Catégorie (mathématiques) - Category (mathematics)

Il s'agit d'une catégorie avec une collection d'objets A, B, C et une collection de morphismes notés f, g, g f , et les boucles sont les flèches d'identité. Cette catégorie est généralement indiquée par un caractère gras 3 .

En mathématiques , une catégorie (parfois appelée catégorie abstraite pour la distinguer d'une catégorie concrète ) est un ensemble d'"objets" reliés par des "flèches". Une catégorie a deux propriétés de base : la possibilité de composer les flèches de manière associative et l'existence d'une flèche d'identité pour chaque objet. Un exemple simple est la catégorie des ensembles , dont les objets sont des ensembles et dont les flèches sont des fonctions .

La théorie des catégories est une branche des mathématiques qui cherche à généraliser toutes les mathématiques en termes de catégories, indépendamment de ce que représentent leurs objets et leurs flèches. Pratiquement toutes les branches des mathématiques modernes peuvent être décrites en termes de catégories, et cela révèle souvent des idées et des similitudes profondes entre des domaines apparemment différents des mathématiques. En tant que telle, la théorie des catégories fournit une base alternative pour les mathématiques à la théorie des ensembles et à d'autres fondements axiomatiques proposés. En général, les objets et les flèches peuvent être des entités abstraites de toute nature, et la notion de catégorie fournit une manière fondamentale et abstraite de décrire des entités mathématiques et leurs relations.

En plus de formaliser les mathématiques, la théorie des catégories est également utilisée pour formaliser de nombreux autres systèmes en informatique, comme la sémantique des langages de programmation .

Deux catégories sont identiques si elles ont la même collection d'objets, la même collection de flèches et la même méthode associative de composition de n'importe quelle paire de flèches. Deux catégories différentes peuvent également être considérées comme « équivalentes » aux fins de la théorie des catégories, même si elles n'ont pas exactement la même structure.

Les catégories bien connues sont désignées par un court mot en majuscule ou une abréviation en gras ou en italique : les exemples incluent Set , la catégorie des ensembles et des fonctions d'ensemble ; Anneau , la catégorie des anneaux et des homomorphismes d'anneaux ; et Top , la catégorie des espaces topologiques et des cartes continues . Toutes les catégories précédentes ont la carte d'identité comme flèches d'identité et la composition comme opération associative sur les flèches.

Le texte classique et encore très utilisé sur la théorie des catégories est Categories for the Working Mathematician de Saunders Mac Lane . D'autres références sont données dans les références ci-dessous. Les définitions de base de cet article sont contenues dans les premiers chapitres de chacun de ces livres.

Structures de type groupe
Totalité L'associativité Identité Inversibilité Commutativité
Semigroupoïde Inutile Obligatoire Inutile Inutile Inutile
Petite catégorie Inutile Obligatoire Obligatoire Inutile Inutile
Groupoïde Inutile Obligatoire Obligatoire Obligatoire Inutile
Magma Obligatoire Inutile Inutile Inutile Inutile
Quasi-groupe Obligatoire Inutile Inutile Obligatoire Inutile
Magma unitaire Obligatoire Inutile Obligatoire Inutile Inutile
Boucle Obligatoire Inutile Obligatoire Obligatoire Inutile
Semi-groupe Obligatoire Obligatoire Inutile Inutile Inutile
Semi-groupe inverse Obligatoire Obligatoire Inutile Obligatoire Inutile
Monoïde Obligatoire Obligatoire Obligatoire Inutile Inutile
Monoïde commutatif Obligatoire Obligatoire Obligatoire Inutile Obligatoire
Grouper Obligatoire Obligatoire Obligatoire Obligatoire Inutile
groupe abélien Obligatoire Obligatoire Obligatoire Obligatoire Obligatoire
Closure, qui est utilisé dans de nombreuses sources, est un axiome équivalent à la totalité, bien que défini différemment.

Tout monoïde peut être compris comme une sorte spéciale de catégorie (avec un seul objet dont les auto-morphismes sont représentés par les éléments du monoïde), de même que tout pré-ordre .

