Base (algèbre linéaire) - Basis (linear algebra)
En mathématiques , un ensemble B de vecteurs dans un espace vectoriel V est appelé base si chaque élément de V peut être écrit d'une manière unique comme finie combinaison linéaire d'éléments de B . Les coefficients de cette combinaison linéaire sont appelés composantes ou coordonnées du vecteur par rapport à B . Les éléments d'une base sont appelés vecteurs de base .
De manière équivalente, un ensemble B est une base si ses éléments sont linéairement indépendants et que chaque élément de V est une combinaison linéaire d'éléments de B . En d'autres termes, une base est un ensemble couvrant linéairement indépendant .
Un espace vectoriel peut avoir plusieurs bases ; cependant toutes les bases ont le même nombre d'éléments, appelé la dimension de l'espace vectoriel.
Cet article traite principalement des espaces vectoriels de dimension finie. Cependant, de nombreux principes sont également valables pour les espaces vectoriels de dimension infinie.
Définition
Une base B d'un espace vectoriel V sur un champ F (comme les nombres réels R ou les nombres complexes C ) est un sous - ensemble linéairement indépendant de V qui s'étend sur V . Cela signifie qu'un sous-ensemble B de V est une base s'il satisfait aux deux conditions suivantes :
- la propriété d' indépendance linéaire :
- la propriété spanning :
- pour tout vecteur v dans V , on peut choisir dans F et dans B tel que .
Les scalaires sont appelés les coordonnées du vecteur v par rapport à la base B , et par la première propriété ils sont déterminés de manière unique.
Un espace vectoriel qui a une base finie est appelé de dimension finie . Dans ce cas, le sous-ensemble fini peut être considéré comme B lui-même pour vérifier l'indépendance linéaire dans la définition ci-dessus.
Il est souvent commode voire nécessaire d'avoir un ordre sur les vecteurs de base, par exemple, lorsqu'on discute de l' orientation , ou lorsqu'on considère les coefficients scalaires d'un vecteur par rapport à une base sans se référer explicitement aux éléments de base. Dans ce cas, l'ordonnancement est nécessaire pour associer chaque coefficient à l'élément de base correspondant. Cet ordre peut se faire en numérotant les éléments de base. Pour souligner qu'un ordre a été choisi, on parle d'une base ordonnée , qui n'est donc pas simplement un ensemble non structuré , mais une séquence , une famille indexée , ou similaire ; voir § Bases et coordonnées commandées ci-dessous.
Exemples
- L'ensemble R 2 des paires ordonnées de nombres réels est un espace vectoriel pour les propriétés suivantes :
- addition par composant
- et multiplication scalaire
- où est un nombre réel. Une base simple de cet espace vectoriel, appelée base standard, est constituée des deux vecteurs e 1 = (1,0) et e 2 = (0,1) , puisque tout vecteur v = ( a , b ) de R 2 peut être écrit de manière unique comme
- Tout autre couple de vecteurs linéairement indépendants de R 2 , tels que (1, 1) et (-1, 2) , forme également une base de R 2 .
- addition par composant
- Plus généralement, si F est un corps , l'ensemble des n -uplets d'éléments de F est un espace vectoriel pour l'addition et la multiplication scalaire de même définition. Laisser
- être le n -uplet dont toutes les composantes sont égales à 0, à l'exception du i ème, qui vaut 1. Alors est une base dont on appelle la
- Si F est un corps, l' anneau polynomial F [ X ] des polynômes dans un indéterminé est un F -espace vectoriel, et a une base B , appelée base monôme , constituée de tous les monômes :
- Tout ensemble de polynômes tel qu'il existe exactement un polynôme de chaque degré est également une base. Un tel ensemble de polynômes est appelé une suite polynomiale . Des exemples (parmi beaucoup) de telles séquences polynomiales sont les polynômes de base de Bernstein et les polynômes de Chebyshev .
Propriétés
De nombreuses propriétés des bases finies résultent du lemme d'échange Steinitz , qui stipule que, pour tout espace vectoriel V , étant donné un fini couvrant ensemble S et linéairement indépendant ensemble L de n éléments de V , on peut remplacer les n éléments bien choisis de S par les éléments de L pour obtenir un ensemble couvrant contenant L , ayant ses autres éléments dans S , et ayant le même nombre d'éléments que S .
