Ensemble borné - Bounded set
- « Bounded » et « boundary » sont des concepts distincts ; pour ce dernier voir frontière (topologie) . Un cercle isolé est un ensemble délimité sans frontière, tandis que le demi-plan est illimité mais a une frontière.
Dans l'analyse mathématique et les domaines connexes des mathématiques , un ensemble est appelé borné s'il est, dans un certain sens, de taille finie. A l'inverse, un ensemble qui n'est pas borné est dit non borné . Le mot « borné » n'a aucun sens dans un espace topologique général sans métrique correspondante .
Définition dans les nombres réels
Un ensemble S de nombres réels est appelé borné par le haut s'il existe un nombre réel k (pas nécessairement en S ) tel que k ≥ s pour tous s en S . Le nombre k est appelé borne supérieure de S . Les termes borné par le bas et borne inférieure sont définis de la même manière.
Un ensemble S est borné s'il a à la fois des bornes supérieure et inférieure. Par conséquent, un ensemble de nombres réels est borné s'il est contenu dans un intervalle fini .
Définition dans un espace métrique
Un sous-ensemble S d'un espace métrique ( M , d ) est borné s'il existe r > 0 tel que pour tout s et t de S , on a d( s , t ) < r . ( M , d ) est un espace métrique borné (ou d est une métrique bornée ) si M est borné en tant que sous-ensemble de lui-même.
- La limitation totale implique la limitation. Pour les sous-ensembles de R n les deux sont équivalents.
- Un espace métrique est compact si et seulement s'il est complet et totalement borné.
- Un sous-ensemble de l' espace euclidien R n est compact si et seulement s'il est fermé et borné.
Limites dans les espaces vectoriels topologiques
Dans les espaces vectoriels topologiques , il existe une définition différente des ensembles bornés qui est parfois appelée bornage de von Neumann . Si la topologie de l'espace vectoriel topologique est induite par une métrique qui est homogène , comme dans le cas d'une métrique induite par la norme des espaces vectoriels normés , les deux définitions coïncident.
La limite dans la théorie de l'ordre
Un ensemble de nombres réels est borné si et seulement s'il a une borne supérieure et inférieure. Cette définition est extensible aux sous-ensembles de tout ensemble partiellement ordonné . A noter que cette notion plus générale de bornage ne correspond pas à une notion de « taille ».
Un sous - ensemble S d'un ensemble ordonné P est appelé majorée s'il y a un élément k dans P de telle sorte que k ≥ s pour tout s dans S . L'élément k est appelé borne supérieure de S . Les concepts de borne inférieure et de borne inférieure sont définis de manière similaire. (Voir aussi les limites supérieure et inférieure .)
Un sous-ensemble S d'un ensemble partiellement ordonné P est appelé borné s'il a à la fois une borne supérieure et une borne inférieure, ou de manière équivalente, s'il est contenu dans un intervalle . Notez que ce n'est pas seulement une propriété de l'ensemble S mais aussi une de l'ensemble S en tant que sous-ensemble de P .
Un poset borné P (c'est-à-dire par lui-même, pas en tant que sous-ensemble) est celui qui a un plus petit élément et un plus grand élément . Notez que ce concept de bornage n'a rien à voir avec la taille finie, et qu'un sous-ensemble S d'un poset borné P avec comme ordre la restriction de l'ordre sur P n'est pas nécessairement un poset borné.
Un sous-ensemble S de R n est borné par rapport à la distance euclidienne si et seulement s'il est borné en tant que sous-ensemble de R n avec l' ordre du produit . Cependant, S peut être borné en tant que sous-ensemble de R n avec l' ordre lexicographique , mais pas par rapport à la distance euclidienne.
Une classe de nombres ordinaux est dite non bornée, ou cofinale , lorsqu'un ordinal est donné, il y a toujours un élément de la classe plus grand que lui. Ainsi, dans ce cas, "sans limite" ne signifie pas sans limite par lui-même mais sans limite en tant que sous-classe de la classe de tous les nombres ordinaux.
Voir également
Les références
- Bartle, Robert G. ; Sherbert, Donald R. (1982). Introduction à l'analyse réelle . New York : John Wiley & Fils. ISBN 0-471-05944-7.
- Richtmyer, Robert D. (1978). Principes de physique mathématique avancée . New York : Springer. ISBN 0-387-08873-3.