Mouvement brownien - Brownian motion

Marche aléatoire bidimensionnelle d'un adatome d' argent sur une surface Ag(111)
Il s'agit d'une simulation du mouvement brownien de 5 particules (jaunes) qui entrent en collision avec un grand ensemble de 800 particules. Les particules jaunes laissent 5 traînées bleues de mouvement (pseudo) aléatoire et l'une d'elles a un vecteur vitesse rouge.
Il s'agit d'une simulation du mouvement brownien d'une grosse particule (particule de poussière) qui entre en collision avec un grand ensemble de particules plus petites (molécules d'un gaz) qui se déplacent à différentes vitesses dans différentes directions aléatoires.

Le mouvement brownien , ou pedesis (du grec ancien : πήδησις /pɛ̌ːdɛːsis/ "sautant"), est le mouvement aléatoire de particules en suspension dans un milieu (un liquide ou un gaz ).

Ce modèle de mouvement consiste généralement en des fluctuations aléatoires de la position d'une particule à l'intérieur d'un sous-domaine fluide, suivies d'un déplacement vers un autre sous-domaine. Chaque déménagement est suivi de plus de fluctuations au sein du nouveau volume fermé. Ce schéma décrit un fluide à l' équilibre thermique , défini par une température donnée . Au sein d'un tel fluide, il n'existe pas de sens d'écoulement préférentiel (comme dans les phénomènes de transport ). Plus précisément, les moments linéaires et angulaires globaux du fluide restent nuls dans le temps. Les énergies cinétiques des mouvements browniens moléculaires, ainsi que celles des rotations moléculaires et des vibrations, se résument à la composante calorique de l' énergie interne d'un fluide (le théorème d'équipartition ).

Ce mouvement porte le nom du botaniste Robert Brown , qui a décrit le phénomène pour la première fois en 1827, alors qu'il observait au microscope le pollen de la plante Clarkia pulchella immergé dans l'eau. En 1905, près de quatre-vingts ans plus tard, le physicien théoricien Albert Einstein a publié un article dans lequel il modélisait le mouvement des particules de pollen comme étant déplacées par des molécules d' eau individuelles , faisant l'une de ses premières contributions scientifiques majeures. La direction de la force de bombardement atomique change constamment et, à différents moments, la particule est plus touchée d'un côté que de l'autre, ce qui conduit à la nature apparemment aléatoire du mouvement. Cette explication du mouvement brownien a servi de preuve convaincante que les atomes et les molécules existent et a été encore vérifiée expérimentalement par Jean Perrin en 1908. Perrin a reçu le prix Nobel de physique en 1926 « pour ses travaux sur la structure discontinue de la matière ».

Les interactions à plusieurs corps qui donnent le modèle brownien ne peuvent pas être résolues par un modèle prenant en compte chaque molécule impliquée. En conséquence, seuls des modèles probabilistes appliqués aux populations moléculaires peuvent être employés pour le décrire. Deux de ces modèles de la mécanique statistique , dus à Einstein et Smoluchowski, sont présentés ci-dessous. Une autre classe de modèles purement probabilistes est la classe des modèles de processus stochastiques . Il existe des séquences de processus stochastiques à la fois plus simples et plus compliqués qui convergent (à la limite ) vers le mouvement brownien (voir marche aléatoire et théorème de Donsker ).

Histoire

Reproduit du livre de Jean Baptiste Perrin , Les Atomes , trois tracés du mouvement de particules colloïdales de rayon 0,53 µm, vus au microscope, sont affichés. Les positions successives toutes les 30 secondes sont reliées par des segments de ligne droite (le maillage est de 3,2 µm).

Le poème scientifique du philosophe-poète romain Lucrèce « Sur la nature des choses » (vers 60 av. J.-C.) contient une description remarquable du mouvement des particules de poussière dans les versets 113-140 du livre II. Il l'utilise comme preuve de l'existence des atomes :

Observez ce qui se passe lorsque les rayons du soleil pénètrent dans un bâtiment et éclairent ses endroits ombragés. Vous verrez une multitude de minuscules particules se mêler d'une multitude de manières... leur danse est une indication réelle des mouvements sous-jacents de la matière qui sont cachés à notre vue... Elle provient des atomes qui se déplacent d'eux-mêmes [c'est-à-dire spontanément ]. Alors ces petits corps composés qui sont le moins éloignés de l'élan des atomes sont mis en mouvement par l'impact de leurs coups invisibles et à leur tour canon contre des corps légèrement plus gros. Ainsi le mouvement monte des atomes et émerge peu à peu au niveau de nos sens pour que ces corps en mouvement que nous voyons dans les rayons du soleil, mûs par des coups qui restent invisibles.

