Fonction Bessel - Bessel function
Les fonctions de Bessel , d'abord définies par le mathématicien Daniel Bernoulli puis généralisées par Friedrich Bessel , sont des solutions canoniques y ( x ) de l' équation différentielle de Bessel
pour un quelconque nombre complexe α , l' ordre de la fonction de Bessel. Bien que α et - alpha produisent la même équation différentielle, il est classique de définir des fonctions de Bessel de ces deux valeurs de telle sorte que les fonctions de Bessel sont lisses pour la plupart des fonctions de α .
Les cas les plus importants sont lorsque α est un entier ou un demi-entier . Les fonctions de Bessel pour l'entier α sont également appelées fonctions cylindriques ou harmoniques cylindriques car elles apparaissent dans la solution de l'équation de Laplace en coordonnées cylindriques . Les fonctions de Bessel sphériques de demi-entier α sont obtenues lorsque l' équation de Helmholtz est résolue en coordonnées sphériques .
Applications des fonctions de Bessel
L'équation de Bessel apparaît lors de la recherche de solutions séparables à l'équation de Laplace et à l' équation de Helmholtz en coordonnées cylindriques ou sphériques . Les fonctions de Bessel sont donc particulièrement importantes pour de nombreux problèmes de propagation des ondes et de potentiels statiques. En résolvant des problèmes dans des systèmes de coordonnées cylindriques, on obtient des fonctions de Bessel d'ordre entier ( α = n ) ; dans les problèmes sphériques, on obtient des ordres demi-entiers ( α = n + 1/2). Par exemple:
- Ondes électromagnétiques dans un guide d'ondes cylindrique
- Amplitudes de pression des écoulements rotationnels non visqueux
- Conduction thermique dans un objet cylindrique
- Modes de vibration d'une fine membrane acoustique circulaire (ou annulaire) (telle qu'un tambour ou autre membranophone )
- Problèmes de diffusion sur un treillis
- Solutions de l' équation radiale de Schrödinger (en coordonnées sphériques et cylindriques) pour une particule libre
- Résolution des modèles de rayonnement acoustique
- Frottement dépendant de la fréquence dans les canalisations circulaires
- Dynamique des corps flottants
- Résolution angulaire
- Diffraction d'objets hélicoïdaux, y compris l' ADN
- Fonction de densité de probabilité du produit de deux variables aléatoires normalement distribuées
Les fonctions de Bessel apparaissent également dans d'autres problèmes, tels que le traitement du signal (par exemple, voir la synthèse FM , la fenêtre de Kaiser ou le filtre de Bessel ).
Définitions
Comme il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre, il doit y avoir deux solutions linéairement indépendantes . Selon les circonstances, cependant, diverses formulations de ces solutions sont appropriées. Différentes variantes sont résumées dans le tableau ci-dessous et décrites dans les sections suivantes.
Taper Premier type Deuxième type Fonctions de Bessel J α Y α Fonctions de Bessel modifiées Je α K α Fonctions de Hankel H(1)
α= J α + iY αH(2)
α= J α - iy αFonctions de Bessel sphériques j n y n Fonctions de Hankel sphériques h(1)
m= j n + iy nh(2)
m= j n − iy n
Les fonctions de Bessel du deuxième type et les fonctions de Bessel sphériques du deuxième type sont parfois désignées par N n et n n , respectivement, plutôt que Y n et y n .
Fonctions de Bessel du premier type : J α
Bessel fonctions du premier type, noté J de ( la x ) , sont des solutions de l' équation différentielle de Bessel. Pour α entier ou positif , les fonctions de Bessel de première espèce sont finies à l'origine ( x = 0 ) ; tandis que pour α non entier négatif , les fonctions de Bessel du premier type divergent lorsque x tend vers zéro. Il est possible de définir la fonction par son développement en série autour de x = 0 , que l'on peut trouver en appliquant la méthode de Frobenius à l'équation de Bessel :
où ( z ) est la fonction gamma , une généralisation décalée de la fonction factorielle à des valeurs non entières. La fonction de Bessel du premier type est une fonction entière si α est un nombre entier, sinon il est une fonction à valeurs multiples avec singularité à zéro. Les graphiques des fonctions de Bessel ressemblent à peu près à des fonctions oscillantes sinus ou cosinus qui décroissent proportionnellement à (voir aussi leurs formes asymptotiques ci-dessous), bien que leurs racines ne soient généralement pas périodiques, sauf asymptotiquement pour un grand x . (La série indique que − J 1 ( x ) est la dérivée de J 0 ( x ) , tout comme −sin x est la dérivée de cos x ; plus généralement, la dérivée de J n ( x ) peut être exprimée en termes de J n ± 1 ( x ) par les identités ci - dessous .)
