagué avec des niveaux a une branche ( preuve ci-dessous ). ${\mathsf {ZF}}$ $\omega$

De plus, équivaut à une forme affaiblie du lemme de Zorn ; est spécifiquement équivalent à l'énoncé que tout ordre partiel tel que toute chaîne bien ordonnée est finie et bornée, doit avoir un élément maximal. ${\mathsf {DC}}$ ${\mathsf {DC}}$

Preuve que chaque arbre élagué avec ω niveaux a une branche $\,{\mathsf {DC}}\iff$
$(\,\Longleftarrow \,)$ Soit une relation binaire entière sur . La stratégie consiste à définir un arbre sur des séquences finies dont les éléments voisins satisfont Puis une branche est une séquence infinie dont les éléments voisins satisfont Commencez par définir si pour Puisque est entier, est un arbre élagué avec des niveaux. Ainsi, a une branche So, pour tout ce qui implique Donc, est vrai. ${\style d'affichage R}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage T}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage R.}$ ${\style d'affichage T}$ ${\style d'affichage R.}$ $\langle x_{0},\dots ,x_{n}\rangle \in T$ ${\style d'affichage x_{k}R\,x_{k+1}}$ $0\leq k<n.$ ${\style d'affichage R}$ ${\style d'affichage T}$ $\omega$ ${\style d'affichage T}$ $\langle x_{0},\dots ,x_{n},\dots \rangle .$ $n\geq 0\!:$ $\langle x_{0},\dots ,x_{n},x_{n+1}\rangle \in T,$ ${\style d'affichage x_{n}R\,x_{n+1}.}$ ${\mathsf {DC}}$ ${\styled'affichage (\,\Longrightarrow \,)}$ Soit un arbre élagué avec des niveaux. La stratégie consiste à définir une relation binaire sur de manière à produire une séquence où et est une fonction strictement croissante . Alors la suite infinie est une branche. (Cette preuve n'a besoin de le prouver que pour ) Commencez par définir si est une sous-séquence initiale de et Puisque est un arbre élagué avec des niveaux, est entier. Par conséquent, implique qu'il existe une séquence infinie telle que Maintenant pour certains Soit le dernier élément de Alors Pour toute la séquence appartient parce que c'est une sous-séquence initiale de ou c'est un Par conséquent, est une branche. ${\style d'affichage T}$ ${\style d'affichage X}$ $\omega$ ${\style d'affichage R}$ ${\style d'affichage T}$ ${\mathsf {DC}}$ $t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{f(n)}\rangle$ ${\style d'affichage t_{n}R\,t_{n+1}}$ ${\style d'affichage f(n)}$ $\langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle$ ${\style d'affichage f(n)=m+n.}$ ${\style d'affichage u\,R\,v}$ $u$ $v,\operatorname {length} (u)>0,\,$ $\operatorname {length} (v)=$ $\operatorname {length} (u)+1.$ ${\style d'affichage T}$ $\omega$ ${\style d'affichage R}$ ${\mathsf {DC}}$ ${\style d'affichage t_{n}}$ ${\style d'affichage t_{n}\,R\,t_{n+1}.}$ $t_{0}=\langle x_{0},\dots ,x_{m}\rangle$ $m\geq 0.$ ${\style d'affichage x_{m+n}}$ ${\style d'affichage t_{n}.}$ $t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{m},\dots ,x_{m+n}\rangle .$ $k\geq 0,$ $\langle x_{0},\dots ,x_{k}\rangle$ ${\style d'affichage T}$ ${\style d'affichage t_{0}\,(k\leq m)}$ $t_{n}\,(k\geq m).$ $\langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle$

Relation avec d'autres axiomes

Contrairement à full , est insuffisant pour prouver (étant donné ) qu'il existe un ensemble non mesurable de nombres réels, ou qu'il existe un ensemble de nombres réels sans la propriété de Baire ou sans la propriété de l'ensemble parfait . Cela s'ensuit parce que le modèle de Solovay satisfait , et chaque ensemble de nombres réels dans ce modèle est Lebesgue mesurable, a la propriété de Baire et a la propriété de l'ensemble parfait. ${\mathsf {AC}}$ ${\mathsf {DC}}$ ${\mathsf {ZF}}$ ${\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}$

L'axiome du choix dépendant implique l' axiome du choix comptable et est strictement plus fort.

Remarques

Les références

Jech, Thomas (2003). Théorie des ensembles (éd. du troisième millénaire). Springer-Verlag . ISBN 3-540-44085-2. OCLC 174929965 . Zbl 1007.03002 .

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