Bien que le mouvement de mélange des particules de poussière soit causé en grande partie par les courants d'air, le mouvement scintillant et culbutant des petites particules de poussière est principalement causé par la véritable dynamique brownienne ; Lucrèce « décrit et explique parfaitement le mouvement brownien par un mauvais exemple ».

Alors que Jan Ingenhousz a décrit le mouvement irrégulier des particules de poussière de charbon à la surface de l' alcool en 1785, la découverte de ce phénomène est souvent attribuée au botaniste Robert Brown en 1827. Brown étudiait les grains de pollen de la plante Clarkia pulchella en suspension dans l'eau sous un microscope lorsqu'il a observé de minuscules particules, éjectées par les grains de pollen, exécutant un mouvement nerveux. En répétant l'expérience avec des particules de matière inorganique, il a pu exclure que le mouvement était lié à la vie, bien que son origine n'ait pas encore été expliquée.

La première personne à décrire les mathématiques derrière le mouvement brownien était Thorvald N. Thiele dans un article sur la méthode des moindres carrés publié en 1880. Cela a été suivi indépendamment par Louis Bachelier en 1900 dans sa thèse de doctorat "La théorie de la spéculation", dans laquelle il a présenté une analyse stochastique des marchés d'actions et d'options. Le modèle de mouvement brownien du marché boursier est souvent cité, mais Benoit Mandelbrot a rejeté son applicabilité aux mouvements de cours boursiers en partie parce que ceux-ci sont discontinus.

Albert Einstein (dans l'un de ses articles de 1905 ) et Marian Smoluchowski (1906) ont porté la solution du problème à l'attention des physiciens et l'ont présenté comme un moyen de confirmer indirectement l'existence des atomes et des molécules. Leurs équations décrivant le mouvement brownien ont ensuite été vérifiées par les travaux expérimentaux de Jean Baptiste Perrin en 1908.

Théories de la mécanique statistique

La théorie d'Einstein

Il y a deux parties à la théorie d'Einstein : la première partie consiste en la formulation d'une équation de diffusion pour les particules browniennes, dans laquelle le coefficient de diffusion est lié au déplacement quadratique moyen d'une particule brownienne, tandis que la deuxième partie consiste à relier le coefficient de diffusion à des grandeurs physiques mesurables. De cette façon, Einstein a pu déterminer la taille des atomes et le nombre d'atomes dans une mole, ou le poids moléculaire en grammes d'un gaz. Conformément à la loi d' Avogadro , ce volume est le même pour tous les gaz parfaits, soit 22,414 litres à température et pression standard. Le nombre d'atomes contenus dans ce volume est appelé nombre d'Avogadro , et la détermination de ce nombre équivaut à la connaissance de la masse d'un atome, puisque celle-ci est obtenue en divisant la masse d'une mole de gaz par la constante d'Avogadro .

Les courbes en cloche caractéristiques de la diffusion des particules browniennes. La distribution commence comme une fonction delta de Dirac , indiquant que toutes les particules sont situées à l'origine au temps t = 0. À mesure que t augmente, la distribution s'aplatit (bien qu'elle reste en forme de cloche) et devient finalement uniforme dans la limite du temps. à l'infini.

La première partie de l'argument d'Einstein était de déterminer la distance parcourue par une particule brownienne dans un intervalle de temps donné. La mécanique classique est incapable de déterminer cette distance en raison du nombre énorme de bombardements qu'une particule brownienne va subir, environ de l'ordre de 10 14 collisions par seconde.