Définition

Il existe de nombreuses définitions équivalentes d'une catégorie. Une définition couramment utilisée est la suivante. Une catégorie C se compose de

  • une classe ob( C ) d' objets ,
  • un hom de classe ( C ) de morphisms ou des flèches ou des cartes entre les objets,
  • un domaine , ou une fonction de classe d' objet source ,
  • un codomaine , ou une fonction de classe d' objet cible ,
  • pour tous les trois objets a , b et c , une opération binaire hom( a , b ) × hom( b , c ) → hom( a , c ) appelée composition de morphismes ; la composition de f  : ab et g  : bc s'écrit gf ou gf . (Certains auteurs utilisent "l'ordre schématique", en écrivant f;g ou fg ).

Remarque : Ici hom( a , b ) désigne la sous-classe de morphismes f dans hom( C ) tels que et . De tels morphismes s'écrivent souvent f  : ab .

tel que les axiomes suivants sont vérifiés :

  • ( associativité ) si f  : ab , g  : bc et h  : cd alors h ( gf ) = ( hg ) ∘ f , et
  • ( identité ) pour tout objet x , il existe un morphisme 1 x  : xx (certains auteurs écrivent id x ) appelé morphisme identité pour x , tel que tout morphisme f  : ax satisfait 1 xf = f , et tout morphisme g  : xb satisfait g ∘ 1 x = g .

On écrit f : ab , et on dit " f est un morphisme de a vers b ". Nous écrivons hom( a , b ) (ou hom C ( a , b ) lorsqu'il peut y avoir confusion quant à la catégorie à laquelle se réfère hom( a , b )) pour désigner la classe hom de tous les morphismes de a à b . A partir de ces axiomes, on peut prouver qu'il existe exactement un morphisme d'identité pour chaque objet. Certains auteurs utilisent une légère variation de la définition dans laquelle chaque objet est identifié avec le morphisme identitaire correspondant.

Petites et grandes catégories

Une catégorie C est dite petite si à la fois ob( C ) et hom( C ) sont en fait des ensembles et non des classes propres , et grande sinon. Une catégorie localement petite est une catégorie telle que pour tous les objets a et b , la classe hom hom( a , b ) est un ensemble, appelé un homset . De nombreuses catégories importantes en mathématiques (telles que la catégorie des ensembles), bien que non petites, sont au moins localement petites. Puisque, dans les petites catégories, les objets forment un ensemble, une petite catégorie peut être considérée comme une structure algébrique similaire à un monoïde mais sans nécessiter de propriétés de fermeture . D'autre part, les grandes catégories peuvent être utilisées pour créer des "structures" de structures algébriques.

Exemples

La classe de tous les ensembles (en tant qu'objets) ainsi que toutes les fonctions entre eux (en tant que morphismes), où la composition des morphismes est la fonction habituelle composition , forme une grande catégorie, Set . C'est la catégorie la plus basique et la plus couramment utilisée en mathématiques. La catégorie Rel est constituée de tous les ensembles (en tant qu'objets) avec des relations binaires entre eux (en tant que morphismes). L'abstraction des relations au lieu des fonctions donne des allégories , une classe spéciale de catégories.

Toute classe peut être considérée comme une catégorie dont les seuls morphismes sont les morphismes d'identité. De telles catégories sont appelées discrètes . Pour tout ensemble donné I , la catégorie discrète sur I est la petite catégorie qui a les éléments de I comme objets et seulement les morphismes d'identité comme morphismes. Les catégories discrètes sont le type de catégorie le plus simple.

Tout ensemble pré-ordonné ( P , ) forme une petite catégorie, où les objets sont les membres de P , les morphismes sont des flèches pointant de x vers y lorsque xy . De plus, si est antisymétrique , il peut y avoir au plus un morphisme entre deux objets quelconques. L'existence de morphismes identitaires et la composabilité des morphismes sont garanties par la réflexivité et la transitivité du préordre. Par le même argument, tout ensemble partiellement ordonné et toute relation d'équivalence peuvent être considérés comme une petite catégorie. Tout nombre ordinal peut être considéré comme une catégorie lorsqu'il est considéré comme un ensemble ordonné .

Tout monoïde (toute structure algébrique avec une seule opération binaire associative et un élément d'identité ) forme une petite catégorie avec un seul objet x . (Ici, x est n'importe quel ensemble fixe.) Les morphismes de x à x sont précisément les éléments du monoïde, le morphisme identité de x est l'identité du monoïde, et la composition catégorique des morphismes est donnée par l'opération monoïde. Plusieurs définitions et théorèmes sur les monoïdes peuvent être généralisés pour les catégories.

