Équations de Cauchy-Riemann - Cauchy–Riemann equations

Une représentation visuelle d'un vecteur X dans un domaine multiplié par un nombre complexe z, puis mappé par f, par opposition à mappé par f puis multiplié par z par la suite. Si les deux ont pour résultat que le point se retrouve au même endroit pour tous les X et z, alors f satisfait la condition de Cauchy-Riemann

Analyse mathématique → Analyse complexe
Analyse complexe
Nombres complexes
Nombre réel Nombre imaginaire Avion complexe Conjugaison compliquée Nombre complexe d'unités
Fonctions complexes
Fonction à valeur complexe Fonction analytique Fonction holomorphe Équations de Cauchy-Riemann Série de puissance formelle
Théorie de base
Zéros et pôles Théorème intégral de Cauchy Primitive locale La formule intégrale de Cauchy Numéro d'enroulement série Laurent Singularité isolée Théorème des résidus Carte conforme lemme de Schwarz Fonction harmonique L'équation de Laplace
Théorie des fonctions géométriques
Personnes
Augustin-Louis Cauchy Léonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Bernhard Riemann Karl Weierstrass
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v t e

Dans le domaine de l' analyse complexe en mathématiques , les équations de Cauchy-Riemann , nommées d'après Augustin Cauchy et Bernhard Riemann , consistent en un système de deux équations aux dérivées partielles qui, avec certains critères de continuité et de différentiabilité, forment une condition nécessaire et suffisante pour un fonction complexe pour être holomorphe (complexe différentiable). Ce système d'équations est apparu pour la première fois dans les travaux de Jean le Rond d'Alembert . Plus tard, Leonhard Euler a relié ce système aux fonctions analytiques . Cauchy a ensuite utilisé ces équations pour construire sa théorie des fonctions. La thèse de Riemann sur la théorie des fonctions paraît en 1851.

Les équations de Cauchy-Riemann sur une paire de fonctions à valeur réelle de deux variables réelles u ( x , y ) et v ( x , y ) sont les deux équations :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$

( 1a )

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$

( 1b )

Typiquement, u et v sont respectivement les parties réelle et imaginaire d'une fonction à valeurs complexes d'une seule variable complexe z = x + iy , f ( x + i y ) = u ( x , y ) + iv ( x , y ) . Supposons que u et v soient réels- dérivables en un point d'un ouvert de C , qui peuvent être considérés comme des fonctions de R ² dans R . Cela implique que les dérivées partielles de u et v existent (bien qu'elles n'aient pas besoin d'être continues) et nous pouvons approcher de petites variations de f linéairement. Alors f = u + i v est complexe- dérivable en ce point si et seulement si les dérivées partielles de u et v satisfont les équations de Cauchy-Riemann ( 1a ) et ( 1b ) en ce point. La seule existence de dérivées partielles satisfaisant les équations de Cauchy-Riemann ne suffit pas à assurer une différentiabilité complexe à ce stade. Il faut que u et v soient réels dérivables, ce qui est une condition plus forte que l'existence des dérivées partielles, mais en général, plus faible que la différentiabilité continue.

L'holomorphie est la propriété d'une fonction complexe d'être dérivable en tout point d'un sous-ensemble ouvert et connexe de C (c'est ce qu'on appelle un domaine dans C ). Par conséquent, on peut affirmer qu'une fonction complexe f , dont les parties réelle et imaginaire u et v sont des fonctions réelles-différentiables, est holomorphe si et seulement si, les équations ( 1a ) et ( 1b ) sont satisfaites dans tout le domaine traité. Les fonctions holomorphes sont analytiques et vice versa. Cela signifie que, dans l'analyse complexe, une fonction qui est complexe-différentiable dans un domaine entier (holomorphe) est la même qu'une fonction analytique. Ceci n'est pas vrai pour les fonctions réelles différentiables.

