Densité de charge - Charge density

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v t e

En électromagnétisme , la densité de charge est la quantité de charge électrique par unité de longueur , de surface ou de volume . La densité de charge volumique (symbolisée par la lettre grecque ρ) est la quantité de charge par unité de volume, mesurée dans le système SI en coulombs par mètre cube (C⋅m ^-3 ), en tout point d'un volume. La densité de charge de surface (σ) est la quantité de charge par unité de surface, mesurée en coulombs par mètre carré (C⋅m ^-2 ), en tout point d'une distribution de charge de surface sur une surface bidimensionnelle. La densité de charge linéaire (λ) est la quantité de charge par unité de longueur, mesurée en coulombs par mètre (C⋅m ^-1 ), en tout point d'une distribution de charge de ligne. La densité de charge peut être positive ou négative, puisque la charge électrique peut être positive ou négative.

Comme la densité de masse, la densité de charge peut varier avec la position. Dans la théorie électromagnétique classique, la densité de charge est idéalisée comme une fonction scalaire continue de la position , comme un fluide, et , , et sont généralement considérées comme des distributions de charge continues , même si toutes les distributions de charge réelles sont constituées de particules chargées discrètes. En raison de la conservation de la charge électrique , la densité de charge dans n'importe quel volume ne peut changer que si un courant électrique de charge entre ou sort du volume. Ceci est exprimé par une équation de continuité qui relie le taux de changement de densité de charge et la densité de courant . ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle \sigma ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle \lambda ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {x}})}$

Étant donné que toute charge est portée par des particules subatomiques , qui peuvent être idéalisées comme des points, le concept d'une distribution de charge continue est une approximation, qui devient imprécise aux petites échelles de longueur. Une distribution de charge est finalement composée de particules chargées individuelles séparées par des régions ne contenant aucune charge. Par exemple, la charge dans un objet métallique chargé électriquement est constituée d' électrons de conduction se déplaçant de manière aléatoire dans le réseau cristallin du métal . L'électricité statique est causée par des charges de surface constituées d' ions à la surface des objets, et la charge d'espace dans un tube à vide est composée d'un nuage d'électrons libres se déplaçant de manière aléatoire dans l'espace. La densité de porteurs de charge dans un conducteur est égale au nombre de porteurs de charge mobiles ( électrons , ions , etc.) par unité de volume. La densité de charge en tout point est égale à la densité de porteurs de charge multipliée par la charge élémentaire sur les particules. Cependant, parce que la charge élémentaire sur un électron est si petite (1,610 ⁻¹⁹ C) et qu'il y en a tellement dans un volume macroscopique (il y a environ 10 ²² électrons de conduction dans un centimètre cube de cuivre) l'approximation continue est très précis lorsqu'il est appliqué à des volumes macroscopiques, et même des volumes microscopiques au-dessus du niveau nanométrique.

À l' échelle atomique, en raison du principe d'incertitude de la mécanique quantique , une particule chargée n'a pas avoir une position précise , mais est représentée par une distribution de probabilité , de sorte que la charge d'une particule individuelle n'est pas concentrée à un point , mais est « barbouillé out » dans l'espace et agit comme une véritable distribution de charge continue. C'est le sens de « distribution de charge » et de « densité de charge » utilisés en chimie et en liaison chimique . Un électron est représenté par une fonction d'onde dont le carré est proportionnel à la probabilité de trouver l'électron en tout point de l'espace, donc proportionnel à la densité de charge de l'électron en tout point. Dans les atomes et les molécules, la charge des électrons est répartie dans des nuages ​​appelés orbitales qui entourent l'atome ou la molécule, et sont responsables des liaisons chimiques . ${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle |\psi ({\boldsymbol {x}})|^{2}}$

Définitions

Charges continues

Répartition continue des charges. La densité de charge volumique ρ est la quantité de charge par unité de volume (en trois dimensions), la densité de charge de surface est la quantité par unité de surface (cercle) avec une unité extérieure normale n̂ , d est le moment dipolaire entre deux charges ponctuelles, la densité volumique de celles-ci est la densité de polarisation P . Le vecteur de position r est un point pour calculer le champ électrique ; r′ est un point dans l'objet chargé.