De même, tout groupe peut être vu comme une catégorie avec un seul objet dans lequel chaque morphisme est inversible , c'est-à-dire que pour chaque morphisme f il existe un morphisme g qui est à la fois gauche et droite inverse de f sous composition. Un morphisme qui est inversible dans ce sens est appelé un isomorphisme .

Un groupoïde est une catégorie dans laquelle chaque morphisme est un isomorphisme. Les groupoïdes sont des généralisations de groupes, d' actions de groupe et de relations d'équivalence . En fait, du point de vue de la catégorie, la seule différence entre groupoïde et groupe est qu'un groupoïde peut avoir plus d'un objet mais le groupe ne doit en avoir qu'un. Considérons un espace topologique X et fixons un point de base de X , alors est le groupe fondamental de l'espace topologique X et du point de base , et en tant qu'ensemble il a la structure de groupe ; si alors laissez le point de base sur tous les points de X , et prenez l'union de tous , alors l'ensemble que nous obtenons n'a que la structure du groupoïde (qui est appelé le groupoïde fondamental de X ): deux boucles (sous la relation d'équivalence de homotopie) peuvent ne pas avoir le même point de base et ne peuvent donc pas se multiplier. Dans le langage de la catégorie, cela signifie ici que deux morphismes peuvent ne pas avoir le même objet source (ou objet cible, car dans ce cas pour tout morphisme l'objet source et l'objet cible sont les mêmes : le point de base) donc ils ne peuvent pas composer avec l'un l'autre.

Un graphe orienté.

Tout graphe orienté génère une petite catégorie : les objets sont les sommets du graphe, et les morphismes sont les chemins dans le graphe (augmentés avec des boucles si nécessaire) où la composition des morphismes est la concaténation de chemins. Une telle catégorie est appelée catégorie libre générée par le graphe.

La classe de tous les ensembles pré-ordonnés avec des fonctions monotones comme morphismes forme une catégorie, Ord . C'est une catégorie concrète , c'est-à-dire une catégorie obtenue en ajoutant un certain type de structure sur Set , et exigeant que les morphismes soient des fonctions qui respectent cette structure ajoutée.

La classe de tous les groupes avec des homomorphismes de groupe comme morphismes et une composition de fonction comme opération de composition forme une grande catégorie, Grp . Comme Ord , Grp est une catégorie concrète. La catégorie Ab , constituée de tous les groupes abéliens et de leurs homomorphismes de groupe, est une sous - catégorie complète de Grp , et le prototype d'une catégorie abélienne . D'autres exemples de catégories concrètes sont donnés par le tableau suivant.

Catégorie Objets Morphismes
Grp groupes homomorphismes de groupe
Mag magmas homomorphismes magmatiques
homme p collecteurs lisses p -Times différentiable cartes
Rencontré espaces métriques cartes courtes
R- Mod R -modules , où R est un anneau R -module homomorphismes
lun monoïdes homomorphismes monoïdes
Anneau anneaux homomorphismes d'anneaux
Régler ensembles les fonctions
Haut espaces topologiques fonctions continues
Uni espaces uniformes fonctions uniformément continues
Vect K espaces vectoriels sur le corps K K - cartes linéaires

Les faisceaux de fibres avec des cartes de faisceau entre eux forment une catégorie concrète.

La catégorie Cat se compose de toutes les petites catégories, avec des foncteurs entre elles en tant que morphismes.

Construction de nouvelles catégories

Double catégorie

Toute catégorie C peut elle-même être considérée comme une nouvelle catégorie d'une manière différente : les objets sont les mêmes que ceux de la catégorie d'origine mais les flèches sont celles de la catégorie d'origine inversées. C'est ce qu'on appelle la catégorie double ou opposée et est noté C op .

Catégories de produits

Si C et D sont des catégories, on peut former la catégorie de produits C × D : les objets sont des paires constituées d'un objet de C et d'un de D , et les morphismes sont également des paires, constituées d'un morphisme de C et d'un de D . De telles paires peuvent être composées par composants .