Exemple simple

Supposons que . La fonction à valeurs complexes est dérivable en tout point z du plan complexe. ${\style d'affichage z=x+iy}$${\style d'affichage f(z)=z^{2}}$

${\displaystyle f(z)=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy}$

La partie réelle et la partie imaginaire sont ${\style d'affichage u(x,y)}$${\style d'affichage v(x,y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,y)&=x^{2}-y^{2}\\v(x,y)&=2xy\end{aligned}}}$

et leurs dérivées partielles sont

${\displaystyle u_{x}=2x;\quad u_{y}=-2y;\quad v_{x}=2y;\quad v_{y}=2x}$

On voit qu'en effet les équations de Cauchy-Riemann sont satisfaites, et . ${\displaystyle u_{x}=v_{y}}$${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$

Interprétation et reformulation

Les équations sont une manière d'envisager la condition d'une fonction à être dérivable au sens de l' analyse complexe : en d'autres termes, elles encapsulent la notion de fonction d'une variable complexe au moyen du calcul différentiel classique . Dans la théorie, il existe plusieurs autres façons majeures d'examiner cette notion, et la traduction de la condition dans une autre langue est souvent nécessaire.

Mappages conformes

Premièrement, les équations de Cauchy-Riemann peuvent être écrites sous forme complexe

${\displaystyle {i{\frac {\partial f}{\partial x}}}={\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

( 2 )

Sous cette forme, les équations correspondent structurellement à la condition que la matrice jacobienne soit de la forme

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}},}$

où et . Une matrice de cette forme est la représentation matricielle d'un nombre complexe . Géométriquement, une telle matrice est toujours la composition d'une rotation d' échelle , et conserve notamment les angles . Le jacobien d'une fonction f ( z ) prend des segments de ligne infinitésimaux à l'intersection de deux courbes dans z et les fait pivoter vers les segments correspondants dans f ( z ). Par conséquent, une fonction satisfaisant les équations de Cauchy-Riemann, avec une dérivée non nulle, préserve l'angle entre les courbes dans le plan. Autrement dit, les équations de Cauchy-Riemann sont les conditions pour qu'une fonction soit conforme . ${\displaystyle a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y}$${\displaystyle b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y}$

De plus, comme la composition d'une transformation conforme avec une autre transformation conforme est également conforme, la composition d'une solution des équations de Cauchy-Riemann avec une application conforme doit elle-même résoudre les équations de Cauchy-Riemann. Ainsi, les équations de Cauchy-Riemann sont invariantes de manière conforme.

Différenciation complexe

Supposer que

${\style d'affichage f(z)=u(z)+i\cdot v(z)}$

est une fonction d'un nombre complexe . Alors la dérivée complexe de en un point est définie par ${\style d'affichage z=x+iy}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage z_{0}}$

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h }}=f'(z_{0})}$

pourvu que cette limite existe.

Si cette limite existe, alors elle peut être calculée en prenant la limite le long de l'axe réel ou de l'axe imaginaire ; dans les deux cas, cela devrait donner le même résultat. En s'approchant le long de l'axe réel, on trouve ${\style d'affichage h\à 0}$

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h }}={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0}).}$

D'autre part, en s'approchant le long de l'axe imaginaire,

${\displaystyle \lim _{\underset {\eta \in \mathbb {R} }{\eta \to 0}}{\frac {f(z_{0}+i\eta )-f(z_{0} )}{i\eta }}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}).}$

L'égalité de la dérivée de f prise le long des deux axes est

${\displaystyle i{\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}),}$

qui sont les équations de Cauchy-Riemann (2) au point  z ₀ .

Inversement, si f  : C  →  C est une fonction qui est dérivable lorsqu'elle est considérée comme une fonction sur R ² , alors f est complexe dérivable si et seulement si les équations de Cauchy-Riemann sont vérifiées. En d'autres termes, si u et v sont des fonctions réelles différenciables de deux variables réelles, évidemment u + iv est une fonction réelle-différentiable (à valeurs complexes), mais u + iv est complexe-différentiable si et seulement si le Cauchy-Riemann les équations tiennent.