Voici les définitions des distributions de charges continues.

La densité de charge linéaire est le rapport d'une charge électrique infinitésimale d Q (unité SI : C ) à un élément de ligne infinitésimal ,

${\displaystyle \lambda _{q}={\frac {dQ}{d\ell }}\,,\quad }$

de même, la densité de charge de surface utilise un élément de surface d S

${\displaystyle \sigma _{q}={\frac {dQ}{dS}}\,,\quad }$

et la densité de charge volumique utilise un élément de volume d V

${\displaystyle \rho _{q}={\frac {dQ}{dV}}\,,\quad }$

L'intégration des définitions donne la charge totale Q d'une région selon l' intégrale linéaire de la densité de charge linéaire _q ( r ) sur une ligne ou une courbe 1d C ,

${\displaystyle Q=\int \limits _{L}\lambda _{q}(\mathbf {r} )\,d\ell }$

de même une intégrale surfacique de la densité de charge surfacique _q ( r ) sur une surface S ,

${\displaystyle Q=\int \limits _{S}\sigma _{q}(\mathbf {r} )\,dS}$

et une intégrale en volume de la densité de charge volumique ρ _q ( r ) sur un volume V ,

${\displaystyle Q=\int \limits _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV}$

où l'indice q est de préciser que la densité est de charge électrique, et non pas d' autres densités telles que la masse volumique , la densité de nombre , la densité de probabilité , et prévenir les conflits avec les nombreuses autres utilisations de λ, σ, ρ en électromagnétisme pour la longueur d' onde , la résistivité électrique et conductivité .

Dans le contexte de l'électromagnétisme, les indices sont généralement supprimés pour des raisons de simplicité : , σ, ρ. D'autres notations peuvent inclure : ρ _ℓ , ρ _s , ρ _v , ρ _L , ρ _S , _V etc.

La charge totale divisée par la longueur, la surface ou le volume sera la densité de charge moyenne :

${\displaystyle \langle \lambda _{q}\rangle ={\frac {Q}{\ell }}\,,\quad \langle \sigma _{q}\rangle ={\frac {Q}{S} }\,,\quad \langle \rho _{q}\rangle ={\frac {Q}{V}}\,.}$

Charge libre, liée et totale

Dans les matériaux diélectriques , la charge totale d'un objet peut être séparée en charges « libres » et « liées ».

Les charges liées établissent des dipôles électriques en réponse à un champ électrique appliqué E et polarisent d'autres dipôles voisins tendant à les aligner, l'accumulation nette de charge à partir de l'orientation des dipôles est la charge liée. Ils sont dits liés car ils ne peuvent pas être enlevés : dans le matériau diélectrique, les charges sont les électrons liés aux noyaux .

Les charges libres sont les charges en excès qui peuvent se déplacer vers l'équilibre électrostatique , c'est-à-dire lorsque les charges ne se déplacent pas et que le champ électrique résultant est indépendant du temps, ou constituent des courants électriques .

Densités de charge totales

En termes de densités de charge volumiques, la densité de charge totale est :

${\displaystyle \rho =\rho _{f}+\rho _{b}\,.}$

comme pour les densités de charges surfaciques :

${\displaystyle \sigma =\sigma _{f}+\sigma _{b}\,.}$

où les indices "f" et "b" désignent respectivement "libre" et "lié".

Charge liée

La charge surfacique liée est la charge accumulée à la surface du diélectrique , donnée par le moment dipolaire perpendiculaire à la surface :

${\displaystyle q_{b}={\frac {\mathbf {d} \cdot \mathbf {\hat {n}} }{|\mathbf {s} |}}}$

où s est la séparation entre les charges ponctuelles constituant le dipôle, est le moment électrique dipolaire , est le vecteur normal unitaire à la surface. ${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Prendre des infinitésimaux :

${\displaystyle dq_{b}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |}}\cdot \mathbf {\hat {n}} }$

et la division par l'élément de surface différentiel dS donne la densité de charge de surface liée :

${\displaystyle \sigma _{b}={\frac {dq_{b}}{dS}}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |dS}}\cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {d\mathbf {d} }{dV}}\cdot \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n} } \,.}$

où P est la densité de polarisation , c'est-à-dire la densité des moments dipolaires électriques dans le matériau, et dV est l' élément de volume différentiel .

