État cohérent - Coherent state

Fait partie d'une série sur
Mécanique quantique
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ équation de Schrödinger
introduction Glossaire Histoire Manuels
Arrière-plan Mécanique classique Ancienne théorie quantique Notation bra-ket Hamiltonien Ingérence
Fondamentaux Règle née Longueur d'onde de Compton La cohérence Décohérence Complémentarité Niveau d'énergie Enchevêtrement Hamiltonien Principe incertain État fondamental Amplitude de probabilité Distribution de probabilité Ingérence La mesure Mesure faible Non-localité Observable Opérateur Quantum Fluctuation quantique Nombre quantique Bruit quantique État quantique Système quantique Téléportation quantique Qubit Tourner Superposition État de vide quantique Symétrie Rupture de symétrie (spontanée) État de vide Propagation d'onde Fonction d'onde Effondrement de la fonction d'onde Dualité onde-particule Onde de matière Barrière de potentiel rectangulaire Fock espace
Effets Effet Zeeman Effet austère Effet Aharonov-Bohm Quantification de Landau Effet Hall quantique Effet Zénon quantique Tunneling quantique Effet photoélectrique Effet Casimir
Expériences L'inégalité de Bell Davisson-Germer Double fente Elitzur–Vaidman Franck-Hertz Inégalité de Leggett-Garg Mach–Zehnder Popper Gomme quantique  ( choix différé ) Le chat de Schrödinger Stern–Gerlach Le choix différé de Wheeler
Formules Aperçu Images dynamiques ( Heisenberg ; Interaction ; Schrödinger ) Matrice Espace des phases Sum-over-histories (chemin-intégral)
Équations Dirac Hellmann–Feynman Klein-Gordon Lippmann–Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger Intégration fonctionnelle
Interprétations Aperçu bayésien Histoires cohérentes Copenhague de Broglie-Bohm Ensemble Variable-cachée De nombreux mondes Effondrement de l'objectif Logique quantique Relationnel Transactionnel
Sujets avancés Hypothèse de thermalisation à l'état propre Recuit quantique Chaos quantique L'informatique quantique Géométrie quantique Matrice de densité Théorie quantique des champs Mécanique quantique fractionnaire Gravité quantique Sciences de l'information quantique Apprentissage automatique quantique Théorie des perturbations (mécanique quantique) Mécanique quantique relativiste Théorie de la diffusion Théorie du vide superfluide Down-conversion paramétrique spontanée Mécanique statistique quantique
Scientifiques Aharonov cloche Blackett Bloch Bohm Bohr Née Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Au revoir Ehrenfest Einstein Everett Putain Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramer Pauli agneau Landau Laue Mosley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Reid Rydberg Schrödinger Simmons Sommerfeld von Neumann Weyl Vienne Wigner Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Catégories ► Mécanique quantique
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En physique , en particulier en mécanique quantique , un état cohérent est l' état quantique spécifique de l' oscillateur harmonique quantique , souvent décrit comme un état dont la dynamique ressemble le plus au comportement oscillatoire d'un oscillateur harmonique classique . C'était le premier exemple de dynamique quantique lorsqu'Erwin Schrödinger l'a dérivé en 1926, tout en recherchant des solutions de l' équation de Schrödinger qui satisfont au principe de correspondance . L'oscillateur harmonique quantique (et donc les états cohérents) apparaît dans la théorie quantique d'un large éventail de systèmes physiques. Par exemple, un état cohérent décrit le mouvement oscillant d'une particule confinée dans un puits de potentiel quadratique (pour une référence ancienne, voir par exemple le manuel de Schiff ). L'état cohérent décrit un état dans un système pour lequel le paquet d'ondes à l'état fondamental est déplacé par rapport à l'origine du système. Cet état peut être lié aux solutions classiques par une particule oscillant avec une amplitude équivalente au déplacement.

Ces états, exprimés en tant que vecteurs propres de l' opérateur d'abaissement et formant une famille surcomplète , ont été introduits dans les premiers articles de John R. Klauder , par exemple dans la théorie quantique de la lumière ( électrodynamique quantique ) et d'autres théories bosoniques des champs quantiques , des états cohérents ont été introduits par les travaux de Roy J. Glauber en 1963 et sont également connus sous le nom d' États Glauber .