En effet, à la suite de Rudin, supposons que f soit une fonction complexe définie dans un ouvert Ω ⊂ C . Ensuite, en écrivant z = x + i y pour tout z  ∈ Ω, on peut également considérer Ω comme un sous-ensemble ouvert de R ² , et f comme une fonction de deux variables réelles x et y , ce qui fait correspondre Ω ⊂ R ² à C . On considère les équations de Cauchy-Riemann à z  = z ₀ . Supposons donc que f soit dérivable en z ₀ , en fonction de deux variables réelles de à C . Ceci équivaut à l'existence de l'approximation linéaire suivante

${\displaystyle f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})=f_{x}\,\Delta x+f_{y}\,\Delta y+\eta (\Delta z)\ ,\Delta z\,}$

où z = x + iy et η (Δ z ) → 0 lorsque Δ z → 0. Puisque et , ce qui précède peut être ré-écrit sous la forme ${\displaystyle \Delta z+\Delta {\bar {z}}=2\,\Delta x}$${\displaystyle \Delta z-\Delta {\bar {z}}=2i\,\Delta y}$

${\displaystyle \Delta f(z_{0})={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}\,\Delta z+{\frac {f_{x}+if_{y}} {2}}\,\Delta {\bar {z}}+\eta (\Delta z)\,\Delta z\,}$

Définir les deux dérivés de Wirtinger comme

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\ partiel }{\partial y}}\right),\;\;\;{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left ({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}$

à la limite l'égalité ci-dessus peut être écrite comme ${\displaystyle \Delta z\to 0,\Delta {\bar {z}}\to 0}$

${\displaystyle \left.{\frac {df}{dz}}\right|_{z=z_{0}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|_ {z=z_{0}}+\gauche.{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\right|_{z=z_{0}}\cdot {\frac { d{\bar {z}}}{dz}}+\eta (\Delta z),\;\;\;\;(\Delta z\neq 0).}$

Considérons maintenant les valeurs potentielles du moment où la limite est prise à l'origine. Pour z le long de la ligne réelle, de sorte que . De même pour z purement imaginaire on a de sorte que la valeur de n'est pas bien définie à l'origine. Il est facile de vérifier que n'est pas bien défini à tout complexe z , donc f est complexe dérivable à z ₀ si et seulement si à . Mais ce sont exactement les équations de Cauchy-Riemann, donc f est dérivable en z ₀ si et seulement si les équations de Cauchy-Riemann sont valables en  z ₀ . ${\displaystyle d{\bar {z}}/dz}$${\displaystyle {\bar {z}}=z}$${\displaystyle d{\bar {z}}/dz=1}$${\displaystyle d{\bar {z}}/dz=-1}$${\displaystyle d{\bar {z}}/dz}$${\displaystyle d{\bar {z}}/dz}$${\displaystyle \left(\partial f/\partial {\bar {z}}\right)=0}$${\style d'affichage z=z_{0}}$

Indépendance du complexe conjugué

La preuve ci-dessus suggère une autre interprétation des équations de Cauchy-Riemann. Le conjugué complexe de z , noté , est défini par ${\displaystyle {\bar {z}}}$

${\displaystyle {\overline {x+iy}} :=x-iy}$

pour x et y réels . Les équations de Cauchy-Riemann peuvent alors être écrites comme une seule équation

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}$

( 3 )

en utilisant la dérivée de Wirtinger par rapport à la variable conjuguée . Sous cette forme, les équations de Cauchy-Riemann peuvent être interprétées comme l'affirmation que f est indépendant de la variable . En tant que telles, nous pouvons considérer les fonctions analytiques comme de vraies fonctions d' une variable complexe par opposition aux fonctions complexes de deux variables réelles. ${\displaystyle {\bar {z}}}$

Interprétation physique

Tracé de contour d'une paire u et v satisfaisant les équations de Cauchy-Riemann. Les lignes de courant ( v  = const, rouge) sont perpendiculaires aux équipotentielles ( u  = const, bleu). Le point (0,0) est un point stationnaire de l'écoulement potentiel, avec six lignes de courant se rencontrant, et six équipotentielles rencontrant et coupant également les angles formés par les lignes de courant.

Une interprétation physique standard des équations de Cauchy-Riemann remontant aux travaux de Riemann sur la théorie des fonctions est que u représente un potentiel de vitesse d'un écoulement de fluide incompressible dans le plan, et v est sa fonction de flux . Supposons que la paire de fonctions (deux fois continûment différentiables) satisfasse les équations de Cauchy-Riemann. Nous prendrons u pour un potentiel de vitesse, c'est-à-dire que nous imaginons un écoulement de fluide dans le plan tel que le vecteur vitesse du fluide en chaque point du plan soit égal au gradient de u , défini par ${\style d'affichage u,v}$

${\displaystyle \nabla u={\frac {\partial u}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial u}{\partial y}}\mathbf {j} }$

En différenciant une seconde fois les équations de Cauchy-Riemann, on montre que u résout l'équation de Laplace :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0 .}$

Autrement dit, u est une fonction harmonique . Cela signifie que la divergence du gradient est nulle, et donc le fluide est incompressible.

