Théorème de l'idéal premier booléen - Boolean prime ideal theorem

En mathématiques , le théorème des idéaux premiers booléens déclare que les idéaux d'une algèbre booléenne peuvent être étendus aux idéaux premiers . Une variante de cette déclaration pour les filtres sur les ensembles est connue sous le nom de lemme de l' ultrafiltre . D'autres théorèmes sont obtenus en considérant différentes structures mathématiques avec des notions appropriées d'idéaux, par exemple des anneaux et des idéaux premiers (de la théorie des anneaux), ou des réseaux distributifs et des idéaux maximaux (de la théorie de l' ordre ). Cet article se concentre sur les théorèmes idéaux premiers de la théorie de l'ordre.

Bien que les différents théorèmes idéaux premiers puissent paraître simples et intuitifs, ils ne peuvent être déduits en général des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans l'axiome du choix (en abrégé ZF). Au lieu de cela, certaines des déclarations s'avèrent être équivalentes à l' axiome du choix (AC), tandis que d'autres - le théorème idéal booléen premier, par exemple - représentent une propriété qui est strictement plus faible que AC. C'est en raison de ce statut intermédiaire entre ZF et ZF + AC (ZFC) que le théorème de l'idéal premier booléen est souvent considéré comme un axiome de la théorie des ensembles. Les abréviations BPI ou PIT (pour Boolean algebras) sont parfois utilisées pour désigner cet axiome supplémentaire.

Théorèmes idéaux premiers

Un idéal d'ordre est un ensemble inférieur orienté (non vide) . Si l' ensemble partiellement ordonné considéré (poset) a un suprema binaire (aka jointures ), comme le font les posets dans cet article, alors cela est caractérisé de manière équivalente comme un ensemble inférieur non vide I qui est fermé pour le suprema binaire (c'est-à-dire implique ) . Un idéal I est premier si son complément ensembliste dans le poset est un filtre (c'est-à-dire implique ou ). Les idéaux sont appropriés s'ils ne sont pas égaux à l'ensemble du poset.

Historiquement, le premier énoncé relatif aux théorèmes idéaux premiers ultérieurs se référait en fait à des filtres – des sous-ensembles qui sont des idéaux par rapport à l' ordre dual . Le lemme de l'ultrafiltre indique que chaque filtre d'un ensemble est contenu dans un filtre maximal (correct) : un ultrafiltre . Rappelons que les filtres sur les ensembles sont des filtres appropriés de l'algèbre booléenne de son ensemble de puissances . Dans ce cas particulier, les filtres maximaux (c'est-à-dire les filtres qui ne sont pas des sous-ensembles stricts d'un filtre propre) et les filtres premiers (c'est-à-dire les filtres qui avec chaque union des sous-ensembles X et Y contiennent également X ou Y ) coïncident. Le dual de cet énoncé assure ainsi que chaque idéal d'un ensemble de pouvoirs est contenu dans un idéal premier.

L'énoncé ci-dessus a conduit à divers théorèmes idéaux premiers généralisés, dont chacun existe sous une forme faible et sous une forme forte. Les théorèmes des idéaux premiers faibles déclarent que chaque algèbre non triviale d'une certaine classe a au moins un idéal premier. En revanche, les théorèmes d'idéaux premiers forts exigent que chaque idéal disjoint d'un filtre donné puisse être étendu à un idéal premier qui est toujours disjoint de ce filtre. Dans le cas d'algèbres qui ne sont pas des posets, on utilise des sous-structures différentes au lieu de filtres. De nombreuses formes de ces théorèmes sont en fait connues pour être équivalentes, de sorte que l'affirmation que "PIT" tient est généralement considérée comme l'affirmation que l'énoncé correspondant pour les algèbres booléennes (BPI) est valide.

Une autre variante de théorèmes similaires est obtenue en remplaçant chaque occurrence de l' idéal premier par l' idéal maximal . Les théorèmes idéaux maximaux correspondants (MIT) sont souvent, mais pas toujours, plus forts que leurs équivalents PIT.

Théorème de l'idéal premier booléen

Le théorème de l'idéal premier de Boole est le théorème de l'idéal premier fort pour les algèbres booléennes. Ainsi l'énoncé formel est :

Soit B une algèbre de Boole, soit I un idéal et soit F un filtre de B , tel que I et F soient disjoints . Alors I est contenu dans un idéal premier de B qui est disjoint de F .

Le théorème de l'idéal premier faible pour les algèbres booléennes énonce simplement :

Toute algèbre booléenne contient un idéal premier.

Nous appelons ces déclarations le BPI faible et fort . Les deux sont équivalents, car le BPI fort implique clairement le BPI faible, et l'implication inverse peut être obtenue en utilisant le BPI faible pour trouver des idéaux premiers dans l'algèbre de quotient appropriée.