Types de morphismes

Un morphisme f  : ab est appelé

  • un monomorphisme (ou monic ) s'il est annulable à gauche, c'est-à-dire que fg 1 = fg 2 implique g 1 = g 2 pour tous les morphismes g 1 , g 2  : xa .
  • un épimorphisme (ou épopée ) s'il est annulable à droite, c'est-à-dire que g 1 f = g 2 f implique g 1 = g 2 pour tous les morphismes g 1 , g 2  : bx .
  • un bimorphisme s'il est à la fois un monomorphisme et un épimorphisme.
  • une rétraction si elle a un inverse à droite, c'est-à-dire s'il existe un morphisme g  : ba avec fg = 1 b .
  • une section si elle a un inverse à gauche, c'est-à-dire s'il existe un morphisme g  : ba avec gf = 1 a .
  • un isomorphisme s'il a un inverse, c'est-à-dire s'il existe un morphisme g  : ba avec fg = 1 b et gf = 1 a .
  • un endomorphisme si a = b . La classe d'endomorphismes de a est notée end( a ).
  • un automorphisme si f est à la fois un endomorphisme et un isomorphisme. La classe d'automorphismes de a est notée aut( a ).

Toute rétraction est un épimorphisme. Chaque section est un monomorphisme. Les trois énoncés suivants sont équivalents :

  • f est un monomorphisme et une rétraction ;
  • f est un épimorphisme et une section ;
  • f est un isomorphisme.

Les relations entre les morphismes (comme fg = h ) peuvent être représentées le plus facilement avec des diagrammes commutatifs , où les objets sont représentés comme des points et les morphismes comme des flèches.

Types de catégories

  • Dans de nombreuses catégories, par exemple Ab ou Vect K , les hom-ensembles hom( a , b ) ne sont pas seulement des ensembles mais en fait des groupes abéliens , et la composition des morphismes est compatible avec ces structures de groupe ; c'est-à-dire est bilinéaire . Une telle catégorie est appelée préadditif . Si, de plus, la catégorie a tous les produits finis et coproduits , on l'appelle une catégorie additive . Si tous les morphismes ont un noyau et un conoyau , et que tous les épimorphismes sont des conoyaux et que tous les monomorphismes sont des noyaux, alors on parle de catégorie abélienne . Un exemple typique de catégorie abélienne est la catégorie des groupes abéliens.
  • Une catégorie est dite complète si toutes les petites limites y existent. Les catégories d'ensembles, de groupes abéliens et d'espaces topologiques sont complètes.
  • Une catégorie est dite cartésienne fermée si elle a des produits directs finis et qu'un morphisme défini sur un produit fini peut toujours être représenté par un morphisme défini sur un seul des facteurs. Les exemples incluent Set et CPO , la catégorie des commandes partielles complètes avec des fonctions Scott-continues .
  • Un topos est un certain type de catégorie fermée cartésienne dans laquelle toutes les mathématiques peuvent être formulées (comme classiquement toutes les mathématiques sont formulées dans la catégorie des ensembles). Un topos peut également être utilisé pour représenter une théorie logique.

Voir également

Remarques

Les références

  • Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990), Catégories abstraites et concrètes (PDF) , Wiley, ISBN 0-471-60922-6(maintenant édition en ligne gratuite, GNU FDL ).
  • Asperti, Andréa; Longo, Giuseppe (1991), Catégories, types et structures , MIT Press, ISBN 0-262-01125-5.
  • Awodey, Steve (2006), Théorie des catégories , guides logiques d'Oxford, 49 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856861-2.
  • Barr, Michel ; Wells, Charles (2005), Toposes, Triples and Theories , Reprints in Theory and Applications of Categories, 12 (éd. révisé), MR  2178101.
  • Borceux, Francis (1994), "Manuel d'algèbre catégorique", Encyclopédie des mathématiques et de ses applications , 50-52, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-06119-9.
  • "Catégorie" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
  • Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007), Théorie des catégories , Heldermann Verlag, ISBN 978-3-88538-001-6.
  • Jacobson, Nathan (2009), Algèbre de base (2e éd.), Douvres, ISBN 978-0-486-47187-7.
  • Lawvere, Guillaume ; Schanuel, Steve (1997), Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories , Cambridge University Press, ISBN 0-521-47249-0.
  • Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician , Graduate Texts in Mathematics, 5 (2e éd.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8.
  • Marquis, Jean-Pierre (2006), "Category Theory" , in Zalta, Edward N. (ed.), Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  • Sica, Giandomenico (2006), Qu'est-ce que la théorie des catégories ? , Études avancées en mathématiques et logique, 3 , Polimetrica, ISBN 978-88-7699-031-1.
  • catégorie dans nLab