Boule (mathématiques) - Ball (mathematics)

Dans l' espace euclidien , une boule est le volume délimité par une sphère

En mathématiques , une boule est l'espace volumique délimité par une sphère ; on l'appelle aussi une sphère solide . Il peut s'agir d'une boule fermée (y compris les points limites qui constituent la sphère) ou d'une boule ouverte (en les excluant).

Ces concepts sont définis non seulement dans l' espace euclidien à trois dimensions mais aussi pour les dimensions inférieures et supérieures, et pour les espaces métriques en général. Une boule ou hyperboule en n dimensions est appelée une n- boule et est délimitée par une ( n − 1 )-sphère . Ainsi, par exemple, une boule dans le plan euclidien est la même chose qu'un disque , l'aire délimitée par un cercle . Dans l' espace euclidien à 3 dimensions , une boule est considérée comme le volume délimité par une sphère à 2 dimensions . Dans un espace à une dimension , une boule est un segment de droite .

Dans d'autres contextes, comme dans la géométrie euclidienne et l'usage informel, sphère est parfois utilisé pour signifier boule .

Dans l'espace euclidien

Dans euclidienne n -space, un (ouvert) n -Ball de rayon r et le centre x est l'ensemble de tous les points de distance inférieure à r à partir de x . Une n- boule fermée de rayon r est l'ensemble de tous les points de distance inférieure ou égale à r de x .

Dans le n- espace euclidien , chaque boule est délimitée par une hypersphère . La boule est un intervalle borné quand n = 1 , est un disque délimité par un cercle quand n = 2 , et est délimité par une sphère quand n = 3 .

Le volume

Le volume n -dimensionnel d'une boule euclidienne de rayon R dans l' espace euclidien n -dimensionnel est :

où  Γ est Leonhard Euler de la fonction gamma (qui peut être considéré comme une extension de la factorielle fonction aux arguments fractionnaires). L'utilisation de formules explicites pour des valeurs particulières de la fonction gamma aux entiers et demi-entiers donne des formules pour le volume d'une boule euclidienne qui ne nécessitent pas d'évaluation de la fonction gamma. Ceux-ci sont:

Dans la formule des volumes de dimension impaire, la factorielle double (2 k + 1) !! est défini pour les entiers impairs 2 k + 1 comme (2 k + 1) !! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ⋅ (2 k − 1) ⋅ (2 k + 1) .

Dans les espaces métriques généraux

Soit ( M , d ) un espace métrique , à savoir un ensemble M avec une métrique (fonction distance) d . La boule ouverte (métrique) de rayon r > 0 centrée en un point p de M , généralement noté B r ( p ) ou B ( p ; r ) , est définie par

La boule fermée (métrique), qui peut être notée B r [ p ] ou B [ p ; r ] , est défini par

Notez en particulier qu'une boule (ouverte ou fermée) inclut toujours p elle-même, puisque la définition requiert r > 0 .

La fermeture de la boule ouverte B r ( p ) est habituellement notée B r ( p ) . S'il est toujours vrai que B r ( p ) B r ( p )B r [ p ] , ce n'est pas toujours le cas que B r ( p ) = B r [ p ] . Par exemple, dans un espace métrique X avec la métrique discrète , on a B 1 ( p ) = {p} et B 1 [ p ] = X , pour tout pX .

Une boule unitaire (ouverte ou fermée) est une boule de rayon 1.

Un sous-ensemble d'un espace métrique est borné s'il est contenu dans une boule. Un ensemble est totalement borné si, étant donné un rayon positif quelconque, il est couvert par un nombre fini de boules de ce rayon.

Les boules ouvertes d'un espace métrique peuvent servir de base , donnant à cet espace une topologie , dont les ensembles ouverts sont tous des unions possibles de boules ouvertes. Cette topologie sur un espace métrique est appelée la topologie induite par la métrique d .

