Propriété d'annulation - Cancellation property
En mathématiques , la notion d' annulatif est une généralisation de la notion d' invertible .
Un élément a dans un magma ( M , ∗) a la propriété d'annulation à gauche (ou est annulant à gauche ) si pour tout b et c dans M , a ∗ b = a ∗ c implique toujours que b = c .
Un élément a dans un magma ( M , ∗) a la bonne propriété d'annulation (ou est annulable à droite ) si pour tout b et c dans M , b ∗ a = c ∗ a implique toujours que b = c .
Un élément a dans un magma ( M , ∗) a la propriété d'annulation bilatérale (ou est annulable ) s'il est à la fois annulable à gauche et à droite.
Un magma ( M , ∗) a la propriété d'annulation à gauche (ou est annulable à gauche) si tous les a dans le magma sont annulants à gauche, et des définitions similaires s'appliquent aux propriétés d'annulation droite ou bilatérale.
Un élément inversible à gauche est annulable à gauche, et de manière analogue pour le droit et les deux côtés.
Par exemple, chaque quasigroupe , et donc chaque groupe , est annulable.
Interprétation
Dire qu'un élément a dans un magma ( M , ∗) est annulant à gauche, c'est dire que la fonction g : x ↦ a ∗ x est injective . Le fait que la fonction g soit injective implique que, étant donné une certaine égalité de la forme a ∗ x = b , où la seule inconnue est x , il n'y a qu'une seule valeur possible de x satisfaisant l'égalité. Plus précisément, nous pouvons définir une fonction f , l'inverse de g , telle que pour tout x f ( g ( x )) = f ( a ∗ x ) = x . En d'autres termes, pour tous les x et y de M , si a * x = a * y , alors x = y .
Exemples de monoïdes et semi-groupes annulants
Les entiers positifs (également non négatifs) forment un semi-groupe annulatif sous addition. Les nombres entiers non négatifs forment un monoïde annulable sous addition.
En fait, tout semi-groupe ou monoïde libre obéit à la loi d'annulation, et en général, tout semi-groupe ou monoïde incorporé dans un groupe (comme le font clairement les exemples ci-dessus) obéira à la loi d'annulation.
Dans une veine différente, (un sous-groupe de) le semigroupe multiplicatif des éléments d'un anneau qui ne sont pas des diviseurs nuls (qui est juste l'ensemble de tous les éléments différents de zéro si l'anneau en question est un domaine , comme les entiers) a la propriété d'annulation . Notez que cela reste valable même si l'anneau en question est non commutatif et / ou non unital.
Structures algébriques non annulantes
Bien que la loi d'annulation soit valable pour l'addition, la soustraction, la multiplication et la division des nombres réels et complexes (à la seule exception de la multiplication par zéro et de la division de zéro par un autre nombre), il existe un certain nombre de structures algébriques où la loi d'annulation n'est pas valide .
Le produit croisé de deux vecteurs n'obéit pas à la loi d'annulation. Si a × b = a × c , alors il ne s'ensuit pas que b = c même si a ≠ 0 .
La multiplication matricielle n'obéit pas nécessairement non plus à la loi d'annulation. Si AB = AC et A ≠ 0 , alors on doit montrer que la matrice A est inversible (ie a det ( A ) ≠ 0 ) avant que l' on peut conclure que B = C . Si det ( A ) = 0 , alors B peut ne pas être égal à C , car l' équation matricielle AX = B n'aura pas de solution unique pour une matrice A non inversible .
Notez également que si AB = CA et A ≠ 0 et la matrice A est inversible (ie a det ( A ) ≠ 0 ), il est pas nécessairement vrai que B = C . L'annulation ne fonctionne que pour AB = AC et BA = CA (à condition que la matrice A soit inversible ) et non pour AB = CA et BA = AC .