La plupart des propriétés résultant du lemme d'échange de Steinitz restent vraies lorsqu'il n'y a pas d'ensemble couvrant fini, mais leurs preuves dans le cas infini nécessitent généralement l' axiome de choix ou une forme plus faible de celui-ci, comme le lemme de l' ultrafiltre .
Si V est un espace vectoriel sur un corps F , alors :
- Si L est un sous - ensemble linéairement indépendant d'un ensemble couvrant S ⊆ V , alors il y a une base B telle que
- V a une base (c'est la propriété précédente avec L étant l' ensemble vide et S = V ).
- Toutes les bases de V ont la même cardinalité , qui s'appelle la dimension de V . C'est le théorème des dimensions .
- Un ensemble générateur S est une base de V si et seulement s'il est minimal, c'est-à-dire qu'aucun sous - ensemble propre de S n'est aussi un ensemble générateur de V .
- Un ensemble linéairement indépendant L est une base si et seulement s'il est maximal, c'est-à-dire qu'il n'est pas un sous-ensemble propre d'un ensemble linéairement indépendant.
Si V est un espace vectoriel de dimension n , alors :
- Un sous-ensemble de V avec n éléments est une base si et seulement si elle est linéairement indépendante.
- Un sous-ensemble de V avec n éléments est une base si et seulement s'il couvre l'ensemble de V .
Coordonnées
Soit V un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps F , et
être une base de V . Par définition d'une base, tout v de V peut s'écrire, d'une manière unique, comme
où les coefficients sont des scalaires (c'est-à-dire des éléments de F ), appelés coordonnées de v sur B . Cependant, si l'on parle d' ensemble des coefficients, on perd la correspondance entre coefficients et éléments de base, et plusieurs vecteurs peuvent avoir le même ensemble de coefficients. Par exemple, et ont le même ensemble de coefficients {2, 3} et sont différents. Il est donc souvent commode de travailler avec une base ordonnée ; cela se fait généralement en indexant les éléments de base par les premiers nombres naturels. Ensuite, les coordonnées d'un vecteur forment une séquence indexée de manière similaire, et un vecteur est complètement caractérisé par la séquence de coordonnées. Une base ordonnée est aussi appelée cadre , mot couramment utilisé, dans divers contextes, pour désigner une séquence de données permettant de définir des coordonnées.
Soit, comme d'habitude, l'ensemble des n -uplets d'éléments de F . Cet ensemble est un espace vectoriel F , avec une addition et une multiplication scalaire définies par composant. La carte
est un isomorphisme linéaire de l'espace vectoriel sur V . En d'autres termes, est l' espace de coordonnées de V , et le n -uplet est le vecteur de coordonnées de v .
L' image réciproque par de est le n uplet dont tous les composants sont égaux à 0, à l' exception du i ème qui vaut 1. forment une base ordonnée , qui est appelé sa base standard ou base canonique . La base ordonnée B est l'image par de la base canonique de .
Il résulte de ce qui précède que toute base ordonnée est l'image par un isomorphisme linéaire de la base canonique de , et que tout isomorphisme linéaire de sur V peut être défini comme l'isomorphisme qui met en correspondance la base canonique de sur une base ordonnée donnée de V . En d'autres termes, cela équivaut à définir une base ordonnée de V , ou un isomorphisme linéaire de sur V .
Changement de base
Soit V un espace vectoriel de dimension n sur un corps F . Étant donné deux bases (ordonnées) et de V , il est souvent utile d'exprimer les coordonnées d'un vecteur x par rapport à en termes de coordonnées par rapport à Cela peut être fait par la formule de changement de base , qui est décrite ci-dessous . Les indices "ancien" et "nouveau" ont été choisis parce qu'il est d'usage de se référer respectivement à et à l' ancienne base et à la nouvelle base . Il est utile de décrire les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles, car, en général, on a des expressions faisant intervenir les anciennes coordonnées, et si l'on veut obtenir des expressions équivalentes en fonction des nouvelles coordonnées ; ceci est obtenu en remplaçant les anciennes coordonnées par leurs expressions en fonction des nouvelles coordonnées.
Typiquement, les nouveaux vecteurs de base sont donnés par leurs coordonnées sur l'ancienne base, c'est-à-dire
Si et sont les coordonnées d'un vecteur x sur l'ancienne et la nouvelle base respectivement, la formule de changement de base est
pour i = 1, …, n .