Dans les espaces vectoriels normés

Tout espace vectoriel normé V avec norme est également un espace métrique avec la métrique Dans de tels espaces, une boule arbitraire de points autour d'un point avec une distance inférieure à peut être considérée comme une copie mise à l'échelle (par ) et traduite (par ) d'un boule unitaire Ces boules « centrées » avec sont désignées par

Les boules euclidiennes discutées plus haut sont un exemple de boules dans un espace vectoriel normé.

p -norme

Dans un espace cartésien n avec le p -norme L p , qui est

une boule ouverte autour de l'origine avec un rayon est donnée par l'ensemble

Pour n = 2 , dans un plan à 2 dimensions , les « boules » selon la norme L 1 (souvent appelée taxicab ou métrique de Manhattan ) sont délimitées par des carrés dont les diagonales sont parallèles aux axes de coordonnées ; ceux selon la norme L , également appelée métrique de Chebyshev , ont des carrés avec leurs côtés parallèles aux axes de coordonnées comme limites. La norme L 2 , connue sous le nom de métrique euclidienne, génère les disques bien connus à l'intérieur des cercles, et pour les autres valeurs de p , les boules correspondantes sont des aires délimitées par des courbes de Lamé (hypoellipses ou hyperellipses).

Pour n = 3 , les L 1 - boules sont dans des octaèdres avec des diagonales de corps alignées , les L -balles sont dans des cubes avec des arêtes alignées sur des axes , et les limites des boules pour L p avec p > 2 sont des superellipsoïdes . Évidemment, p = 2 génère l'intérieur des sphères habituelles.

Norme convexe générale

Plus généralement, toute donnée à symétrie centrale , délimitée , ouverte et convexe sous - ensemble X de n , on peut définir une norme sur n où les billes sont toutes les copies traduites et mises à l' échelle de manière uniforme  X . Notez que ce théorème ne tient pas si le sous-ensemble "ouvert" est remplacé par un sous-ensemble "fermé", car le point d'origine se qualifie mais ne définit pas de norme sur  n .

Dans les espaces topologiques

On peut parler de boules dans n'importe quel espace topologique X , pas forcément induit par une métrique. Une boule topologique de dimension n (ouverte ou fermée) de X est tout sous-ensemble de X qui est homéomorphe à une boule n euclidienne (ouverte ou fermée) . Les n- balles topologiques sont importantes en topologie combinatoire , en tant que blocs de construction des complexes cellulaires .

Toute n -boule topologique ouverte est homéomorphe à l'espace cartésien n et à l' unité ouverte n -cube (hypercube) (0, 1) n ⊆ ℝ n . Toute topologique fermé n -Ball est homéomorphe à la fermeture n -cube [0, 1] n .

Une n- boule est homéomorphe à une m- boule si et seulement si n = m . Les homéomorphismes entre une n- boule ouverte B et n peuvent être classés en deux classes, identifiables aux deux orientations topologiques possibles de  B .

Une n- boule topologique n'a pas besoin d'être lisse ; si elle est lisse, elle n'a pas besoin d'être difféomorphe à une n- boule euclidienne .

Régions

Un certain nombre de régions spéciales peuvent être définies pour une balle :

  • calotte , délimitée par un plan
  • secteur , délimité par une frontière conique avec un sommet au centre de la sphère
  • segment , délimité par une paire de plans parallèles
  • coquille , délimitée par deux sphères concentriques de rayons différents
  • coin , délimité par deux plans passant par le centre d'une sphère et la surface de la sphère

Voir également

Les références

  • Smith, DJ ; Vamanamurthy, MK (1989). "Quelle est la taille d'une boule unitaire ?". Revue de Mathématiques . 62 (2) : 101-107. doi : 10.1080/0025570x.1989.11977419 . JSTOR  2690391 .
  • Dowker, JS (1996). "Les conditions de Robin sur la boule euclidienne". Gravité classique et quantique . 13 (4) : 585-610. arXiv : hep-th/9506042 . Bibcode : 1996CQGra..13..585D . doi : 10.1088/0264-9381/13/4/003 .
  • Gruber, Peter M. (1982). « Isométries de l'espace des corps convexes contenus dans une boule euclidienne » . Journal israélien de mathématiques . 42 (4) : 277-283. doi : 10.1007/BF02761407 .