Inégalités Chebyshev – Markov – Stieltjes - Chebyshev–Markov–Stieltjes inequalities

En analyse mathématique , les inégalités Chebyshev – Markov – Stieltjes sont des inégalités liées au problème des moments qui ont été formulées dans les années 1880 par Pafnuty Chebyshev et prouvées indépendamment par Andrey Markov et (un peu plus tard) par Thomas Jan Stieltjes . De manière informelle, ils fournissent des limites nettes sur une mesure d'en haut et d'en bas en termes de ses premiers moments .

Formulation

Étant donné m ₀ , ..., m _{2 m -1} ∈ R , considérons l'ensemble C de mesures μ sur R tel que

${\ Displaystyle \ int x ^ {k} d \ mu (x) = m_ {k}}$

pour k = 0,1, ..., 2 m  - 1 (et en particulier l'intégrale est définie et finie).

Soit P ₀ , P ₁ , ..., P _m les premiers polynômes orthogonaux m + 1 par rapport à μ ∈ C , et soit ξ ₁ , ... ξ _m les zéros de P _m . Il n'est pas difficile de voir que les polynômes P ₀ , P ₁ , ..., P _{m -1} et les nombres ξ ₁ , ... ξ _m sont les mêmes pour tout μ ∈ C , et sont donc déterminés uniquement par m ₀ , ..., m _{2 m -1} .

Dénoter

${\ displaystyle \ rho _ {m-1} (z) = 1 {\ Big /} \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} | P_ {k} (z) | ^ {2}}$ .

Théorème Pour j = 1,2, ..., m et tout μ ∈ C ,

${\ displaystyle \ mu (- \ infty, \ xi _ {j}] \ leq \ rho _ {m-1} (\ xi _ {1}) + \ cdots + \ rho _ {m-1} (\ xi _ {j}) \ leq \ mu (- \ infty, \ xi _ {j + 1}).}$

Références