La fonction v satisfait également l'équation de Laplace, par une analyse similaire. De plus, les équations de Cauchy-Riemann impliquent que le produit scalaire . Cela implique que le gradient de u doit pointer le long des courbes ; ce sont donc les lignes de courant du flux. Les courbes sont les courbes équipotentielles de l'écoulement. ${\displaystyle \nabla u\cdot \nabla v=0}$${\displaystyle v={\text{const}}}$${\displaystyle u={\text{const}}}$

Une fonction holomorphe peut donc être visualisée en traçant les deux familles de courbes de niveau et . Près des points où le gradient de u (ou, de manière équivalente, v ) n'est pas nul, ces familles forment une famille de courbes orthogonales . Aux points où , les points stationnaires de l'écoulement, les courbes équipotentielles de se coupent. Les lignes de courant se coupent également au même point, coupant les angles formés par les courbes équipotentielles. ${\displaystyle u={\text{const}}}$${\displaystyle v={\text{const}}}$${\style d'affichage \nabla u=0}$${\displaystyle u={\text{const}}}$

Champ vectoriel harmonique

Une autre interprétation des équations de Cauchy-Riemann peut être trouvée dans Pólya & Szegő. Supposons que u et v satisfassent les équations de Cauchy-Riemann dans un sous-ensemble ouvert de R ² , et considérons le champ de vecteurs

${\displaystyle {\bar {f}}={\begin{bmatrix}u\\-v\end{bmatrix}}}$

considéré comme un vecteur (réel) à deux composantes. Alors la deuxième équation de Cauchy-Riemann ( 1b ) affirme qu'elle est irrotationnelle (sa boucle est 0) : ${\displaystyle {\bar {f}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial (-v)}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=0.}$

La première équation de Cauchy-Riemann ( 1a ) affirme que le champ vectoriel est solénoïde (ou sans divergence ) :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial (-v)}{\partial y}}=0.}$

En raison respectivement du théorème de Green et du théorème de divergence , un tel champ est nécessairement conservateur , et il est exempt de sources ou de puits, ayant un flux net égal à zéro à travers tout domaine ouvert sans trous. (Ces deux observations se combinent en tant que parties réelles et imaginaires dans le théorème intégral de Cauchy .) En dynamique des fluides , un tel champ vectoriel est un flux potentiel . En magnétostatique , de tels champs vectoriels modélisent des champs magnétiques statiques sur une région du plan ne contenant aucun courant. En électrostatique , ils modélisent des champs électriques statiques dans une région du plan ne contenant aucune charge électrique.

Cette interprétation peut également être reformulée dans le langage des formes différentielles . La paire u , v satisfait les équations de Cauchy-Riemann si et seulement si la forme unique est à la fois fermée et cofermée (une forme différentielle harmonique ). ${\style d'affichage v\,dx+u\,dy}$

Préservation de la structure complexe

Une autre formulation des équations de Cauchy-Riemann implique la structure complexe dans le plan, donnée par

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}.}$

Il s'agit d'une structure complexe dans le sens où le carré de J est le négatif de la matrice identité 2×2 : . Comme ci-dessus, si u ( x , y ), v ( x , y ) sont deux fonctions dans le plan, mettez ${\style d'affichage J^{2}=-I}$

${\displaystyle f(x,y)={\begin{bmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{bmatrix}}.}$

La matrice Jacobienne de f est la matrice des dérivées partielles

${\displaystyle Df(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}&{\dfrac {\partial u}{\partial y}}\\[5pt] {\dfrac {\partial v}{\partial x}}&{\dfrac {\partial v}{\partial y}}\end{bmatrix}}}$

Alors le couple de fonctions u , v satisfait les équations de Cauchy-Riemann si et seulement si la matrice 2×2 Df commute avec J .

Cette interprétation est utile en géométrie symplectique , où elle est le point de départ de l'étude des courbes pseudoholomorphes .