Pour α non entier , les fonctions J α ( x ) et J − α ( x ) sont linéairement indépendantes, et sont donc les deux solutions de l'équation différentielle. Par contre, pour les entiers d'ordre n , la relation suivante est valide (la fonction gamma a des pôles simples à chacun des entiers non positifs) :
Cela signifie que les deux solutions ne sont plus linéairement indépendantes. Dans ce cas, la deuxième solution linéairement indépendante s'avère alors être la fonction de Bessel du deuxième type, comme expliqué ci-dessous.
Intégrales de Bessel
Une autre définition de la fonction de Bessel, pour des valeurs entières de n , est possible en utilisant une représentation intégrale :
C'est l'approche que Bessel a utilisée, et de cette définition il a dérivé plusieurs propriétés de la fonction. La définition peut être étendue aux ordres non entiers par une des intégrales de Schläfli, pour Re( x ) > 0 :
Relation avec les séries hypergéométriques
Les fonctions de Bessel peuvent être exprimées en termes de séries hypergéométriques généralisées comme
Cette expression est liée au développement des fonctions de Bessel en termes de fonction de Bessel-Clifford .
Relation avec les polynômes de Laguerre
En fonction des polynômes de Laguerre L k et du paramètre arbitrairement choisi t , la fonction de Bessel peut être exprimée comme
Fonctions de Bessel du deuxième type : Y α
Les fonctions de Bessel du second type, notées Y α ( x ) , parfois notées à la place N α ( x ) , sont des solutions de l'équation différentielle de Bessel qui ont une singularité à l'origine ( x = 0 ) et sont multivaluées . Celles-ci sont parfois appelées fonctions de Weber , car elles ont été introduites par HM Weber ( 1873 ), et aussi fonctions de Neumann après Carl Neumann .
Pour les non-entier α , Y de ( la x ) est liée à J de ( la x ) par
Dans le cas d'un entier d'ordre n , la fonction est définie en prenant la limite comme un non entier α tend vers n :
Si n est un entier non négatif, on a la série
où est la fonction digamma , la dérivée logarithmique de la fonction gamma .
Il existe également une formule intégrale correspondante (pour Re( x ) > 0 ):
Y α ( x ) est nécessaire comme deuxième solution linéairement indépendante de l'équation de Bessel lorsque α est un entier. Mais Y α ( x ) a plus de sens que cela. Il peut être considéré comme un partenaire « naturel » de J de ( le x ) . Voir aussi la sous-section sur les fonctions de Hankel ci-dessous.
Lorsque α est un entier, de plus, comme c'était également le cas pour les fonctions du premier genre, la relation suivante est valide :
Les deux J de ( la x ) et Y de ( la x ) sont des fonctions holomorphes de x sur le plan complexe coupe le long de l'axe réel négatif. Quand α est un nombre entier, les fonctions de Bessel J sont des fonctions entières de x . Si x est maintenu fixe à une valeur non nulle, alors les fonctions de Bessel sont des fonctions entières de α .
Les fonctions de Bessel du deuxième type lorsque α est un entier est un exemple du deuxième type de solution dans le théorème de Fuchs .
Fonctions de Hankel : H(1)
α, H(2)
α
Une autre formulation importante des deux solutions linéairement indépendantes de l'équation de Bessel sont les fonctions de Hankel du premier et du deuxième type , H(1)
α( x ) et H(2)
α( x ) , défini comme
où i est l' unité imaginaire . Ces combinaisons linéaires sont également appelées fonctions de Bessel du troisième type ; ce sont deux solutions linéairement indépendantes de l'équation différentielle de Bessel. Ils portent le nom d' Hermann Hankel .