Il considérait l'incrément des positions des particules dans le temps dans un espace à une dimension ( x ) (avec les coordonnées choisies de sorte que l'origine se trouve à la position initiale de la particule) comme une variable aléatoire ( ) avec une fonction de densité de probabilité (c'est-à-dire, est la densité de probabilité pour un saut de grandeur , c'est-à-dire la densité de probabilité de la particule incrémentant sa position de à dans l'intervalle de temps ). De plus, en supposant la conservation du nombre de particules, il a élargi la densité (nombre de particules par unité de volume) à la fois dans une série de Taylor ,

où la deuxième égalité dans la première ligne est par définition de . L' intégrale dans le premier terme est égale à un par la définition de la probabilité, et le deuxième et les autres termes pairs (c'est-à-dire le premier et les autres moments impairs ) disparaissent à cause de la symétrie spatiale. Ce qui reste donne lieu à la relation suivante :

Où le coefficient après le Laplacien , le deuxième moment de probabilité de déplacement , est interprété comme diffusivité de masse D :

Alors la densité de particules browniennes ρ au point x à l'instant t satisfait l' équation de diffusion :

En supposant que N particules partent de l'origine à l'instant initial t = 0, l'équation de diffusion a la solution

Cette expression (qui est une distribution normale avec la moyenne et la variance habituellement appelée mouvement brownien ) a permis à Einstein de calculer les moments directement. Le premier moment disparaît, ce qui signifie que la particule brownienne est tout aussi susceptible de se déplacer vers la gauche que vers la droite. Le second moment, cependant, ne s'évanouit pas, étant donné par

Cette équation exprime le déplacement quadratique moyen en fonction du temps écoulé et de la diffusivité. À partir de cette expression, Einstein a soutenu que le déplacement d'une particule brownienne n'est pas proportionnel au temps écoulé, mais plutôt à sa racine carrée. Son argumentation repose sur un basculement conceptuel de « l'ensemble » de particules browniennes à la particule brownienne « unique » : on peut parler aussi bien du nombre relatif de particules à un même instant que du temps qu'il faut à une particule brownienne pour atteindre un point donné.

La deuxième partie de la théorie d'Einstein relie la constante de diffusion à des quantités physiquement mesurables, telles que le déplacement quadratique moyen d'une particule dans un intervalle de temps donné. Ce résultat permet la détermination expérimentale du nombre d'Avogadro et donc de la taille des molécules. Einstein a analysé un équilibre dynamique en train de s'établir entre des forces opposées. La beauté de son argument est que le résultat final ne dépend pas des forces impliquées dans l'établissement de l'équilibre dynamique.

Dans son traitement original, Einstein a envisagé une expérience de pression osmotique , mais la même conclusion peut être atteinte par d'autres moyens.

Considérons, par exemple, des particules en suspension dans un fluide visqueux dans un champ gravitationnel. La gravité a tendance à faire sédimenter les particules, tandis que la diffusion agit pour les homogénéiser, les entraînant dans des régions de plus faible concentration. Sous l'action de la gravité, une particule acquiert une vitesse de descente de v = μmg , où m est la masse de la particule, g est l'accélération due à la gravité, et μ est la particule de la mobilité dans le fluide. George Stokes a montré que la mobilité d'une particule sphérique de rayon r est où η est la viscosité dynamique du fluide. Dans un état d'équilibre dynamique, et sous l'hypothèse de fluide isotherme, les particules sont réparties selon la distribution barométrique

ρρ o est la différence de densité de particules séparées par une différence de hauteur, de , k B est la constante de Boltzmann (le rapport de la constante universelle des gaz , R , à la constante d'Avogadro, N A ), et T est la température absolue .

La distribution à l'équilibre des particules de gamboge montre la tendance des granules à se déplacer vers des régions de plus faible concentration lorsqu'elles sont affectées par la gravité.