Le BPI peut être exprimé de différentes manières. A cet effet, rappelons le théorème suivant :

Pour tout idéal I d'une algèbre booléenne B , les éléments suivants sont équivalents :

  • I est un idéal premier.
  • I est un idéal maximal, c'est-à-dire pour tout idéal propre J , si I est contenu dans J alors I = J .
  • Pour chaque élément a de B , I contient exactement l'un des { a , ¬ a }.

Ce théorème est un fait bien connu pour les algèbres booléennes. Son double établit l'équivalence des filtres prime et des ultrafiltres. Notez que la dernière propriété est en fait auto-duale - seule l'hypothèse préalable que I est un idéal donne la caractérisation complète. Toutes les implications de ce théorème peuvent être prouvées dans ZF.

Ainsi, le théorème idéal maximal (fort) suivant (MIT) pour les algèbres booléennes est équivalent à BPI :

Soit B une algèbre de Boole, soit I un idéal et soit F un filtre de B , tel que I et F soient disjoints. Alors I est contenu dans un idéal maximal de B qui est disjoint de F .

Notez que l'on exige une maximalité "globale", pas seulement une maximalité par rapport au fait d'être disjoint de F . Pourtant, cette variation donne une autre caractérisation équivalente de BPI :

Soit B une algèbre de Boole, soit I un idéal et soit F un filtre de B , tel que I et F soient disjoints. Alors I est contenu dans un idéal de B qui est maximal parmi tous les idéaux disjoints de F .

Le fait que cet énoncé soit équivalent à BPI est facilement établi en notant le théorème suivant : Pour tout réseau distributif L , si un idéal I est maximal parmi tous les idéaux de L qui sont disjoints à un filtre donné F , alors I est un idéal premier . La preuve de cette affirmation (qui peut encore être effectuée dans la théorie des ensembles de ZF) est incluse dans l'article sur les idéaux. Puisque toute algèbre booléenne est un réseau distributif, cela montre l'implication souhaitée.

Toutes les déclarations ci-dessus sont maintenant facilement considérées comme équivalentes. En allant encore plus loin, on peut exploiter le fait que les ordres doubles des algèbres de Boole sont exactement les algèbres de Boole elles-mêmes. Par conséquent, en prenant les équivalents duaux de toutes les déclarations précédentes, on se retrouve avec un certain nombre de théorèmes qui s'appliquent également aux algèbres booléennes, mais où chaque occurrence de ideal est remplacée par filter . Il convient de noter que pour le cas particulier où l'algèbre booléenne considérée est un ensemble de puissances avec l' ordre des sous - ensembles , le « théorème du filtre maximal » est appelé lemme de l'ultrafiltre.

En résumé, pour les algèbres booléennes, le MIT faible et fort, le PIT faible et fort, et ces énoncés avec des filtres à la place des idéaux sont tous équivalents. On sait que toutes ces affirmations sont des conséquences de l' Axiome du choix , AC , (la preuve facile utilise le lemme de Zorn ), mais ne peuvent pas être prouvées dans ZF (théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans AC ), si ZF est cohérent . Pourtant, le BPI est strictement plus faible que l'axiome du choix, bien que la preuve de cette affirmation, due à JD Halpern et Azriel Lévy, soit plutôt non triviale.

Autres théorèmes idéaux premiers

Les propriétés prototypiques qui ont été discutées pour les algèbres booléennes dans la section ci-dessus peuvent facilement être modifiées pour inclure des réseaux plus généraux , tels que les réseaux distributifs ou les algèbres de Heyting . Cependant, dans ces cas, les idéaux maximaux sont différents des idéaux premiers, et la relation entre les PIT et les MIT n'est pas évidente.

En effet, il s'avère que les MIT pour les réseaux distributifs et même pour les algèbres de Heyting sont équivalents à l'axiome du choix. D'autre part, on sait que le PIT fort pour les réseaux distributifs est équivalent au BPI (c'est-à-dire au MIT et au PIT pour les algèbres booléennes). Cet énoncé est donc strictement plus faible que l'axiome du choix. De plus, observez que les algèbres de Heyting ne sont pas auto-duales, et donc l'utilisation de filtres à la place des idéaux produit des théorèmes différents dans ce cadre. Peut-être étonnamment, le MIT pour les duels des algèbres de Heyting n'est pas plus fort que le BPI, ce qui contraste fortement avec le MIT mentionné ci-dessus pour les algèbres de Heyting.