Ces formes de combinaison linéaire satisfont à de nombreuses propriétés d'apparence simple, comme les formules asymptotiques ou les représentations intégrales. Ici, "simple" signifie une apparition d'un facteur de la forme e i f (x) . Pour réel où , sont à valeur réelle, les fonctions de Bessel du premier et du deuxième type sont respectivement les parties réelle et imaginaire de la première fonction de Hankel et les parties imaginaire réelle et négative de la deuxième fonction de Hankel. Ainsi, les formules ci-dessus sont des analogues de la formule d' Euler , en substituant H(1)
α( x ) , H(2)
α( x ) pour et , pour , , comme explicitement montré dans le développement asymptotique .
Les fonctions de Hankel sont utilisées pour exprimer les solutions d'ondes cylindriques se propageant vers l'extérieur et vers l'intérieur de l'équation d'onde cylindrique, respectivement (ou vice versa, selon la convention de signe pour la fréquence ).
En utilisant les relations précédentes, ils peuvent être exprimés comme
Si α est un nombre entier, la limite doit être calculée. Les relations suivantes sont valables, si α est un nombre entier ou non:
En particulier, si α = m +1/2avec m un entier non négatif, les relations ci-dessus impliquent directement que
Ceux-ci sont utiles pour développer les fonctions de Bessel sphériques (voir ci-dessous).
Les fonctions de Hankel admettent les représentations intégrales suivantes pour Re( x ) > 0 :
où les limites d'intégration indiquent une intégration selon un contour qui peut être choisi comme suit : de −∞ à 0 selon l'axe réel négatif, de 0 à ± πi selon l'axe imaginaire, et de ± πi à +∞ ± πi selon un contour parallèle à l'axe réel.
Fonctions de Bessel modifiées : I α , K α
Les fonctions de Bessel sont valables même pour des arguments complexes x , et un cas particulier important est celui d'un argument purement imaginaire. Dans ce cas, les solutions de l'équation de Bessel sont appelées les fonctions de Bessel modifiées (ou parfois les fonctions de Bessel hyperboliques ) du premier et du deuxième type et sont définies comme
lorsque α est pas un nombre entier; lorsque α est un nombre entier, la limite est utilisée. Ceux-ci sont choisis pour avoir une valeur réelle pour les arguments réels et positifs x . Le développement en série pour I α ( x ) est donc analogue à celle de J de ( la x ) , mais sans l'alternance (-1) m facteur.
peut être exprimé en termes de fonctions de Hankel :
Nous pouvons exprimer les première et deuxième fonctions de Bessel en termes de fonctions de Bessel modifiées (celles-ci sont valides si − π < arg z ≤??/2):
I α ( x ) et K α ( x ) sont les deux solutions linéairement indépendantes de l' équation de Bessel modifiée :
A la différence des fonctions de Bessel ordinaires, qui oscillent en fonction de l'argument réel, I a et K α sont en croissance exponentielle et en décomposition respectivement des fonctions. Comme la fonction de Bessel ordinaire J α , la fonction I α tend vers zéro à x = 0 pour α > 0 et est finie à x = 0 pour α = 0 . De manière analogue, K de les diverge en x = 0 avec la singularité étant de type logarithmique pour K 0 , et ½Γ (| alpha |) (2 / x ) | a | autrement.
Deux formules intégrales pour les fonctions de Bessel modifiées sont (pour Re( x ) > 0 ):
Les fonctions de Bessel peuvent être décrites comme des transformées de Fourier de puissances de fonctions quadratiques. Par exemple:
Il peut être prouvé en montrant l'égalité à la définition intégrale ci-dessus pour K 0 . Cela se fait en intégrant une courbe fermée dans le premier quadrant du plan complexe.
Les fonctions de Bessel modifiées K 1/3 et K 2/3 peuvent être représentées en termes d'intégrales rapidement convergentes
La fonction de Bessel modifiée du deuxième type a également été appelée par les noms suivants (maintenant rares):
- Fonction basset d' après Alfred Barnard Basset
- Fonction de Bessel modifiée du troisième type
- Fonction Hankel modifiée
- Fonction Macdonald après Hector Munro Macdonald
Fonctions de Bessel sphériques : j n , y n
Lors de la résolution de l' équation de Helmholtz en coordonnées sphériques par séparation de variables, l'équation radiale a la forme
Les deux solutions linéairement indépendantes de cette équation sont appelées fonctions de Bessel sphériques j n et y n , et sont liées aux fonctions de Bessel ordinaires J n et Y n par
y n est également noté n n ou η n ; certains auteurs appellent ces fonctions les fonctions de Neumann sphériques .