Autres représentations

D'autres représentations des équations de Cauchy-Riemann surviennent occasionnellement dans d'autres systèmes de coordonnées . Si (1a) et (1b) sont valables pour une paire différentiable de fonctions u et v , alors il en va de même

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}={\frac {\partial v}{\partial s}},\quad {\frac {\partial v}{\partial n}}= -{\frac {\partial u}{\partial s}}}$

pour tout système de coordonnées ( n ( x , y ), s ( x , y )) tel que le couple (∇ n , ∇ s ) soit orthonormé et orienté positivement . Par conséquent, en particulier, dans le système de coordonnées donné par la représentation polaire z = r  e ^iθ , les équations prennent alors la forme

${\displaystyle {\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },\quad {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }.}$

Les combiner en une seule équation pour f donne

${\displaystyle {\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta }.}$

Les équations inhomogènes de Cauchy-Riemann se composent des deux équations pour une paire de fonctions inconnues u ( x , y ) et v ( x , y ) de deux variables réelles

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}&=\alpha (x,y)\\[ 4pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}&=\beta (x,y)\end{aligned}}}$

pour certaines fonctions données α( x , y ) et β( x , y ) définies dans un sous-ensemble ouvert de R ² . Ces équations sont généralement combinées en une seule équation

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}})}$

où f = u + i v et φ = ( α + i β )/2.

Si φ est C ^k , alors l'équation inhomogène est explicitement résoluble dans un domaine borné D , à condition que φ est continue sur la fermeture de D . En effet, par la formule intégrale de Cauchy ,

${\displaystyle f\left(\zeta ,{\bar {\zeta }}\right)={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{D}\varphi \left(z,{\ barre {z}}\right)\,{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }}}$

pour tout ζ ∈ D .

Généralisations

Le théorème de Goursat et ses généralisations

Supposons que f = u  + i v est une fonction à valeurs complexes qui est dérivable en fonction f  : R ² → R ² . Alors le théorème de Goursat affirme que f est analytique dans un domaine complexe ouvert Ω si et seulement si elle satisfait l'équation de Cauchy-Riemann dans le domaine. En particulier, il n'est pas nécessaire de supposer une différentiabilité continue de f .

Les hypothèses du théorème de Goursat peuvent être considérablement affaiblies. Si f = u  + i v est continue dans un ouvert Ω et les dérivées partielles de f par rapport à x et y existent dans , et satisfont les équations de Cauchy-Riemann tout au long de Ω, alors f est holomorphe (et donc analytique). Ce résultat est le théorème de Looman-Menchoff .

L'hypothèse que f obéit aux équations de Cauchy-Riemann dans tout le domaine est essentielle. Il est possible de construire une fonction continue satisfaisant les équations de Cauchy-Riemann en un point, mais qui n'est pas analytique en ce point (eg, f ( z ) = z ⁵  / |z| ⁴ ) . De même, une hypothèse supplémentaire est nécessaire en plus des équations de Cauchy-Riemann (telles que la continuité), comme l'illustre l'exemple suivant

${\displaystyle f(z)={\begin{cases}\exp \left(-z^{-4}\right)&{\text{if }}z\not =0\\0&{\text{if }}z=0\end{cas}}}$

qui satisfait les équations de Cauchy-Riemann partout, mais ne parvient pas à être continue à z  = 0.

Néanmoins, si une fonction satisfait les équations de Cauchy-Riemann dans un ouvert dans un sens faible , alors la fonction est analytique. Plus précisément:

Si f ( z ) est localement intégrable dans un domaine ouvert Ω ⊂  C , et satisfait faiblement les équations de Cauchy-Riemann, alors f s'accorde presque partout avec une fonction analytique dans Ω.

Il s'agit en fait d'un cas particulier d'un résultat plus général sur la régularité des solutions d' équations aux dérivées partielles hypoelliptiques .

Plusieurs variables

Il existe des équations de Cauchy-Riemann, convenablement généralisées, dans la théorie de plusieurs variables complexes . Ils forment un important système surdéterminé d'EDP. Ceci est fait en utilisant une généralisation directe de la dérivée de Wirtinger , où la fonction en question doit faire disparaître la dérivée (partielle) de Wirtinger par rapport à chaque variable complexe.