L'équilibre dynamique est établi parce que plus les particules sont entraînées vers le bas par gravité , plus la tendance des particules à migrer vers des régions de concentration plus faible est grande. Le flux est donné par la loi de Fick ,

J = v . En introduisant la formule pour ρ , nous trouvons que

Dans un état d'équilibre dynamique, cette vitesse doit également être égale à v = μmg . Les deux expressions pour v sont proportionnelles à mg , reflétant que la dérivation est indépendante du type de forces considéré. De même, on peut dériver une formule équivalente pour des particules chargées identiques de charge q dans un champ électrique uniforme de magnitude E , où mg est remplacé par la force électrostatique qE . La mise en équivalence de ces deux expressions donne une formule pour la diffusivité, indépendante de mg ou qE ou d'autres forces de ce type :

Ici, la première égalité découle de la première partie de la théorie d'Einstein, la troisième égalité découle de la définition de la constante de Boltzmann comme k B = R / N A , et la quatrième égalité découle de la formule de Stokes pour la mobilité. En mesurant le déplacement quadratique moyenne sur un intervalle de temps avec la constante universelle des gaz R , la température T , la viscosité η , et le rayon de la particule r , la constante d' Avogadro N A peut être déterminée.

Le type d'équilibre dynamique proposé par Einstein n'était pas nouveau. Il avait été signalé précédemment par JJ Thomson dans sa série de conférences à l'Université de Yale en mai 1903 que l'équilibre dynamique entre la vitesse générée par un gradient de concentration donné par la loi de Fick et la vitesse due à la variation de la pression partielle provoquée lorsque les ions sont mis en mouvement "nous donne une méthode de détermination de la constante d'Avogadro qui est indépendante de toute hypothèse sur la forme ou la taille des molécules, ou de la manière dont elles agissent les unes sur les autres".

Une expression identique à la formule d'Einstein pour le coefficient de diffusion a également été trouvée par Walther Nernst en 1888 dans laquelle il a exprimé le coefficient de diffusion comme le rapport de la pression osmotique au rapport de la force de frottement et de la vitesse à laquelle elle donne lieu. Le premier était assimilé à la loi de van 't Hoff tandis que le second était donné par la loi de Stokes . Il écrit pour le coefficient de diffusion k' , où est la pression osmotique et k est le rapport de la force de frottement à la viscosité moléculaire qu'il suppose est donnée par la formule de Stokes pour la viscosité. En introduisant la loi des gaz parfaits par unité de volume pour la pression osmotique, la formule devient identique à celle d'Einstein. L'utilisation de la loi de Stokes dans le cas de Nernst, ainsi que dans Einstein et Smoluchowski, n'est pas strictement applicable puisqu'elle ne s'applique pas au cas où le rayon de la sphère est petit par rapport au libre parcours moyen .

Au début, les prédictions de la formule d'Einstein ont été apparemment réfutées par une série d'expériences de Svedberg en 1906 et 1907, qui ont donné des déplacements des particules de 4 à 6 fois la valeur prédite, et par Henri en 1908 qui a trouvé des déplacements 3 fois plus grands que La formule d'Einstein prédit. Mais les prédictions d'Einstein ont finalement été confirmées dans une série d'expériences menées par Chaudesaigues en 1908 et Perrin en 1909. La confirmation de la théorie d'Einstein a constitué un progrès empirique pour la théorie cinétique de la chaleur . Essentiellement, Einstein a montré que le mouvement peut être prédit directement à partir du modèle cinétique d' équilibre thermique . L'importance de la théorie résidait dans le fait qu'elle confirmait l'explication de la théorie cinétique de la deuxième loi de la thermodynamique comme étant une loi essentiellement statistique.

Modèle de mouvement brownien de la trajectoire d'une particule de colorant dans l'eau.

modèle Smoluchowski

Smoluchowski théorie de du mouvement brownien commence à partir du même principe que celui d'Einstein et tire la même distribution de probabilité ρ ( x , t ) pour le déplacement d'une particule le long de la brownien x dans le temps t . Il obtient donc la même expression pour le déplacement quadratique moyen : . Cependant, lorsqu'il le relie à une particule de masse m se déplaçant à une vitesse qui est le résultat d'une force de frottement régie par la loi de Stokes, il trouve

μ est le coefficient de viscosité, et est le rayon de la particule. En associant l'énergie cinétique à l'énergie thermique RT / N , l'expression du déplacement quadratique moyen est 64/27 fois celle trouvée par Einstein. La fraction 27/64 a été commentée par Arnold Sommerfeld dans sa nécrologie sur Smoluchowski : « Le coefficient numérique d'Einstein, qui diffère de Smoluchowski de 27/64 ne peut qu'être mis en doute.