Cette formule peut être écrite de manière concise en notation matricielle . Soit A la matrice des , et
être les vecteurs colonnes des coordonnées de v dans l'ancienne et la nouvelle base respectivement, alors la formule pour changer les coordonnées est
La formule peut être prouvée en considérant la décomposition du vecteur x sur les deux bases : on a
et
La formule de changement de base résulte alors de l'unicité de la décomposition d'un vecteur sur une base, ici ; C'est
pour i = 1, …, n .
Notions associées
Module gratuit
Si on remplace le champ apparaissant dans la définition d'un espace vectoriel par un anneau , on obtient la définition d'un module . Pour les modules, l'indépendance linéaire et les ensembles couvrants sont définis exactement comme pour les espaces vectoriels, bien que « ensemble générateur » soit plus couramment utilisé que celui de « ensemble couvrant ».
Comme pour les espaces vectoriels, une base d'un module est un sous-ensemble linéairement indépendant qui est également un ensemble générateur. Une différence majeure avec la théorie des espaces vectoriels est que tous les modules n'ont pas de base. Un module qui a une base est appelé module libre . Les modules libres jouent un rôle fondamental dans la théorie des modules, car ils peuvent être utilisés pour décrire la structure de modules non libres à travers des résolutions libres .
Un module sur les entiers est exactement la même chose qu'un groupe abélien . Ainsi un module libre sur les entiers est aussi un groupe abélien libre. Les groupes abéliens libres ont des propriétés spécifiques qui ne sont pas partagées par les modules sur les autres anneaux. Plus précisément, chaque sous-groupe d'un groupe abélien libre est un groupe abélien libre, et, si G est un sous-groupe d'un groupe abélien libre de type fini H (c'est-à-dire un groupe abélien qui a une base finie), il existe une base de H et un entier 0 k ≤ n tel qu'il soit une base de G , pour certains entiers non nuls . Pour plus de détails, voir Groupe abélien libre § Sous-groupes .
Une analyse
Dans le contexte des espaces vectoriels de dimension infinie sur les nombres réels ou complexes, le terme La base de Hamel (du nom deGeorg Hamel) oubase algébriquepeut être utilisée pour désigner une base telle que définie dans cet article. Il s'agit de faire une distinction avec les autres notions de "base" qui existent lorsque les espaces vectoriels de dimension infinie sont dotés d'une structure supplémentaire. Les alternatives les plus importantes sontles bases orthogonalessurles espaces de Hilbert, lesbases de Schauderet lesbases de Markushevichsur lesespaces linéaires normés. Dans le cas des nombres réelsRconsidérés comme un espace vectoriel sur le corpsQdes nombres rationnels, les bases de Hamel sont indénombrables, et ont spécifiquement lacardinalitédu continu, qui est lenombre cardinal ,oùest le plus petit cardinal infini, le cardinal des entiers.
Le point commun des autres notions est qu'elles permettent de prendre des combinaisons linéaires infinies des vecteurs de base pour générer l'espace. Ceci, bien sûr, nécessite que des sommes infinies soient définies de manière significative sur ces espaces, comme c'est le cas pour les espaces vectoriels topologiques - une grande classe d'espaces vectoriels comprenant par exemple les espaces de Hilbert , les espaces de Banach ou les espaces de Fréchet .
La préférence d'autres types de bases pour les espaces de dimension infinie est justifiée par le fait que la base de Hamel devient « trop grande » dans les espaces de Banach : Si X est un espace vectoriel normé de dimension infinie qui est complet (ie X est un espace de Banach ), alors toute base de Hamel de X est nécessairement indénombrable . Ceci est une conséquence du théorème des catégories de Baire . L'exhaustivité ainsi que la dimension infinie sont des hypothèses cruciales dans la revendication précédente. En effet, les espaces de dimension finie ont par définition des bases finies et il existe des espaces normés de dimension infinie ( non complets ) qui ont des bases de Hamel dénombrables. Considérons , l'espace des suites de nombres réels qui n'ont qu'un nombre fini d'éléments non nuls, de norme . Sa base standard , constituée des séquences n'ayant qu'un seul élément non nul, qui est égal à 1, est une base de Hamel dénombrable.