Enfin, des théorèmes idéaux premiers existent également pour d'autres algèbres abstraites (non théoriques de l'ordre). Par exemple, le MIT pour les anneaux implique l'axiome du choix. Cette situation nécessite de remplacer le terme "filtre" de la théorie de l'ordre par d'autres concepts - pour les anneaux, un "sous-ensemble fermé de manière multiplicative" est approprié.

Le lemme de l'ultrafiltre

Un filtre sur un ensemble X est une collection non vide de sous-ensembles non vides de X qui est fermée sous intersection finie et sous sur-ensemble. Un ultrafiltre est un filtre maximal. Le lemme de l'ultrafiltre indique que chaque filtre sur un ensemble X est un sous-ensemble d'un ultrafiltre sur X . Un ultrafiltre qui ne contient pas d'ensembles finis est dit « non principal ». Le lemme de l'ultrafiltre, et en particulier l'existence d'ultrafiltres non principaux (considérons le filtre de tous les ensembles à compléments finis), peut être prouvé en utilisant le lemme de Zorn .

Le lemme de l'ultrafiltre est équivalent au théorème booléen idéal premier, avec l'équivalence prouvable dans la théorie des ensembles ZF sans l'axiome du choix. L'idée derrière la preuve est que les sous-ensembles de tout ensemble forment une algèbre booléenne partiellement ordonnée par inclusion, et toute algèbre booléenne est représentable comme une algèbre d'ensembles par le théorème de représentation de Stone .

Si l'ensemble X est fini, le lemme de l'ultrafiltre peut être prouvé à partir des axiomes ZF. Ce n'est plus vrai pour les ensembles infinis ; il faut supposer un axiome supplémentaire . Le lemme de Zorn , l' axiome du choix et le théorème de Tychonoff peuvent tous être utilisés pour prouver le lemme de l'ultrafiltre. Le lemme de l'ultrafiltre est strictement plus faible que l'axiome choisi.

Le lemme de l'ultrafiltre a de nombreuses applications en topologie . Le lemme de l'ultrafiltre peut être utilisé pour prouver le théorème de Hahn-Banach et le théorème de la sous-base d' Alexander .

Applications

Intuitivement, le théorème de l'idéal premier booléen déclare qu'il y a « assez » d'idéaux premiers dans une algèbre booléenne dans le sens où nous pouvons étendre chaque idéal à un maximum. Ceci est d'une importance pratique pour prouver le théorème de représentation de Stone pour les algèbres booléennes , un cas particulier de la dualité de Stone , dans lequel on équipe l'ensemble de tous les idéaux premiers d'une certaine topologie et peut en effet retrouver l'algèbre booléenne d'origine ( jusqu'à l' isomorphisme ) à partir de ce Les données. De plus, il s'avère que dans les applications, on peut choisir librement soit de travailler avec des idéaux premiers, soit avec des filtres premiers, car chaque idéal détermine de manière unique un filtre : l'ensemble de tous les compléments booléens de ses éléments. Les deux approches se retrouvent dans la littérature.

De nombreux autres théorèmes de topologie générale dont on dit souvent qu'ils reposent sur l'axiome du choix sont en fait équivalents à BPI. Par exemple, le théorème selon lequel un produit d' espaces de Hausdorff compacts est compact lui est équivalent. Si nous omettons "Hausdorff", nous obtenons un théorème équivalent à l'axiome complet du choix.

En théorie des graphes , le théorème de Bruijn-Erdős est un autre équivalent de BPI. Il indique que, si un graphe infini donné nécessite au moins un nombre fini k dans n'importe quelle coloration de graphe , alors il a un sous-graphe fini qui nécessite également k .

Une application pas trop connue du théorème booléen de l'idéal premier est l'existence d'un ensemble non mesurable (l'exemple généralement donné est l' ensemble de Vitali , qui nécessite l'axiome du choix). De cela et du fait que le BPI est strictement plus faible que l'axiome de choix, il s'ensuit que l'existence d'ensembles non mesurables est strictement plus faible que l'axiome de choix.

En algèbre linéaire, le théorème idéal booléen premier peut être utilisé pour prouver que deux bases quelconques d'un espace vectoriel donné ont la même cardinalité .

Voir également

Remarques

Les références

Une introduction facile à lire, montrant l'équivalence de PIT pour les algèbres booléennes et les réseaux distributifs.
La théorie de ce livre requiert souvent des principes de choix. Les notes sur divers chapitres discutent de la relation générale des théorèmes à PIT et MIT pour diverses structures (bien que principalement des treillis) et donnent des pointeurs vers d'autres publications.
Discute du statut du lemme de l'ultrafiltre.
Donne de nombreux énoncés équivalents pour le BPI, y compris des théorèmes idéaux premiers pour d'autres structures algébriques. Les PIT sont considérés comme des cas particuliers de lemmes de séparation.