Centre (théorie des groupes) - Center (group theory)

Dans l' algèbre abstraite , le centre d'un groupe , G , est l' ensemble des éléments qui font la navette avec chaque élément de G . Il est noté Z( G ) , de l'allemand Zentrum , qui signifie centre . En notation set-builder ,

Z ( G ) = { z ∈ G | ∀ g ∈ G , ZG = gz } .

Le centre est un sous-groupe normal , Z( G ) G . En tant que sous-groupe, il est toujours caractéristique , mais n'est pas nécessairement entièrement caractéristique . Le groupe quotient , G / Z( G ) , est isomorphe au groupe d' automorphisme interne , Inn( G ) .

Un groupe G est abélien si et seulement si Z( G ) = G . A l'autre extrême, un groupe est dit sans centre si Z( G ) est trivial ; c'est-à-dire qu'il se compose uniquement de l' élément d'identité .

Les éléments du centre sont parfois appelés centraux .

En sous-groupe

Le centre de G est toujours un sous - groupe de G . En particulier:

1. Z( G ) contient l' élément identité de G , car il commute avec chaque élément de g , par définition : eg = g = ge , où e est l'identité ;
2. Si x et y sont dans Z( G ) , alors xy l' est aussi , par associativité : ( xy ) g = x ( yg ) = x ( gy ) = ( xg ) y = ( gx ) y = g ( xy ) pour chacun g ∈ g ; c'est-à-dire que Z( G ) est fermé ;
3. Si x est dans Z( G ) , alors x ^{−1 l'est} aussi car, pour tout g dans G , x ⁻¹ commute avec g : ( gx = xg ) ⇒ ( x ⁻¹ gxx ⁻¹ = x ⁻¹ xgx ⁻¹ ) ( x ⁻¹ g = gx ⁻¹ ) .

De plus, le centre de G est toujours un sous-groupe normal de G . Puisque tous les éléments de Z( G ) commutent, il est fermé par conjugaison .

Classes de conjugaison et centralisateurs

Par définition, le centre est l'ensemble des éléments pour lesquels la classe de conjugaison de chaque élément est l'élément lui-même ; c'est-à-dire, Cl( g ) = { g } .

Le centre est aussi l' intersection de tous les centreurs de chaque élément de G . Comme les centralisateurs sont des sous-groupes, cela montre à nouveau que le centre est un sous-groupe.

Conjugaison

Considérons l'application f : G → Aut( G ) , de G au groupe d'automorphismes de G défini par f ( g ) = ϕ _g , où ϕ _g est l'automorphisme de G défini par

f ( g ) ( h ) = φ _g ( h ) = ghg ^-1 .

La fonction f est un homomorphisme de groupe , et son noyau est précisément le centre de G , et son image est appelée le groupe d'automorphisme interne de G , noté Inn( G ) . Par le premier théorème d'isomorphisme on obtient,

G /Z( G ) Inn( G ) .

Le noyau de cette application est le groupe Out( G ) des automorphismes externes , et ceux-ci forment la séquence exacte

1 ⟶ Z( G ) ⟶ G ⟶ Aut( G ) ⟶ Out( G ) ⟶ 1 .

Exemples

• Le centre d'un groupe commutatif , G , est tout G .
• Le centre du groupe de Heisenberg , H , est l'ensemble des matrices de la forme :
  $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&z\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$

  
• Le centre d'un groupe simple non abélien est trivial.
• Le centre du groupe dièdre , D _n , est trivial pour n impair 3 . Pour même n 4 , le centre est constitué de l'élément d'identité avec la rotation de 180° du polygone .
• Le centre du groupe des quaternions , Q ₈ = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} , est {1, −1} .
• Le centre du groupe symétrique , S _n , est trivial pour n 3 .
• Le centre du groupe alterné , A _n , est trivial pour n 4 .
• Le centre du groupe linéaire général sur un corps F , GL _n (F) , est l'ensemble des matrices scalaires , { sI _n ∣ s ∈ F \ {0} } .
• Le centre du groupe orthogonal , O _n (F) est {I _n , −I _n } .
• Le centre du groupe orthogonal spécial , SO( n ) est le groupe entier quand n = 2 , et sinon {I _n , −I _n } quand n est pair, et trivial quand n est impair.
• Le centre du groupe unitaire , est .${\style d'affichage U(n)}$${\displaystyle \left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}}$
• Le centre du groupe unitaire spécial , est .${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$${\textstyle \left\lbrace e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta ={\frac {2k\pi }{n}},k=0,1,\dots ,n-1 \right\raccolade }$
• Le centre du groupe multiplicatif des quaternions non nuls est le groupe multiplicatif des nombres réels non nuls .
• En utilisant l' équation de classe , on peut prouver que le centre de tout p-groupe fini non trivial est non trivial.
• Si le groupe quotient G /Z( G ) est cyclique , G est abélien (et donc G = Z( G ) , donc G /Z( G ) est trivial).
• Le centre du groupe mégaminx est un groupe cyclique d'ordre 2, et le centre du groupe kilominx est trivial.

Centres supérieurs

Le quotient par le centre d'un groupe donne une séquence de groupes appelée la série centrale supérieure :

( G ₀ = G ) ⟶ ( G ₁ = G ₀ /Z( G ₀ )) ⟶ ( G ₂ = G ₁ /Z( G ₁ )) ⟶ ⋯

Le noyau de l'application G → G _i est le i ème centre de G ( deuxième centre , troisième centre , etc . ) et est noté Z ⁱ ( G ) . Concrètement, le ( i + 1 )-er centre sont les termes qui commutent avec tous les éléments jusqu'à un élément du i ème centre. Suite à cette définition, on peut définir le 0e centre d'un groupe comme étant le sous-groupe d'identité. Ceci peut être continué aux ordinaux transfinis par induction transfinie ; l'union de tous les centres supérieurs s'appelle l' hypercentre .

La chaîne ascendante des sous-groupes

1 Z( G ) ≤ Z ² ( G ) ≤ ⋯

se stabilise en i (équivalent, Z ⁱ ( G ) = Z ⁱ⁺¹ ( G ) ) si et seulement si G _i est sans centre.

Exemples

• Pour un groupe sans centre, tous les centres supérieurs sont nuls, ce qui est le cas Z ⁰ ( G ) = Z ¹ ( G ) de stabilisation.
• Par le lemme de Grün , le quotient d'un groupe parfait par son centre est sans centre, donc tous les centres supérieurs sont égaux au centre. C'est un cas de stabilisation à Z ¹ ( G ) = Z ² ( G ) .

Voir également

• Centre (algèbre)
• Centre (théorie des anneaux)
• Centralisateur et normalisateur
• Cours de conjugaison

Remarques

Les références

• Fraleigh, John B. (2014). Un premier cours d'algèbre abstraite (7 éd.). Pearson. ISBN 978-1-292-02496-7.

Liens externes

• "Centre d'un groupe" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]