Sous-groupe caractéristique - Characteristic subgroup
En mathématiques , en particulier dans le domaine de l'algèbre abstraite connu sous le nom de théorie des groupes , un sous - groupe caractéristique est un sous - groupe qui est mappé à lui-même par chaque automorphisme du groupe parent . Puisque chaque application de conjugaison est un automorphisme interne , chaque sous - groupe caractéristique est normal ; bien que l'inverse ne soit pas garanti. Des exemples de sous-groupes caractéristiques comprennent le sous-groupe du commutateur et le centre d'un groupe .
Définition
Un sous-groupe H d'un groupe G est appelé sous - groupe caractéristique si pour tout automorphisme φ de G , on a φ( H ) ≤ H ; puis écrivez H car G .
Il serait équivalent à exiger la condition plus forte φ ( H ) = H pour chaque automorphisme φ de G , car φ -1 ( H ) ≤ H implique l'inclusion inverse H ≤ φ ( H ) .
Propriétés de base
Étant donné H char G , tout automorphisme de G induit un automorphisme du groupe quotient G/H , ce qui donne un homomorphisme Aut( G ) → Aut( G / H ) .
Si G a un unique sous-groupe H d'indice donné, alors H est caractéristique dans G .
Concepts associés
Sous-groupe normal
Un sous-groupe de H qui est invariant sous tous les automorphismes internes est appelé normal ; aussi, un sous-groupe invariant.
- ∈ Inn( G )： φ[ H ] ≤ H
Puisque Inn( G ) Aut( G ) et qu'un sous-groupe caractéristique est invariant sous tous les automorphismes, tout sous-groupe caractéristique est normal. Cependant, tous les sous-groupes normaux ne sont pas caractéristiques. Voici plusieurs exemples :
- Soit H un groupe non trivial, et soit G le produit direct , H × H . Alors les sous-groupes, {1} × H et H × {1} , sont tous deux normaux, mais aucun n'est caractéristique. En particulier, aucun de ces sous-groupes n'est invariant sous l'automorphisme, ( x , y ) → ( y , x ) , qui commute les deux facteurs.
- Pour un exemple concret de ceci, soit V le quatre-groupe de Klein (qui est isomorphe au produit direct, ℤ 2 × ℤ 2 ). Puisque ce groupe est abélien , chaque sous-groupe est normal ; mais chaque permutation des 3 éléments de non-identité est un automorphisme de V , donc les 3 sous-groupes d'ordre 2 ne sont pas caractéristiques. Ici V = { e , a , b , ab } . Considérons H = { e , a } et considérons l'automorphisme, T( e ) = e , T( a ) = b , T( b ) = a , T( ab ) = ab ; alors T( H ) n'est pas contenu dans H .
- Dans le groupe des quaternions d'ordre 8, chacun des sous-groupes cycliques d'ordre 4 est normal, mais aucun d'entre eux n'est caractéristique. Cependant, le sous-groupe, {1, -1} , est caractéristique, car c'est le seul sous-groupe d'ordre 2.
- Si n est pair, le groupe dièdre d'ordre 2 n possède 3 sous-groupes d' indice 2, tous normaux. L'un d'eux est le sous-groupe cyclique, qui est caractéristique. Les deux autres sous-groupes sont dièdres ; ceux-ci sont permutés par un automorphisme externe du groupe parent, et ne sont donc pas caractéristiques.
Sous-groupe strictement caractéristique
UNE sous - groupe strictement caractéristique , ou unsous - groupe distingué , qui est invariant sous lesendomorphismessurjectifs . Pourles groupes finis, la surjectivité d'un endomorphisme implique l'injectivité, donc un endomorphisme surjectif est un automorphisme ; ainsi êtrestrictement caractéristiqueéquivaut àcaractéristique. Ce n'est plus le cas pour les groupes infinis.
Sous-groupe entièrement caractéristique
Pour une contrainte encore plus forte, un sous-groupe pleinement caractéristique (aussi, sous-groupe totalement invariant ; cf. sous-groupe invariant), H , d'un groupe G , est un groupe restant invariant sous tout endomorphisme de G ; C'est,
- ∀φ ∈ Fin( G )： φ[ H ] ≤ H .