Le concept d'états cohérents a été considérablement abstrait ; il est devenu un sujet majeur en physique mathématique et en mathématiques appliquées , avec des applications allant de la quantification au traitement du signal et au traitement d'images (voir États cohérents en physique mathématique ). Pour cette raison, les états cohérents associés à l' oscillateur harmonique quantique sont parfois appelés états cohérents canoniques (CCS), états cohérents standard , états gaussiens ou états d'oscillateur.

États cohérents en optique quantique

Figure 1 : Le champ électrique, mesuré par détection optique homodyne , en fonction de la phase pour trois états cohérents émis par un laser Nd:YAG. La quantité de bruit quantique dans le champ électrique est complètement indépendante de la phase. Au fur et à mesure que l'intensité du champ, c'est-à-dire l'amplitude d'oscillation de l'état cohérent, augmente, le bruit quantique ou l'incertitude est constant à 1/2, et devient ainsi de moins en moins significatif. Dans la limite du grand champ, l'état devient une bonne approximation d'une onde classique stable sans bruit. Les nombres de photons moyens des trois états de haut en bas sont ⟨n⟩=4,2, 25,2, 924,5

Figure 2 : Le paquet d'ondes oscillantes correspondant au deuxième état cohérent représenté sur la figure 1. A chaque phase du champ lumineux, la distribution est une gaussienne de largeur constante.

Figure 3 : fonction de Wigner de l'état cohérent représenté sur la figure 2. La distribution est centrée sur l'amplitude de l'état et est symétrique autour de ce point . Les ondulations sont dues à des erreurs expérimentales.

En optique quantique, l'état cohérent fait référence à un état du champ électromagnétique quantifié , etc. qui décrit un type maximal de cohérence et un type de comportement classique. Erwin Schrödinger l'a dérivé comme un paquet d'ondes gaussien "d' incertitude minimale " en 1926, à la recherche de solutions de l' équation de Schrödinger qui satisfont le principe de correspondance . C'est un état d'incertitude minimum , avec le seul paramètre libre choisi pour rendre la dispersion relative (écart type en unités naturelles sans dimension) égale pour la position et la quantité de mouvement, chacune étant également petite à haute énergie.

De plus, contrairement aux états propres énergétiques du système, l'évolution temporelle d'un état cohérent est concentrée le long des trajectoires classiques . L'oscillateur harmonique linéaire quantique, et donc les états cohérents, apparaissent dans la théorie quantique d'un large éventail de systèmes physiques. Ils apparaissent dans la théorie quantique de la lumière ( électrodynamique quantique ) et d'autres théories des champs quantiques bosoniques .

Alors que les paquets d'ondes gaussiens à incertitude minimale étaient bien connus, ils n'ont pas attiré toute l'attention jusqu'à ce que Roy J. Glauber , en 1963, fournisse une description complète de la théorie quantique de la cohérence dans le champ électromagnétique. À cet égard, la contribution simultanée de l' ECG Sudarshan ne doit pas être omise (il y a, cependant, une note dans l'article de Glauber qui se lit comme suit : "Des utilisations de ces états comme fonctions génératrices pour les états quantiques ont, cependant, été faites par J. . Schwinger ). Glauber a été invité à le faire pour fournir une description de l' expérience Hanbury-Brown & Twiss qui a généré des modèles d'interférence de base très large (des centaines ou des milliers de miles) qui pourraient être utilisés pour déterminer les diamètres stellaires. Cela a ouvert la porte à une compréhension beaucoup plus complète de la cohérence (pour en savoir plus, voir la description de la mécanique quantique ). ${\style d'affichage n}$