Exemple
Dans l'étude des séries de Fourier , on apprend que les fonctions {1} ∪ { sin( nx ), cos( nx ) : n = 1, 2, 3, … } sont une "base orthogonale" du (réel ou complexe) espace vectoriel de toutes les fonctions (réelles ou complexes) sur l'intervalle [0, 2π] qui sont carrément intégrables sur cet intervalle, c'est-à-dire les fonctions f satisfaisant
Les fonctions {1} ∪ { sin( nx ), cos( nx ) : n = 1, 2, 3, … } sont linéairement indépendantes, et toute fonction f carrée intégrable sur [0, 2π] est une combinaison linéaire" d'entre eux, en ce sens que
pour des coefficients appropriés (réels ou complexes) a k , b k . Mais de nombreuses fonctions carrées intégrables ne peuvent pas être représentées comme des combinaisons linéaires finies de ces fonctions de base, qui ne comportent donc pas de base de Hamel. Chaque base de Hamel de cet espace est bien plus grande que cet ensemble de fonctions simplement dénombrable et infini. Les bases de Hamel d'espaces de ce type ne sont généralement pas utiles, alors que les bases orthonormées de ces espaces sont essentielles dans l'analyse de Fourier .
Géométrie
Les notions géométriques d'un espace affine , l' espace projectif , convexe et conique ont des notions connexes de base . Une base affine pour un espace affine à n dimensions est constituée de points en position linéaire générale . UNEla base projective est constituée depoints en position générale, dans un espace projectif de dimensionn. UNELa base convexe d'unpolytopeest l'ensemble des sommets de sonenveloppe convexe. UNEla base du cône se compose d'un point par bord d'un cône polygonal. Voir aussi unebase de Hilbert (programmation linéaire).
Base aléatoire
Pour une distribution de probabilité dans R n avec une fonction de densité de probabilité , telle que l'équidistribution dans une boule à n dimensions par rapport à la mesure de Lebesgue , on peut montrer que n vecteurs choisis au hasard et indépendamment formeront une base avec probabilité un , qui est du fait que n vecteurs linéairement dépendants x 1 , …, x n dans R n devraient satisfaire l'équation det[ x 1 ⋯ x n ] = 0 (déterminant zéro de la matrice avec les colonnes x i ), et l'ensemble des zéros d'un polynôme non trivial a une mesure nulle. Cette observation a conduit à des techniques d'approximation de bases aléatoires.
Il est difficile de vérifier numériquement la dépendance linéaire ou l'orthogonalité exacte. Par conséquent, la notion de -orthogonalité est utilisée. Pour les espaces avec le produit interne , x est - ε-orthogonale par rapport à y si (qui est, cosinus de l'angle entre x et y est inférieur à ε ).
Dans les dimensions élevées, deux vecteurs aléatoires indépendants sont avec une probabilité élevée presque orthogonaux, et le nombre de vecteurs aléatoires indépendants, qui sont tous avec une probabilité élevée donnée presque orthogonale par paires, croît de façon exponentielle avec la dimension. Plus précisément, considérons l'équidistribution dans une boule à n dimensions. Choisissez N vecteurs aléatoires indépendants à partir d'une boule (ils sont indépendants et identiquement distribués ). Soit θ un petit nombre positif. Puis pour
-
(Équation 1)
N vecteurs aléatoires sont tous deux à deux ε-orthogonaux avec probabilité 1 − θ . Ce N croît de façon exponentielle avec la dimension n et pour n suffisamment grand . Cette propriété des bases aléatoires est une manifestation du phénomène dit de concentration de mesure .
La figure (à droite) illustre la distribution des longueurs N de chaînes presque orthogonales par paires de vecteurs qui sont indépendamment échantillonnés au hasard à partir du cube n -dimensionnel [-1, 1] n en fonction de la dimension, n . Un point est d'abord sélectionné au hasard dans le cube. Le deuxième point est choisi au hasard dans le même cube. Si l'angle entre les vecteurs était compris entre π/2 ± 0,037π/2, alors le vecteur était retenu. À l'étape suivante, un nouveau vecteur est généré dans le même hypercube et ses angles avec les vecteurs générés précédemment sont évalués. Si ces angles sont compris entre π/2 ± 0,037π/2, le vecteur est conservé. Le processus est répété jusqu'à ce que la chaîne de presque orthogonalité se brise, et le nombre de ces vecteurs presque orthogonaux par paires (longueur de la chaîne) est enregistré. Pour chaque n , 20 chaînes presque orthogonales par paires ont été construites numériquement pour chaque dimension. La distribution de la longueur de ces chaînes est présentée.