Les fonctions de Bessel sphériques peuvent également être écrites sous la forme ( formules de Rayleigh )
La fonction de Bessel sphérique zéro j 0 ( x ) est également connue sous le nom de fonction sinc (non normalisée) . Les premières fonctions de Bessel sphériques sont :
et
Fonction génératrice
Les fonctions de Bessel sphériques ont les fonctions génératrices
Relations différentielles
Dans ce qui suit, f n est l'un des j n , y n , h(1)
m, h(2)
mpour n = 0, ±1, ±2, ...
Fonctions de Hankel sphériques : h(1)
m, h(2)
m
Il existe également des analogues sphériques des fonctions de Hankel :
En fait, il existe des expressions fermées simples pour les fonctions de Bessel d'ordre demi-entier par rapport aux fonctions trigonométriques standard , et donc pour les fonctions de Bessel sphériques. En particulier, pour les entiers non négatifs n :
et h(2)
mest le complexe-conjugué de ceci (pour le réel x ). Il s'ensuit, par exemple, que j 0 ( x ) =péché x/Xet y 0 ( x ) = −cos x/X, etc.
Les fonctions de Hankel sphériques apparaissent dans des problèmes impliquant la propagation d' ondes sphériques , par exemple dans l'expansion multipolaire du champ électromagnétique .
Riccati-Bessel fonctions: S n , C n , ξ n , ζ n
Les fonctions Riccati –Bessel ne diffèrent que légèrement des fonctions de Bessel sphériques :
Ils satisfont à l'équation différentielle
Par exemple, ce genre d'équation différentielle apparaît en mécanique quantique lors de la résolution de la composante radiale de l' équation de Schrödinger avec une hypothétique barrière de potentiel cylindrique infinie. Cette équation différentielle et les solutions de Riccati-Bessel se posent également dans le problème de la diffusion des ondes électromagnétiques par une sphère, connue sous le nom de diffusion de Mie d' après la première solution publiée par Mie (1908). Voir par exemple Du (2004) pour les développements récents et les références.
À la suite de Debye (1909), la notation ψ n , χ n est parfois utilisée à la place de S n , C n .
Formes asymptotiques
Les fonctions de Bessel ont les formes asymptotiques suivantes . Pour les petits arguments 0 < z ≪ √ α + 1 , on obtient, lorsque α n'est pas un entier négatif :
Quand α est un entier négatif, nous avons
Pour la fonction de Bessel du deuxième type, nous avons trois cas :
où γ est la constante d' Euler-Mascheroni (0,5772 ...).
Pour les grands arguments réels z | α 2 -1/4| , on ne peut pas écrire une vraie forme asymptotique pour les fonctions de Bessel du premier et du deuxième type (à moins que α ne soit un demi-entier ) car elles ont des zéros jusqu'à l'infini, ce qui devrait correspondre exactement à tout développement asymptotique. Cependant, pour une valeur donnée de arg z on peut écrire une équation contenant un terme d'ordre | z | -1 :
(Pour α =1/2les derniers termes de ces formules disparaissent complètement ; voir les fonctions de Bessel sphériques ci-dessus.) Même si ces équations sont vraies, de meilleures approximations peuvent être disponibles pour le complexe z . Par exemple, J 0 ( z ) lorsque z est proche de la ligne réelle négative est mieux approximé par
que par
Les formes asymptotiques des fonctions de Hankel sont :
Ceux-ci peuvent être étendus à d'autres valeurs de arg z en utilisant des équations concernant H(1)
α( ze im π ) et H(2)
α( Ze im π ) à H(1)
α( z ) et H(2)
α( z ) .