En optique classique , la lumière est considérée comme des ondes électromagnétiques rayonnant à partir d'une source. Souvent, la lumière laser cohérente est considérée comme une lumière émise par de nombreuses sources de ce type qui sont en phase . En fait, l'image d'un photon en phase avec un autre n'est pas valable en théorie quantique. Le rayonnement laser est produit dans une cavité résonante où la fréquence de résonance de la cavité est la même que la fréquence associée aux transitions d'électrons atomiques fournissant un flux d'énergie dans le champ. Au fur et à mesure que l'énergie dans le mode résonant s'accumule, la probabilité d' émission stimulée , dans ce mode uniquement, augmente. Il s'agit d'une boucle de rétroaction positive dans laquelle l'amplitude du mode résonant augmente de façon exponentielle jusqu'à ce que certains effets non linéaires la limitent. À titre de contre-exemple, une ampoule émet de la lumière dans un continuum de modes, et il n'y a rien qui sélectionne un mode plutôt qu'un autre. Le processus d'émission est très aléatoire dans l'espace et dans le temps (voir lumière thermique ). Dans un laser , cependant, la lumière est émise dans un mode résonant, et ce mode est hautement cohérent . Ainsi, la lumière laser est idéalisée comme un état cohérent. (Classiquement, nous décrivons un tel état par un champ électrique oscillant comme une onde stable. Voir Fig.1)

Outre la description des lasers, les états cohérents se comportent également de manière pratique lors de la description de l'action quantique des séparateurs de faisceaux : deux faisceaux d'entrée d'états cohérents se convertiront simplement en deux faisceaux d'états cohérents en sortie avec de nouvelles amplitudes données par les formules d'ondes électromagnétiques classiques ; un comportement aussi simple ne se produit pas pour les autres états d'entrée, y compris les états numériques. De même, si un faisceau lumineux à l'état cohérent est partiellement absorbé, le reste est un état cohérent pur avec une amplitude plus petite, tandis que l'absorption partielle de la lumière à l'état non cohérent produit un état mixte statistique plus compliqué . La lumière thermique peut être décrite comme un mélange statistique d'états cohérents, et la façon typique de définir la lumière non classique est qu'elle ne peut pas être décrite comme un simple mélange statistique d'états cohérents.

Les états propres d'énergie de l'oscillateur harmonique linéaire (par exemple, les masses sur les ressorts, les vibrations du réseau dans un solide, les mouvements vibrationnels des noyaux dans les molécules ou les oscillations dans le champ électromagnétique) sont des états quantiques à nombre fixe. L' état de Fock (par exemple un photon unique) est l'état le plus semblable à une particule ; il a un nombre fixe de particules, et la phase est indéterminée. Un état cohérent distribue son incertitude quantique de manière égale entre les coordonnées canoniquement conjuguées , la position et la quantité de mouvement, et l'incertitude relative en phase [définie heuristiquement ] et en amplitude sont à peu près égales et faibles à haute amplitude.

Définition de la mécanique quantique

Mathématiquement, un état cohérent est défini comme étant le (unique) propre de l' opérateur annihilation â avec des valeurs propres correspondant α . Formellement, cela se lit, ${\style d'affichage |\alpha \rangle }$

${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ~.}$

Puisque â n'est pas hermitienne , α est, en général, un nombre complexe. Écriture | a | et θ sont appelés l'amplitude et la phase de l'état . ${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{i\theta },}$${\style d'affichage |\alpha \rangle }$

L'état est appelé état cohérent canonique dans la littérature, car il existe de nombreux autres types d'états cohérents, comme on peut le voir dans l'article compagnon États cohérents en physique mathématique . ${\style d'affichage |\alpha \rangle }$

Physiquement, cette formule signifie qu'un état cohérent reste inchangé par l'annihilation de l'excitation du champ ou, disons, d'une particule. Un état propre de l'opérateur d'annihilation a une distribution de nombres de Poisson lorsqu'il est exprimé dans une base d'états propres d'énergie, comme indiqué ci-dessous. Une distribution de Poisson est une condition nécessaire et suffisante pour que toutes les détections soient statistiquement indépendantes. Comparez cela à un état à particule unique (état de Fock ): une fois qu'une particule est détectée, il n'y a aucune probabilité d'en détecter une autre. ${\style d'affichage |1\rangle }$