Smoluchowski tente de répondre à la question de savoir pourquoi une particule brownienne devrait être déplacée par des bombardements de particules plus petites lorsque les probabilités de la heurter dans les directions avant et arrière sont égales. Si la probabilité de m gains et n  −  m pertes suit une loi binomiale ,

avec des probabilités a priori égales à 1/2, le gain total moyen est

Si n est suffisamment grand pour que l'approximation de Stirling puisse être utilisée sous la forme

alors le gain total attendu sera

montrant qu'il augmente comme la racine carrée de la population totale.

Supposons qu'une particule brownienne de masse M soit entourée de particules plus légères de masse m qui se déplacent à une vitesse u . Alors, raisonne Smoluchowski, dans toute collision entre des particules environnantes et browniennes, la vitesse transmise à ces dernières sera mu / M . Ce rapport est de l'ordre de 10 -7  cm/s. Mais nous devons également prendre en considération que dans un gaz, il y aura plus de 10 16 collisions en une seconde, et encore plus dans un liquide où nous nous attendons à ce qu'il y ait 10 20 collisions en une seconde. Certaines de ces collisions auront tendance à accélérer la particule brownienne ; d'autres auront tendance à le ralentir. S'il y a un excès moyen d'un type de collision ou de l'autre de l'ordre de 10 8 à 10 10 collisions en une seconde, alors la vitesse de la particule brownienne peut être n'importe où entre 10 et 1000 cm/s. Ainsi, même s'il existe des probabilités égales de collisions avant et arrière, il y aura une nette tendance à maintenir la particule brownienne en mouvement, comme le prédit le théorème du scrutin.

Ces ordres de grandeur ne sont pas exacts car ils ne prennent pas en considération la vitesse de la particule brownienne, U , qui dépend des collisions qui tendent à l'accélérer et à la ralentir. Plus U est grand, plus grandes seront les collisions qui le retarderont de sorte que la vitesse d'une particule brownienne ne pourra jamais augmenter sans limite. Si un tel processus se produisait, il équivaudrait à un mouvement perpétuel du second type. Et puisque l'équipartition de l'énergie s'applique, l'énergie cinétique de la particule brownienne, , sera égale, en moyenne, à l'énergie cinétique de la particule fluide environnante, .

En 1906, Smoluchowski a publié un modèle unidimensionnel pour décrire une particule subissant un mouvement brownien. Le modèle suppose collisions avec M  de  la mM est la masse de la particule d'essai et m la masse de l' une des particules individuelles qui composent le fluide. On suppose que les collisions de particules sont confinées à une dimension et qu'il est tout aussi probable que la particule d'essai soit frappée par la gauche comme par la droite. On suppose également que chaque collision confère toujours la même amplitude de V . Si N R est le nombre de collisions à partir de la droite et N L le nombre de collisions à partir de la gauche, alors après N collisions, la vitesse de la particule aura changé de Δ V (2 N R  −  N ). La multiplicité est alors simplement donnée par :

et le nombre total d'états possibles est donné par 2 N . Par conséquent, la probabilité que la particule soit touchée par les bonnes N R fois est :

En raison de sa simplicité, le modèle 1D de Smoluchowski ne peut décrire que qualitativement le mouvement brownien. Pour une particule réaliste subissant un mouvement brownien dans un fluide, de nombreuses hypothèses ne s'appliquent pas. Par exemple, l'hypothèse selon laquelle il se produit en moyenne un nombre égal de collisions de la droite comme de la gauche s'effondre une fois que la particule est en mouvement. De plus, il y aurait une distribution de différents Δ V s possibles au lieu de toujours un seul dans une situation réaliste.

Autres modèles physiques utilisant des équations aux dérivées partielles

L' équation de diffusion donne une approximation de l'évolution temporelle de la fonction de densité de probabilité associée à la position de la particule passant sous un mouvement brownien sous la définition physique. L'approximation est valable sur des échelles de temps courtes .

L'évolution temporelle de la position de la particule brownienne elle-même est mieux décrite en utilisant l' équation de Langevin , une équation qui implique un champ de force aléatoire représentant l'effet des fluctuations thermiques du solvant sur la particule.