Il est intéressant de noter que bien que la fonction de Bessel de première espèce est la moyenne des deux fonctions de Hankel, J de ( z ) est non asymptotique de la moyenne de ces deux formes asymptotiques lorsque z est négatif (car l' un ou l'autre ne seront pas corriger là, en fonction de l' arg z utilisé). Mais les formes asymptotiques pour les fonctions de Hankel nous permettent d'écrire des formes asymptotiques pour les fonctions de Bessel de première et deuxième sortes pour z complexe (non réel) tant que | z | va à l'infini à un angle de phase constant arg z (en utilisant la racine carrée ayant une partie réelle positive):
Pour les fonctions de Bessel modifiées, Hankel a également développé des développements asymptotiques (à grand argument) :
Il y a aussi la forme asymptotique (pour les grands réels )
Lorsque α =1/2, tous les termes sauf le premier disparaissent, et on a
Pour les petits arguments 0 < | z | ≪ √ α + 1 , on a
Approximations de domaine complet avec des fonctions élémentaires
Une très bonne approximation (erreur en dessous de la valeur maximale 1) de la fonction de Bessel pour une valeur arbitraire de l'argument x peut être obtenue avec les fonctions élémentaires en joignant l'approximation trigonométrique fonctionnant pour des valeurs plus petites de x avec l'expression contenant la fonction cosinus atténuée valable pour les grands arguments avec une utilisation de la fonction de transition douce, c'est-à-dire
Propriétés
Pour un ordre entier α = n , J n est souvent défini via une série de Laurent pour une fonction génératrice :
une approche utilisée par PA Hansen en 1843. (Ceci peut être généralisé à un ordre non entier par intégration de contour ou d'autres méthodes.) Une autre relation importante pour les ordres entiers est le développement de Jacobi-Anger :
et
qui est utilisé pour développer une onde plane comme une somme d'ondes cylindriques , ou pour trouver la série de Fourier d'un signal FM modulé en tonalité .
Plus généralement, une série
est appelé développement de Neumann de f . Les coefficients pour ν = 0 ont la forme explicite
où O k est le polynôme de Neumann .
Les fonctions sélectionnées admettent la représentation spéciale
avec
en raison de la relation d'orthogonalité
Plus généralement, si f a un point de branchement près de l'origine d'une nature telle que
alors
ou
où est la transformée de Laplace de f .
Une autre façon de définir les fonctions de Bessel est la formule de représentation de Poisson et la formule de Mehler-Sonine :
où > −1/2et z ∈ C . Cette formule est particulièrement utile lorsque vous travaillez avec des transformées de Fourier .
Étant donné que l'équation de Bessel devient hermitienne (auto-adjointe) si elle est divisée par x , les solutions doivent satisfaire une relation d'orthogonalité pour les conditions aux limites appropriées. En particulier, il s'ensuit que :
où α > -1 , δ m , n est le delta de Kronecker , et u a , m est la m ième zéro de J de ( de x ) . Cette relation d'orthogonalité peut ensuite être utilisé pour extraire les coefficients de la série de Fourier-Bessel , où une fonction est détendu dans la base des fonctions J α ( x u α , m ) pour fixe α et variable m .
Une relation analogue pour les fonctions de Bessel sphériques suit immédiatement :
Si l' on définit une fonction Boxcar de x qui dépend d'un petit paramètre ε comme:
(où rect est la fonction rectangle ) puis sa transformée de Hankel (d'un ordre donné α > −1/2), g ε ( k ) , tend vers J α ( k ) lorsque ε tend vers zéro, pour tout k donné . Inversement, la transformée de Hankel (du même ordre) de g ε ( k ) est f ε ( x ) :
qui est proche de zéro , sauf partout 1. Comme ε tend vers zéro, la partie droite se rapproche de δ ( x - 1) , où δ est la fonction delta de Dirac . Ceci admet la limite (au sens distributionnel ) :
Un changement de variables donne alors l' équation de clôture :
pour α > -1/2. La transformée de Hankel peut exprimer une fonction assez arbitraire en tant qu'intégrale de fonctions de Bessel à différentes échelles. Pour les fonctions de Bessel sphériques, la relation d'orthogonalité est :
pour α > -1 .
Une autre propriété importante des équations de Bessel, qui découle de l'identité d' Abel , implique le Wronskien des solutions :
où A α et B α sont deux solutions quelconques de l'équation de Bessel, et C α est une constante indépendante de x (qui dépend de α et des fonctions de Bessel particulières considérées). En particulier,
et
pour α > -1 .
Pour α > −1 , la fonction entière paire du genre 1, x − α J α ( x ) , n'a que des zéros réels. Laisser
être tous ses zéros positifs, alors
(Il existe un grand nombre d'autres intégrales et identités connues qui ne sont pas reproduites ici, mais qui peuvent être trouvées dans les références.)