La dérivation de ceci utilisera des opérateurs sans dimension (normalisés non conventionnels) , X et P , normalement appelés quadratures de champ en optique quantique. (Voir Nondimensionnement .) Ces opérateurs sont liés aux opérateurs de position et de quantité de mouvement d'une masse m sur un ressort de constante k ,

${\displaystyle {P}={\sqrt {\frac {1}{2\hbar m\omega }}}\ {\hat {p}}{\text{,}}\quad {X}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\ {\hat {x}}{\text{,}}\quad \quad {\text{where }}\omega \equiv {\sqrt {k /m}}~.}$

Figure 4 : La probabilité de détecter n photons, la distribution du nombre de photons, de l'état cohérent de la figure 3. Comme cela est nécessaire pour une distribution poissonienne, le nombre moyen de photons est égal à la variance de la distribution du nombre de photons. Les barres renvoient à la théorie, les points aux valeurs expérimentales.

Pour un champ optique ,

${\displaystyle ~E_{\rm {R}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\ !\cos(\theta )X\qquad {\text{and}}\qquad ~E_{\rm {I}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V }}\right)^{1/2}\!\!\!\sin(\theta )X~}$

sont les composantes réelles et imaginaires du mode du champ électrique à l'intérieur d'une cavité de volume . ${\style d'affichage V}$

Avec ces opérateurs (sans dimension), l'hamiltonien de l'un ou l'autre système devient

${\displaystyle {H}=\hbar \omega \left({P}^{2}+{X}^{2}\right){\text{,}}\qquad {\text{with}}\qquad \left[{X},{P}\right]\equiv {XP}-{PX}={\frac {i}{2}}\,{I}.}$

Erwin Schrödinger recherchait les états les plus classiques lorsqu'il a introduit pour la première fois les paquets d'ondes gaussiens à incertitude minimale. L' état quantique de l'oscillateur harmonique qui minimise la relation d'incertitude avec une incertitude également répartie entre X et P satisfait l'équation

${\displaystyle \left({X}-\langle {X}\rangle \right)\,|\alpha \rangle =-i\left({P}-\langle {P}\rangle \right)\,| \alpha \rangle {\text{,}}}$

ou équivalent,

${\displaystyle \left({X}+i{P}\right)\,\left|\alpha \right\rangle =\left\langle {X}+i{P}\right\rangle \,\left| \alpha \right\rangle ~,}$

et donc

${\displaystyle \langle \alpha \!\mid \left({X}-\langle X\rangle \right)^{2}+\left({P}-\langle P\rangle \right)^{2} \mid \!\alpha \rangle =1/2~.}$

Ainsi, étant donné (∆ X −∆ P )² ≥ 0 , Schrödinger a trouvé que les états d'incertitude minimum pour l'oscillateur harmonique linéaire sont les états propres de ( X+iP ) . Puisque â est ( X+iP ) , ceci est reconnaissable comme un état cohérent au sens de la définition ci-dessus.

En utilisant la notation pour les états multi-photons, Glauber a caractérisé l'état de cohérence complète à tous les ordres dans le champ électromagnétique comme étant l'état propre de l'opérateur d'annihilation - formellement, dans un sens mathématique, le même état que celui trouvé par Schrödinger. Le nom d' état cohérent s'est imposé après les travaux de Glauber.

Si l'incertitude est minimisée, mais pas nécessairement également équilibrée entre X et P , l'état est appelé un état cohérent compressé .

L'emplacement de l' état de cohérence dans le plan complexe ( espace de phase ) est centrée à la position et l' impulsion d'un oscillateur classique de la phase θ et d' amplitude | a | donné par la valeur propre α (ou la même valeur de champ électrique complexe d'une onde électromagnétique). Comme le montre la Figure 5, l'incertitude, également réparties dans toutes les directions, est représenté par un disque ayant un diamètre une / deux . Lorsque la phase varie, l'état cohérent tourne autour de l'origine et le disque ne se déforme ni ne s'étend. C'est ce qu'un état quantique peut être le plus similaire à un seul point dans l'espace des phases.

