Paradoxe Burali-Forti - Burali-Forti paradox

En théorie des ensembles , domaine des mathématiques , le paradoxe de Burali-Forti démontre que la construction de « l'ensemble de tous les nombres ordinaux » conduit à une contradiction et montre donc une antinomie dans un système qui permet sa construction. Il porte le nom de Cesare Burali-Forti , qui, en 1897, publia un article prouvant un théorème qui, à son insu, contredisait un résultat précédemment prouvé par Cantor. Bertrand Russell remarqua par la suite la contradiction, et lorsqu'il la publia dans son livre Principles of Mathematics de 1903 , il déclara qu'elle lui avait été suggérée par l'article de Burali-Forti, de sorte qu'elle fut connue sous le nom de Burali-Forti.

Exprimé en termes d'ordinaux de von Neumann

Nous allons le prouver par reductio ad absurdum.

1. Soit un ensemble qui contient tous les nombres ordinaux.${\displaystyle \Oméga }$
2. ${\displaystyle \Oméga }$est transitif parce que pour chaque élément de (qui est un nombre ordinal et peut être n'importe quel nombre ordinal) et chaque élément de (c'est-à-dire selon la définition des ordinaux de Von Neumann , pour chaque nombre ordinal ), nous avons qui est un élément de parce que tout ordinal nombre ne contient que des nombres ordinaux, par la définition de cette construction ordinale.${\style d'affichage x}$${\displaystyle \Oméga }$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y<x}$${\style d'affichage y}$${\displaystyle \Oméga }$
3. ${\displaystyle \Oméga }$est bien ordonné par la relation d'appartenance car tous ses éléments sont également bien ordonnés par cette relation.
4. Ainsi, aux étapes 2 et 3, nous avons une classe ordinale et aussi, à l'étape 1, un nombre ordinal, car toutes les classes ordinales qui sont des ensembles sont également des nombres ordinaux.${\displaystyle \Oméga }$
5. Cela implique qu'il s'agit d'un élément de .${\displaystyle \Oméga }$${\displaystyle \Oméga }$
6. Selon la définition des ordinaux de Von Neumann, équivaut à être un élément de . Cette dernière affirmation est prouvée par l'étape 5.${\displaystyle \Omega <\Omega }$${\displaystyle \Oméga }$${\displaystyle \Oméga }$
7. Mais aucune classe ordinale n'est inférieure à elle-même, y compris à cause de l'étape 4 ( est une classe ordinale), c'est-à-dire .${\displaystyle \Oméga }$${\displaystyle \Oméga }$${\displaystyle \Omega \nmoins \Omega }$

Nous avons déduit deux propositions contradictoires ( et ) de l'ensemble de et, par conséquent, réfuté qu'il s'agit d'un ensemble. ${\displaystyle \Omega <\Omega }$${\displaystyle \Omega \nmoins \Omega }$${\displaystyle \Oméga }$${\displaystyle \Oméga }$

Dit plus généralement

La version du paradoxe ci-dessus est anachronique, car elle présuppose la définition des ordinaux dus à John von Neumann , selon laquelle chaque ordinal est l'ensemble de tous les ordinaux précédents, ce qui n'était pas connu au moment où le paradoxe a été encadré par Burali-Forti . Voici un compte rendu avec moins de présupposés : supposons que l'on associe à chaque bien ordonnant un objet appelé son type d'ordre de manière quelconque (les types d'ordre sont les nombres ordinaux). Les types d'ordre (nombres ordinaux) eux-mêmes sont bien ordonnés de manière naturelle, et ce bon ordre doit avoir un type d'ordre . Il est facilement démontré dans la théorie des ensembles naïve (et reste vrai dans ZFC mais pas dans New Foundations ) que le type d'ordre de tous les nombres ordinaux inférieurs à un fixe est lui - même. Donc, le type d'ordre de tous les nombres ordinaux inférieurs à lui - même. Mais cela signifie que , étant le type d'ordre d'un segment initial propre des ordinaux, est strictement inférieur au type d'ordre de tous les ordinaux, mais ce dernier est lui - même par définition. C'est une contradiction. ${\displaystyle \Oméga }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle \Oméga }$${\displaystyle \Oméga }$${\displaystyle \Oméga }$${\displaystyle \Oméga }$

Si nous utilisons la définition de von Neumann, selon laquelle chaque ordinal est identifié comme l'ensemble de tous les ordinaux précédents, le paradoxe est inévitable : la proposition incriminée selon laquelle le type d'ordre de tous les nombres ordinaux inférieurs à un fixe est elle - même doit être vraie. La collection des ordinaux de von Neumann, comme la collection du paradoxe de Russell , ne peut être un ensemble dans aucune théorie des ensembles avec la logique classique. Mais la collection de types d'ordre dans New Foundations (définies comme des classes d'équivalence de bons ordres sous similarité) est en fait un ensemble, et le paradoxe est évité car le type d'ordre des ordinaux inférieurs à s'avère ne pas être . ${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle \Oméga }$${\displaystyle \Oméga }$

Résolutions du paradoxe

Les axiomes modernes pour la théorie formelle des ensembles tels que ZF et ZFC contournent cette antinomie en ne permettant pas la construction d'ensembles en utilisant des termes tels que "tous les ensembles avec la propriété "${\style d'affichage P}$ , comme cela est possible dans la théorie des ensembles naïve et comme cela est possible avec les axiomes de Gottlob Frege - spécifiquement la Loi fondamentale V - dans le "Grundgesetze der Arithmetik." Le système de Quine New Foundations (NF) utilise une solution différente . Rosser ( 1942 ) a montré que dans la version originale du système « Mathematical Logic » (ML) de Quine, une extension de New Foundations, il est possible de dériver le paradoxe de Burali-Forti, montrant que ce système était contradictoire. La révision de Quine de ML suite à la découverte de Rosser ne souffre pas de ce défaut, et en effet a été par la suite prouvée équicohérente avec NF par Hao Wang .

Voir également

• Absolu Infini

Les références

• Burali-Forti, Cesare (1897), "Una questione sui numeri transfiniti" (PDF) , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 11 : 154-164, doi : 10.1007/BF03015911
• Irving Copi (1958) "Le paradoxe Burali-Forti", Philosophie des sciences 25(4) : 281-286, doi : 10.1086/287617
• Moore, Gregory H; Garciadiego, Alejandro (1981), « Le paradoxe de Burali-Forti : Une réévaluation de ses origines », Historia Mathematica , 8 (3) : 319-350, doi : 10.1016/0315-0860(81)90070-7
• Rosser, Barkley (1942), "Le paradoxe Burali-Forti", Journal of Symbolic Logic , 7 (1) : 1-17, doi : 10.2307/2267550 , JSTOR  2267550 , MR  0006327

Liens externes

• Stanford Encyclopedia of Philosophy : " Paradoxes et logique contemporaine "—par Andrea Cantini.