En utilisant le théorème de divergence , la densité de charge volumique liée dans le matériau est

${\displaystyle q_{b}=\iiint \rho _{b}dV=-}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS=-\iiint \nabla \cdot \mathbf {P} dV}$

Par conséquent:

${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} \,.}$

Le signe négatif survient en raison des signes opposés sur les charges dans les dipôles, une extrémité est dans le volume de l'objet, l'autre à la surface.

Une dérivation plus rigoureuse est donnée ci-dessous.

Dérivation des densités de charges surfaciques et volumiques liées à partir des moments dipolaires internes (charges liées)

Le potentiel électrique dû à un moment dipolaire d est : ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {d} } {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$ Pour une distribution continue, le matériau peut être divisé en une infinité de dipôles infinitésimaux ${\displaystyle d\mathbf {d} =\mathbf {P} dV=\mathbf {P} d^{3}\mathbf {r} }$ où dV = d 3 r′ est l'élément de volume, donc le potentiel est l' intégrale de volume sur l'objet : ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {P } }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'} }$ Depuis ${\displaystyle \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\equiv \left(\mathbf {e} _{x}{ \frac {\partial }{\partial x'}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y'}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z'}}\right)\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$ où est le gradient dans les coordonnées r′ , ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint \mathbf {P} \cdot \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf { r} -\mathbf {r} '|}}\right)d^{3}\mathbf {r'} }$ intégration par parties ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint \left[\nabla '\cdot \left({\frac {\mathbf {P} }{|\ mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)-{\frac {1}{\mathbf {r} -\mathbf {r} '}}(\nabla '\cdot \mathbf {P} )\right]d^{3}\mathbf {r'} }$ en utilisant le théorème de divergence : ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-{\frac {1} {4\pi \epsilon _{0}}}\iiint {\frac {\nabla '\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3 }\mathbf {r'} }$ qui se sépare en potentiel de la charge surfacique ( intégrale surfacique ) et le potentiel dû à la charge volumique (intégrale volumique) : ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle {\frac {\sigma _{b}dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0} }}\iiint {\frac {\rho _{b}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'} }$ C'est ${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,,\quad \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$

Densité de charge gratuite

La densité de charge gratuite sert de simplification utile dans la loi de Gauss pour l'électricité ; l'intégrale de volume de celui-ci est la charge libre enfermée dans un objet chargé - égale au flux net du champ de déplacement électrique D émergeant de l'objet :

${\displaystyle \Phi _{D}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS=\iiint \rho _{f}dV}$

Voir les équations de Maxwell et la relation constitutive pour plus de détails.

Densité de charge homogène

Pour le cas particulier d'une densité de charge homogène ₀ , indépendante de la position c'est-à-dire constante dans toute la région du matériau, l'équation se simplifie en :

${\displaystyle Q=V\cdot \rho _{0}.}$

La preuve en est immédiate. Commencez par la définition de la charge de n'importe quel volume :

${\displaystyle Q=\int \limits _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV.}$

Alors, par définition de l'homogénéité, _q ( r ) est une constante notée ρ _{q , 0} (pour différer entre les densités constantes et non constantes), et donc par les propriétés d'une intégrale peut être tiré en dehors de l'intégrale résultante dans:

${\displaystyle Q=\rho _{q,0}\int \limits _{V}\,dV=\rho _{0}V}$

alors,

${\displaystyle Q=V\cdot \rho _{q,0}.}$

Les preuves équivalentes pour la densité de charge linéaire et la densité de charge de surface suivent les mêmes arguments que ci-dessus.

Frais discrets

Pour une charge ponctuelle q à la position r _{0 à l'} intérieur d'une région de l'espace 3D R , comme un électron , la densité de charge volumique peut être exprimée par la fonction delta de Dirac :

${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}$

où r est la position pour calculer la charge.