Le déplacement d'une particule subissant un mouvement brownien est obtenu en résolvant l' équation de diffusion dans des conditions aux limites appropriées et en trouvant la valeur efficace de la solution. Cela montre que le déplacement varie comme la racine carrée du temps (pas linéairement), ce qui explique pourquoi les résultats expérimentaux précédents concernant la vitesse des particules browniennes ont donné des résultats absurdes. Une dépendance temporelle linéaire a été supposée à tort.

A des échelles de temps très courtes, cependant, le mouvement d'une particule est dominé par son inertie et son déplacement sera linéairement dépendant du temps : Δ x = v Δ t . Ainsi , la vitesse instantanée du mouvement brownien peut être mesurée comme v = Δ x / Δ t , lorsque Δ t << τ , où τ est le temps de relaxation dynamique. En 2010, la vitesse instantanée d'une particule brownienne (une microsphère de verre piégée dans l'air avec des pincettes optiques ) a été mesurée avec succès. Les données de vitesse ont vérifié la distribution de vitesse de Maxwell-Boltzmann et le théorème d'équipartition pour une particule brownienne.

Astrophysique : mouvement des étoiles dans les galaxies

Dans la dynamique stellaire , un corps massif (étoile, trou noir , etc.) peut subir un mouvement brownien en réagissant aux forces gravitationnelles des étoiles environnantes. La vitesse efficace V de l'objet massif, de masse M , est liée à la vitesse efficace des étoiles de fond par

où est la masse des étoiles de fond. La force gravitationnelle de l'objet massif fait que les étoiles proches se déplacent plus rapidement qu'elles ne le feraient autrement, augmentant à la fois et V . La vitesse brownienne de Sgr A* , le trou noir supermassif au centre de la Voie lactée , est prédite à partir de cette formule comme étant inférieure à 1 km s −1 .

Mathématiques

Un exemple animé d'une marche aléatoire de type mouvement brownien sur un tore . Dans la limite d'échelle , la marche aléatoire approche le processus de Wiener selon le théorème de Donsker .

En mathématiques , le mouvement brownien est décrit par le processus de Wiener , un processus stochastique à temps continu nommé en l'honneur de Norbert Wiener . C'est l'un des processus de Lévy les plus connus ( processus stochastiques càdlàg avec des incréments indépendants stationnaires ) et se produit fréquemment en mathématiques pures et appliquées, en économie et en physique .

Une seule réalisation du mouvement brownien tridimensionnel pour les temps 0  t  ≤ 2

Le processus de Wiener W t est caractérisé par quatre faits :

  1. W 0 = 0
  2. W t est presque sûrement continue
  3. W t a des incréments indépendants
  4. (pour ).

désigne la distribution normale avec espérance μ et la variance σ 2 . La condition selon laquelle il a des incréments indépendants signifie que si alors et sont des variables aléatoires indépendantes.

Une caractérisation alternative du processus de Wiener est la caractérisation dite de Lévy qui dit que le processus de Wiener est une martingale continue presque sûrement avec W 0 = 0 et une variation quadratique .

Une troisième caractérisation est que le processus de Wiener a une représentation spectrale comme une série sinusoïdale dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes. Cette représentation peut être obtenue en utilisant le théorème de Karhunen-Loève .

Le processus de Wiener peut être construit comme la limite d'échelle d'une marche aléatoire ou d'autres processus stochastiques à temps discret avec des incréments indépendants stationnaires. C'est ce qu'on appelle le théorème de Donsker . Comme la marche aléatoire, le processus de Wiener est récurrent dans une ou deux dimensions (c'est-à-dire qu'il revient presque sûrement à n'importe quel voisinage fixe de l'origine infiniment souvent) alors qu'il n'est pas récurrent dans les dimensions trois et plus. Contrairement à la marche aléatoire, elle est invariante d'échelle .

L'évolution temporelle de la position de la particule brownienne elle-même peut être décrite approximativement par une équation de Langevin , une équation qui implique un champ de force aléatoire représentant l'effet des fluctuations thermiques du solvant sur la particule brownienne. Sur de longues échelles de temps, le mouvement brownien mathématique est bien décrit par une équation de Langevin. Sur de petites échelles de temps, les effets inertiels sont prédominants dans l'équation de Langevin. Cependant, le mouvement brownien mathématique est exempt de tels effets d'inertie. Les effets inertiels doivent être pris en compte dans l'équation de Langevin, sinon l'équation devient singulière. de sorte que le simple fait de supprimer le terme d' inertie de cette équation ne donnerait pas une description exacte, mais plutôt un comportement singulier dans lequel la particule ne bouge pas du tout.