Formes différentielles complexes

Comme souvent formulé, l' opérateur d-bar

${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

annihile les fonctions holomorphes. Ceci généralise le plus directement la formulation

${\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}}=0,}$

où

${\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}}={1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x}+i{\partial f \over \partial y }\droit).}$

Transformée de Bäcklund

Considérées comme des fonctions harmoniques conjuguées , les équations de Cauchy-Riemann sont un exemple simple d'une transformée de Bäcklund . Les transformées de Bäcklund plus compliquées, généralement non linéaires, comme dans l' équation sinus-Gordon , sont d'un grand intérêt dans la théorie des solitons et des systèmes intégrables .

Définition en algèbre de Clifford

Dans l' algèbre de Clifford, le nombre complexe est représenté par où . L'opérateur dérivé fondamental dans l'algèbre de Clifford des nombres complexes est défini comme . La fonction est considérée comme analytique si et seulement si , ce qui peut être calculé de la manière suivante : ${\style d'affichage z=x+iy}$${\displaystyle z\équiv x+Iy}$${\displaystyle I\equiv \sigma _{1}\sigma _{2}}$${\displaystyle \nabla \equiv \sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y}}$${\style d'affichage f=u+Iv}$${\style d'affichage \nabla f=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\nabla f=(\sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y})(u+\sigma _{1} \sigma _{2}v)\\[4pt]&=\sigma _{1}\partial _{x}u+\underbrace {\sigma _{1}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=\sigma _{2}}\partial _{x}v+\sigma _{2}\partial _{y}u+\underbrace {\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2 }} _{=-\sigma _{1}}\partial _{y}v=0\end{aligned}}}$

Regroupement par et : ${\style d'affichage \sigma _{1}}$${\style d'affichage \sigma _{2}}$

${\displaystyle \nabla f=\sigma _{1}(\partial _{x}u-\partial _{y}v)+\sigma _{2}(\partial _{x}v+\partial _{y }u)=0\Leftrightarrow {\begin{cases}\partial _{x}u-\partial _{y}v=0\\[4pt]\partial _{x}v+\partial _{y}u= 0\end{cas}}}$

Ainsi, en notation traditionnelle :

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}}\\[12pt]{\dfrac {\partial u }{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}\end{cases}}}$

Mappages conformes dans les dimensions supérieures

Soit Ω un ouvert dans l'espace euclidien R ⁿ . L'équation pour qu'une cartographie préservant l'orientation soit une cartographie conforme (c'est-à-dire préservant l'angle) est la suivante ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle Df^{\mathsf {T}}Df=(\det(Df))^{2/n}I}$

où Df est la matrice Jacobienne, avec transpose , et I désigne la matrice identité. Pour n = 2 , ce système est équivalent aux équations standard de Cauchy-Riemann de variables complexes, et les solutions sont des fonctions holomorphes. En dimension n > 2 , cela est encore parfois appelé le système de Cauchy-Riemann, et le théorème de Liouville implique, sous des hypothèses de régularité appropriées, qu'une telle application est une transformation de Möbius . ${\displaystyle Df^{\mathsf {T}}}$

Voir également

• Liste des sujets d'analyse complexes
• Le théorème de Morera
• Dérivés de Wirtinger

Les références

• Gray, JD ; Morris, SA (avril 1978). "Quand est une fonction qui satisfait l'analyse des équations de Cauchy-Riemann?". Le mensuel mathématique américain . 85 (4) : 246-256. doi : 10.2307/2321164 . JSTOR  2321164 .
• Looman, H. (1923). "Über die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen". Göttinger Nachrichten (en allemand) : 97–108.
• Rudin, Walter (1966). Analyse réelle et complexe (3e éd.). McGraw Hill (publié en 1987). ISBN 0-07-054234-1.

Notes de bas de page

Lectures complémentaires

• Ahlfors, Lars (1953). Analyse complexe (3e éd.). McGraw Hill (publié en 1979). ISBN 0-07-000657-1.
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Conditions de Cauchy-Riemann" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
• Stewart, Ian ; Grand, David (1983). Analyse complexe (1ère éd.). CUP (publié en 1984). ISBN 0-521-28763-4.

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Équations de Cauchy-Riemann" . MathWorld .
• Module d'équations de Cauchy-Riemann par John H. Mathews