Figure 5 : Tracé de l'espace des phases d'un état cohérent. Cela montre que l'incertitude dans un état cohérent est également répartie dans toutes les directions. Les axes horizontal et vertical sont respectivement les quadratures X et P du champ (voir texte). Les points rouges sur l'axe des x tracent les limites du bruit quantique sur la figure 1. Pour plus de détails, voir la figure correspondante de la formulation de l'espace des phases .

Étant donné que l'incertitude (et donc le bruit de mesure) reste constante à 1 / deux que l'amplitude de l'augmentation d'oscillation, les se comporte d'état de plus en plus comme une onde sinusoïdale, comme illustré sur la figure 1. De plus, étant donné que l'état de vide est tout simplement l'état cohérent avec α =0, tous les états cohérents ont la même incertitude que le vide. Par conséquent, on peut interpréter le bruit quantique d'un état cohérent comme étant dû aux fluctuations du vide. ${\style d'affichage |0\rangle }$

La notation ne fait pas référence à un état de Fock . Par exemple, lorsque α = 1, on ne devrait pas erreur de l'état Fock photon unique, qui est également notée dans sa propre notation. L'expression avec α = 1 représente une distribution de Poisson d'états numériques avec un nombre de photons moyen de l' unité. ${\style d'affichage |\alpha \rangle }$${\style d'affichage |1\rangle }$${\style d'affichage |1\rangle }$${\style d'affichage |\alpha \rangle }$${\style d'affichage |n\rangle }$

La solution formelle de l'équation aux valeurs propres est l'état du vide déplacé vers un emplacement α dans l'espace des phases, c'est-à-dire qu'elle est obtenue en laissant l' opérateur de déplacement unitaire D(α) opérer sur le vide,

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }$,

où â = X+iP et â ^† = X-iP .

Cela peut être facilement vu, comme le peuvent pratiquement tous les résultats impliquant des états cohérents, en utilisant la représentation de l'état cohérent dans la base des états de Fock,

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over { \sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e ^{-{\alpha ^{*}{\hat {a}}}}|0\rangle ~,}$

où sont l'énergie (nombre) vecteurs propres de l'hamiltonien ${\style d'affichage |n\rangle }$

${\displaystyle H=\hbar \omega ({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}})~.}$

Pour la distribution poissonnienne correspondante , la probabilité de détecter n photons est

${\displaystyle P(n)=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}=e^{-\langle n\rangle }{\frac {\langle n\rangle ^{n}}{n ! }}~.}$

De même, le nombre moyen de photons dans un état cohérent est

${\displaystyle ~\langle n\rangle =\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle =|\alpha |^{2}~}$

et l'écart est

${\displaystyle ~(\Delta n)^{2}={\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)=|\alpha |^{2}~}$.

C'est-à-dire que l'écart type du nombre détecté correspond à la racine carrée du nombre détecté. Donc dans la limite des grands α , ces statistiques de détection sont équivalentes à celle d'une onde stable classique.

Ces résultats s'appliquent aux résultats de détection à un seul détecteur et se rapportent donc à la cohérence du premier ordre (voir degré de cohérence ). Cependant, pour les mesures corrélant des détections à plusieurs détecteurs, une cohérence d'ordre supérieur est impliquée (par exemple, des corrélations d'intensité, une cohérence de second ordre, à deux détecteurs). La définition de Glauber de la cohérence quantique implique des fonctions de corrélation d'ordre n (cohérence d'ordre n ) pour tout n . L'état cohérent parfait a tous les n-ordres de corrélation égaux à 1 (cohérent). Il est parfaitement cohérent avec toutes les commandes.