Relations de récurrence
Les fonctions J α , Y α , H(1)
α, et H(2)
αsatisfont tous aux relations de récurrence
et
où Z désigne J , Y , H (1) ou H (2) . Ces deux identités sont souvent combinées, par exemple ajoutées ou soustraites, pour produire diverses autres relations. De cette façon, par exemple, on peut calculer des fonctions de Bessel d'ordres supérieurs (ou dérivées supérieures) étant donné les valeurs aux ordres inférieurs (ou dérivées inférieures). En particulier, il s'ensuit que
Les fonctions de Bessel modifiées suivent des relations similaires :
et
et
La relation de récurrence s'écrit
où C α désigne I α ou e αi π K α . Ces relations de récurrence sont utiles pour les problèmes de diffusion discrète.
Théorème de multiplication
Les fonctions de Bessel obéissent à un théorème de multiplication
où λ et ν peuvent être pris sous forme de nombres complexes arbitraires. Pour | λ 2 - 1 | < 1 , l'expression ci-dessus est également valable si J est remplacé par Y . Les identités analogues pour les fonctions de Bessel modifiées et | λ 2 - 1 | < 1 sont
et
Zéros de la fonction de Bessel
L'hypothèse de Bourget
Bessel lui-même a prouvé à l'origine que pour les entiers non négatifs n , l'équation J n ( x ) = 0 a un nombre infini de solutions dans x . Cependant, lorsque les fonctions J n ( x ) sont tracées sur le même graphique, aucun des zéros ne semble coïncider pour différentes valeurs de n, à l' exception du zéro à x = 0 . Ce phénomène est connu sous le nom d'hypothèse de Bourget d' après le mathématicien français du XIXe siècle qui étudia les fonctions de Bessel. Plus précisément, il indique que pour tout nombre entier n 0 et m 1 , les fonctions J n ( x ) et J n + m ( x ) n'ont pas de zéros communs autres que celui à x = 0 . L'hypothèse a été prouvée par Carl Ludwig Siegel en 1929.
Approches numériques
Pour des études numériques sur les zéros de la fonction de Bessel, voir Gil, Segura & Temme (2007) , Kravanja et al. (1998) et Moler (2004) .
Voir également
- Fonction colère
- Fonction Bessel-Clifford
- Fonction Bessel-Maitland
- Polynômes de Bessel
- Série Fourier-Bessel
- Série de Schlömilch
- Fonction Hahn–Exton q -Bessel
- Transformée de Hankel
- Fonctions de Bessel incomplètes
- Jackson q - Fonction Bessel
- Fonctions Kelvin
- Transformée de Kontorovitch-Lebedev
- Règle de somme de Lerche-Newberger
- Fonction Lommel
- polynôme de Lommel
- polynôme de Neumann
- Formule Sonine
- Fonction Struve
- Vibrations d'un tambour circulaire
- Fonction Weber
Remarques
Les références
- Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , éd. (1983) [juin 1964]. "Chapitre 9" . Manuel des fonctions mathématiques avec formules, graphiques et tableaux mathématiques . Série de Mathématiques Appliquées. 55 (Neuvième réimpression avec des corrections supplémentaires de la dixième impression originale avec des corrections (décembre 1972); première éd.). Washington DC; New York : Département du commerce des États-Unis, Bureau national des normes ; Publications de Douvres. p. 355, 435. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 . Voir aussi le chapitre 10 .
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Liens externes
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- Karmazina, LN; Prudnikov, AP (2001) [1994], "Cylinder function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press.
- Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Equation de Bessel" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press.
- Pages de fonction Wolfram sur les fonctions Bessel J et Y , et les fonctions Bessel I et K modifiées . Les pages contiennent des formules, des évaluateurs de fonctions et des calculatrices de traçage.
- Wolfram Mathworld – Fonctions de Bessel du premier type .
- Bessel fonctions J ν , Y ν , I v et K ν dans Librow manuel de fonction .
- FWJ Olver, LC Maximon, Fonctions de Bessel (chapitre 10 de la Bibliothèque numérique des fonctions mathématiques).
- Moler, CB (2004). Calcul numérique avec MATLAB (PDF) . Société de Mathématiques Industrielles et Appliquées. Archivé de l'original (PDF) le 2017-08-08.