Statistiques

Le mouvement brownien peut être modélisé par une marche aléatoire. Les marches aléatoires dans les milieux poreux ou les fractales sont anormales.

Dans le cas général, le mouvement brownien est un processus aléatoire non markovien et décrit par des équations intégrales stochastiques .

Caractérisation de Lévy

Le mathématicien français Paul Lévy a prouvé le théorème suivant, ce qui donne une condition nécessaire et suffisante pour un continu R n processus stochastique à valeurs X à fait être n -dimensionnelle mouvement brownien. Par conséquent, la condition de Lévy peut en fait être utilisée comme une définition alternative du mouvement brownien.

Soit X  = ( X 1 , ...,  X n ) un processus stochastique continu sur un espace de probabilité (Ω, Σ,  P ) prenant des valeurs dans R n . Alors les éléments suivants sont équivalents :

  1. X est un mouvement brownien par rapport à P , c'est-à-dire que la loi de X par rapport à P est la même que la loi d'un mouvement brownien à n dimensions, c'est-à-dire que la mesure de poussée X ( P ) est la mesure de Wiener classique sur C 0 ([0, +∞); R n ).
  2. les deux
    1. X est une martingale par rapport à P (et sa propre filtration naturelle ) ; et
    2. pour tout 1 ≤  ij  ≤  n , X i ( t ) X j ( t ) − δ ij t est une martingale par rapport à P (et sa propre filtration naturelle ), où δ ij désigne le delta de Kronecker .

Contenu spectral

Le contenu spectral d' un processus stochastique peut être trouvé à partir de la densité spectrale de puissance , formellement définie comme

,

où représente la valeur attendue . La densité spectrale de puissance du mouvement brownien est

.

où est le coefficient de diffusion de . Pour les signaux naturels, le contenu spectral peut être trouvé à partir de la densité spectrale de puissance d'une seule réalisation, avec un temps disponible fini, c'est-à-dire,

,

qui pour une réalisation individuelle d'une trajectoire de mouvement brownien, il se trouve avoir la valeur attendue

et l' écart

.

Pour des temps de réalisation suffisamment longs, la valeur attendue du spectre de puissance d'une même trajectoire converge vers la densité spectrale de puissance formellement définie , mais son coefficient de variation tend vers . Cela implique que la distribution de est large même dans la limite de temps infinie.

Variété riemannienne

Mouvement brownien sur une sphère

Le générateur infinitésimal (et donc l'opérateur caractéristique) d'un mouvement brownien sur R n est facilement calculé comme étant ½Δ, où désigne l' opérateur de Laplace . En traitement d'images et en vision par ordinateur , l'opérateur laplacien a été utilisé pour diverses tâches telles que la détection de gouttes et de contours . Cette observation est utile pour définir le mouvement brownien sur une variété riemannienne de dimension m ( Mg ) : un mouvement brownien sur M est défini comme une diffusion sur M dont l'opérateur caractéristique en coordonnées locales x i , 1  i  ≤  m , est donné par ½Δ LB , où LB est l' opérateur de Laplace-Beltrami donné en coordonnées locales par

où [ g ij ] = [ g ij ] −1 au sens de l'inverse d'une matrice carrée .

Échappée belle

Le problème d'échappement étroit est un problème omniprésent en biologie, biophysique et biologie cellulaire qui a la formulation suivante : une particule brownienne ( ion , molécule ou protéine ) est confinée à un domaine délimité (un compartiment ou une cellule) par une frontière réfléchissante, à l'exception d'une petite fenêtre par laquelle il peut s'échapper. Le problème d'échappement étroit est celui du calcul du temps d'échappement moyen. Ce temps diverge à mesure que la fenêtre se rétrécit, faisant ainsi du calcul un problème de perturbation singulier .

Voir également

Les références

Lectures complémentaires

Liens externes