Comme toujours, l'intégrale de la densité de charge sur une région de l'espace est la charge contenue dans cette région. La fonction delta a la propriété de filtrage pour toute fonction f :

${\displaystyle \int _{R}d^{3}\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=f(\ mathbf {r} _{0})}$

ainsi la fonction delta garantit que lorsque la densité de charge est intégrée sur R , la charge totale dans R est q :

${\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\rho _{q}=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,q\ delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\delta (\mathbf {r} -\mathbf { r} _{0})=q}$

Ceci peut être étendu à N porteurs de charge ponctuels discrets. La densité de charge du système en un point r est la somme des densités de charge pour chaque charge q _i à la position r _i , où i = 1, 2, ..., N :

${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{ je})\,\!}$

La fonction delta pour chaque charge q _i dans la somme, δ ( r − r _i ), assure que l'intégrale de la densité de charge sur R renvoie la charge totale dans R :

${\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf { r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \delta (\mathbf {r} - \mathbf {r} _{i})=\somme _{i=1}^{N}\ q_{i}}$

Si tous les porteurs de charge ont la même charge q (pour les électrons q = − e , la charge électronique ) la densité de charge peut être exprimée par le nombre de porteurs de charge par unité de volume, n ( r ), par

${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=qn(\mathbf {r} )\,.}$

Des équations similaires sont utilisées pour les densités de charge linéaire et surfacique.

Densité de charge en relativité restreinte

En relativité restreinte , la longueur d'un segment de fil dépend de la vitesse de l'observateur en raison de la contraction de la longueur , donc la densité de charge dépendra également de la vitesse. Anthony French a décrit comment la force du champ magnétique d'un fil porteur de courant découle de cette densité de charge relative. Il a utilisé (p 260) un diagramme de Minkowski pour montrer "comment un fil neutre porteur de courant semble porter une densité de charge nette telle qu'observée dans un cadre mobile". Lorsqu'une densité de charge est mesurée dans un référentiel mobile , elle est appelée densité de charge appropriée .

Il se trouve la densité de charge ρ et la densité de courant J transformée ensemble en quatre courant vecteur dans les transformations de Lorentz .

Densité de charge en mécanique quantique

Dans la mécanique quantique , la densité de charge de _q est lié à la fonction d' onde ψ ( r ) par l'équation

${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}}$

où q est la charge de la particule et |ψ( r )| ² = ψ *( r ) ψ ( r ) est la fonction de densité de probabilité c'est-à-dire la probabilité par unité de volume d'une particule située en r .

Lorsque la fonction d' onde est normalisée - la charge moyenne dans la région r ∈ R est

${\displaystyle Q=\int _{R}q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} }$

où d ³ r est la mesure d'intégration sur l'espace de position 3d.

Application

La densité de charge apparaît dans l' équation de continuité du courant électrique, ainsi que dans les équations de Maxwell . C'est le terme source principal du champ électromagnétique ; lorsque la répartition des charges se déplace, cela correspond à une densité de courant . La densité de charge des molécules a un impact sur les processus chimiques et de séparation. Par exemple, la densité de charge influence la liaison métal-métal et la liaison hydrogène . Pour les procédés de séparation tels que la nanofiltration , la densité de charge des ions influence leur rejet par la membrane.

Voir également

• Équation de continuité reliant la densité de charge et la densité de courant
• Potentiel ionique
• Onde de densité de charge

Les références

• A. Halpern (1988). 3000 Problèmes résolus en physique . Série Schaum, Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-025734-4.
• G. Woan (2010). Le Cambridge Handbook of Physics Formulas . La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 978-0-521-57507-2.
• PA Tipler, G. Mosca (2008). Physique pour les scientifiques et les ingénieurs - avec la physique moderne (6e éd.). Homme libre. ISBN 978-0-7167-8964-2.
• RG Lerner , GL Trigg (1991). Encyclopédie de physique (2e éd.). éditeurs VHC. ISBN 978-0-89573-752-6.
• CB Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2e éd.). éditeurs VHC. ISBN 978-0-07-051400-3.

Liens externes

• [1] - Distributions spatiales des charges