Les travaux de Roy J. Glauber ont été inspirés par les résultats de Hanbury-Brown et Twiss qui ont produit des motifs d'interférence de premier ordre à longue portée (des centaines ou des milliers de kilomètres) grâce à l'utilisation de fluctuations d'intensité (manque de cohérence de second ordre), avec filtres à bande étroite (cohérence partielle du premier ordre) à chaque détecteur. (On peut imaginer, sur de très courtes durées, une figure d'interférence quasi-instantanée des deux détecteurs, due aux filtres à bande étroite, qui danse aléatoirement en raison de la différence de phase relative changeante. Avec un compteur de coïncidence, la figure d'interférence dansante serait être plus fort aux moments d'intensité accrue [commun aux deux faisceaux], et ce motif serait plus fort que le bruit de fond.) Presque toute l'optique avait été concernée par la cohérence de premier ordre. Les résultats de Hanbury-Brown et Twiss ont incité Glauber à examiner la cohérence d'ordre supérieur, et il est venu avec une description complète de la théorie quantique de la cohérence à tous les ordres dans le champ électromagnétique (et une description quantique du signal plus-bruit) . Il a inventé le terme d' état cohérent et a montré qu'ils sont produits lorsqu'un courant électrique classique interagit avec le champ électromagnétique.

A α »1 , de la figure 5, la géométrie simple donne AO | a | = 1/2. À partir de là, il apparaît qu'il existe un compromis entre l'incertitude du nombre et l'incertitude de la phase, Δθ Δn = 1/2, qui est parfois interprété comme une relation d'incertitude du nombre et de la phase ; mais ce n'est pas une relation formelle d'incertitude stricte : il n'y a pas d'opérateur de phase défini de manière unique en mécanique quantique.

La fonction d'onde d'un état cohérent

Evolution temporelle de la distribution de probabilité avec phase quantique (couleur) d'un état cohérent avec =3.

Pour trouver la fonction d'onde de l'état cohérent, le paquet d'onde de Schrödinger à incertitude minimale, il est plus facile de commencer par l'image de Heisenberg de l' oscillateur harmonique quantique pour l'état cohérent . Noter que ${\style d'affichage |\alpha \rangle }$

${\displaystyle ~a(t)|\alpha \rangle =e^{-i\omega t}a(0)|\alpha \rangle }$

L'état cohérent est un état propre de l'opérateur d'annihilation dans l' image de Heisenberg .

Il est facile de voir que, dans l' image de Schrödinger , la même valeur propre

${\displaystyle ~\alpha (t)=e^{-i\omega t}\alpha (0)~}$

se produit,

${\displaystyle ~a|\alpha (t)\rangle =\alpha (t)|\alpha (t)\rangle }$ .

Dans les représentations coordonnées résultant de l'exploitation de , cela revient à l'équation différentielle, ${\displaystyle \langle x|}$

${\displaystyle ~{\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {\partial }{\partial x }}\right)\psi ^{\alpha }(x,t)=\alpha (t)\psi ^{\alpha }(x,t)~,}$

qui se résout facilement pour donner

${\displaystyle ~\psi ^{(\alpha )}(x,t)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\ Bigg (}-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(x-{\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\Re [\alpha (t)] \right)^{2}+i{\sqrt {\frac {2m\omega }{\hbar }}}\Im [\alpha (t)]x+i\theta (t){\Bigg )}~, }$

où (t) est une phase encore indéterminée, à fixer en exigeant que la fonction d'onde satisfasse l'équation de Schrödinger.

Il s'ensuit que

${\displaystyle ~\theta (t)=-{\frac {\omega t}{2}}+{\frac {|\alpha (0)|^{2}\sin(2\omega t-2\sigma )}{2}}~,{\text{where}}\qquad \alpha (0)\equiv |\alpha (0)|\exp(i\sigma )~,}$

de sorte que σ est la phase initiale de la valeur propre.