Chaque groupe a lui-même (le sous-groupe impropre) et le sous-groupe trivial comme deux de ses sous-groupes pleinement caractéristiques. Le sous - groupe de commutateurs d'un groupe est toujours un sous-groupe pleinement caractéristique.
Tout endomorphisme de G induit un endomorphisme de G/H , ce qui donne une application End( G ) → End( G / H ) .
Sous-groupe verbal
Une contrainte encore plus forte est le sous - groupe verbal , qui est l'image d'un sous-groupe totalement invariant d'un groupe libre sous un homomorphisme. Plus généralement, tout sous - groupe verbal est toujours pleinement caractéristique. Pour tout groupe libre réduit , et, en particulier, pour tout groupe libre , l'inverse est également vrai : tout sous-groupe pleinement caractéristique est verbal.
Transitivité
La propriété d'être caractéristique ou pleinement caractéristique est transitive ; si H est un sous-groupe (totalement) caractéristique de K , et K est un sous-groupe (totalement) caractéristique de G , alors H est un sous-groupe (totalement) caractéristique de G .
- H car K car G ⇒ H car G .
De plus, bien que la normalité ne soit pas transitive, il est vrai que tout sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe normal est normal.
- H car K ⊲ G ⇒ H ⊲ G
De même, tout en étant strictement caractéristique (distingué) n'est pas transitif, il est vrai que tout sous-groupe pleinement caractéristique d'un sous-groupe strictement caractéristique est strictement caractéristique.
Cependant, contrairement à la normalité, si H char G et K est un sous-groupe de G contenant H , alors en général H n'est pas nécessairement caractéristique dans K .
- H carbonisation G , H < K < G ⇏ H carbonisation K
Confinements
Tout sous-groupe pleinement caractéristique est certainement strictement caractéristique et caractéristique ; mais un sous-groupe caractéristique ou même strictement caractéristique n'a pas besoin d'être entièrement caractéristique.
Le centre d'un groupe est toujours un sous-groupe strictement caractéristique, mais il n'est pas toujours pleinement caractéristique. Par exemple, le groupe fini d'ordre 12, Sym(3) × ℤ/2ℤ , a un homomorphisme prenant ( π , y ) à ((1, 2) y , 0) , qui prend le centre, 1 × ℤ/2ℤ , en un sous-groupe de Sym(3) × 1 , qui ne rencontre le centre que dans l'identité.
La relation entre ces propriétés de sous-groupe peut être exprimée comme suit :
- Sous - groupe ⇐ sous - groupe normal ⇐ sous - groupe caractéristique ⇐ sous - groupe caractéristique strictement ⇐ sous - groupe entièrement caractéristique ⇐ du sous - groupe verbal
Exemples
Exemple fini
Considérons le groupe G = S 3 × ℤ 2 (le groupe d'ordre 12 qui est le produit direct du groupe symétrique d'ordre 6 et d'un groupe cyclique d'ordre 2). Le centre de G est isomorphe à son deuxième facteur ℤ 2 . Notons que le premier facteur, S 3 , contient des sous-groupes isomorphes à ℤ 2 , par exemple {e, (12)} ; soit f : ℤ 2 → S 3 le morphisme appliquant ℤ 2 sur le sous-groupe indiqué. Ensuite , la composition de la projection de G sur son deuxième facteur ℤ 2 , suivie de f , suivie par l'inclusion de S 3 dans G en tant que premier facteur, fournit un endomorphisme de G dans lesquelles l'image du centre, ℤ 2 , est pas contenu dans le centre, donc ici le centre n'est pas un sous-groupe entièrement caractéristique de G .
Groupes cycliques
Chaque sous-groupe d'un groupe cyclique est caractéristique.
Les foncteurs de sous-groupe
Le sous-groupe dérivé (ou sous-groupe de commutateurs) d'un groupe est un sous-groupe verbal. Le sous - groupe de torsion d'un groupe abélien est un sous-groupe totalement invariant.
Groupes topologiques
La composante d'identité d'un groupe topologique est toujours un sous-groupe caractéristique.