Preuve que tout espace vectoriel a une base
Soit V n'importe quel espace vectoriel sur un champ F . Soit X l'ensemble de tous les sous-ensembles linéairement indépendants de V .
L'ensemble X est non vide puisque l'ensemble vide est un sous-ensemble indépendant de V , et il est partiellement ordonné par inclusion, qui est noté, comme d'habitude, par ⊆ .
Soit Y un sous-ensemble de X totalement ordonné par ⊆ , et soit L Y l'union de tous les éléments de Y (qui sont eux-mêmes certains sous-ensembles de V ).
Puisque ( Y , ) est totalement ordonné, chaque sous-ensemble fini de L Y est un sous-ensemble d'un élément de Y , qui est un sous-ensemble linéairement indépendant de V , et donc L Y est linéairement indépendant. Ainsi L Y est un élément de X . Par conséquent, L Y est une borne supérieure de Y dans ( X , ⊆ ) : c'est un élément de X , qui contient chaque élément de Y .
Comme X n'est pas vide et que tout sous-ensemble totalement ordonné de ( X , ) a une borne supérieure dans X , le lemme de Zorn affirme que X a un élément maximal. En d'autres termes, il existe un élément L max de X satisfaisant la condition que chaque fois que L max L pour un élément L de X , alors L = L max .
Il reste à prouver que L max est une base de V . Puisque L max appartient à X , nous savons déjà que L max est un sous-ensemble linéairement indépendant de V .
S'il y avait un vecteur w de V qui n'est pas dans l'étendue de L max , alors w ne serait pas non plus un élément de L max . Soit L w = L max { w }. Cet ensemble est un élément de X , c'est-à-dire qu'il s'agit d'un sous-ensemble linéairement indépendant de V (car w n'est pas dans l'étendue de L max , et L max est indépendant). Comme L max L w , et L max ≠ L w (car L w contient le vecteur w qui n'est pas contenu dans L max ), cela contredit la maximalité de L max . Cela montre donc que L max s'étend sur V .
Par conséquent, L max est linéairement indépendant et s'étend sur V . C'est donc une base de V , ce qui prouve que tout espace vectoriel a une base.
Cette preuve repose sur le lemme de Zorn, qui est équivalent à l' axiome du choix . Inversement, il a été prouvé que si tout espace vectoriel a une base, alors l'axiome du choix est vrai. Les deux assertions sont donc équivalentes.
Voir également
- Base d'un matroïde
- Changement de base – Changement de coordonnées pour un espace vectoriel
- Cadre d'un espace vectoriel
- Base sphérique – Base utilisée pour exprimer les tenseurs sphériques
Remarques
Les références
Références générales
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- Lang, Serge (1987), Algèbre linéaire , Berlin, New York : Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96412-6
Références historiques
- Banach, Stefan (1922), "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to Integral equations)" (PDF) , Fundamenta Mathematicae (en français), 3 : 133– 181, doi : 10.4064/fm-3-1-133-181 , ISSN 0016-2736
- Bolzano, Bernard (1804), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considérations de certains aspects de la géométrie élémentaire) (en allemand)
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- Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur , Chez Firmin Didot, père et fils
- Grassmann, Hermann (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (en allemand), réimpression : Hermann Grassmann. Traduit par Lloyd C. Kannenberg. (2000), Théorie de l'extension , Kannenberg, LC, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2031-5
- Hamel, Georg (1905), "Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y)" , Mathematische Annalen (en allemand), Leipzig, 60 : 459-462
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- Möbius, August Ferdinand (1827), Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Calcul barycentrique : une nouvelle utilité pour un traitement analytique de la géométrie) (en allemand), archivé de l'original le 2009-04-12
- Moore, Gregory H. (1995), "L'axiomatisation de l'algèbre linéaire : 1875–1940", Historia Mathematica , 22 (3) : 262–303, doi : 10.1006/hmat.1995.1025
- Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (en italien), Turin
Liens externes
- Vidéos pédagogiques de la Khan Academy
- "Combinaisons linéaires, étendue et vecteurs de base" . Essence de l'algèbre linéaire . 6 août 2016 – via YouTube .
- "Basis" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]