La position moyenne et la quantité de mouvement de ce "paquet d'ondes de Schrödinger minimal" ψ ^(α) oscillent donc comme un système classique ,

La densité de probabilité reste une gaussienne centrée sur cette moyenne oscillante,

${\displaystyle |\psi ^{(\alpha )}(x,t)|^{2}={\sqrt {\frac {m\omega }{\pi \hbar }}}e^{-{\frac {m\omega }{\hbar }}\left(x-\langle {\hat {x}}(t)\rangle \right)^{2}}.}$

Caractéristiques mathématiques des états cohérents canoniques

Les états cohérents canoniques décrits jusqu'ici ont trois propriétés qui sont mutuellement équivalentes, puisque chacun d'eux spécifie complètement l'état , à savoir, ${\style d'affichage |\alpha \rangle }$

1. Ce sont des vecteurs propres de l' opérateur d'annihilation :   .${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \,}$
2. Ils sont obtenus à partir du vide par application d'un opérateur de déplacement unitaire :   .${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle \,}$
3. Ce sont des états d'incertitude minimale (équilibrée) :   .${\displaystyle \Delta X=\Delta P=1/2\,}$

Chacune de ces propriétés peut conduire à des généralisations, en général différentes les unes des autres (voir l'article « États cohérents en physique mathématique » pour certaines d'entre elles). Nous soulignons que les états cohérents ont des caractéristiques mathématiques très différentes de celles d'un état de Fock ; par exemple, deux états cohérents différents ne sont pas orthogonaux,

${\displaystyle \langle \beta |\alpha \rangle =e^{-{1 \over 2}(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2}-2\beta ^{*}\ alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta )}$

(lié au fait qu'ils sont des vecteurs propres de l'opérateur d'annihilation non auto-adjoint â ).

Ainsi, si l'oscillateur est dans l'état quantique il l'est également avec une probabilité non nulle dans l'autre état quantique (mais plus les états sont éloignés les uns des autres dans l'espace des phases, plus la probabilité est faible). Cependant, puisqu'ils obéissent à une relation de fermeture, tout état peut être décomposé sur l'ensemble des états cohérents. Ils forment donc une base surcomplète , dans laquelle on peut décomposer en diagonale n'importe quel état. C'est la prémisse de la représentation Sudarshan-Glauber P . ${\style d'affichage |\alpha \rangle }$${\displaystyle |\beta \rangle }$

Cette relation de fermeture peut être exprimée par la résolution de l'opérateur identité I dans l'espace vectoriel des états quantiques,

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |d^{2}\alpha =I\qquad d^{2}\alpha \equiv d\Re ( \alpha )\,d\Im (\alpha )~.}$

Cette résolution de l'identité est intimement liée à la transformée de Segal-Bargmann .

Une autre particularité est qu'il n'a pas de propre (tandis que â n'a pas de propre). L'égalité suivante est le substitut formel le plus proche, et s'avère utile pour les calculs techniques, ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

${\displaystyle a^{\dagger }|\alpha \rangle =\left({\partial \over \partial \alpha }+{\alpha ^{*} \over \alpha }{\partial \over \partial \alpha ^{*}}+\alpha ^{*}\right)|\alpha \rangle ~.}$

Ce dernier état est connu sous le nom d'"état d'Agarwal" ou état cohérent à photons ajoutés et désigné par ${\displaystyle |\alpha ,1\rangle .}$

Les états d'Agarwal normalisés d'ordre n peuvent être exprimés sous la forme ${\displaystyle |\alpha ,n\rangle =[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle /\|[{{\hat {a}}^{ \dagger }]}^{n}|\alpha \rangle \|~.}$

La résolution ci-dessus de l'identité peut être dérivée (en se limitant à une dimension spatiale pour plus de simplicité) en prenant des éléments de matrice entre les états propres de position, , des deux côtés de l'équation. Du côté droit, cela donne immédiatement δ(xy) . Sur le côté gauche, la même chose est obtenue en insérant ${\displaystyle \langle x|\cdots |y\rangle }$

${\displaystyle \psi ^{\alpha }(x,t)=\langle x|\alpha (t)\rangle }$

de la section précédente (le temps est arbitraire), puis en intégrant sur en utilisant la représentation de Fourier de la fonction delta , puis en effectuant une intégrale gaussienne sur . ${\displaystyle \Im (\alpha )}$${\style d'affichage \Re (\alpha )}$

En particulier, l'état du paquet d'ondes gaussien de Schroedinger découle de la valeur explicite

${\displaystyle \langle x|\alpha \rangle ={\frac {e^{-{\frac {(x-{\sqrt {2}}\Re (\alpha ))^{2}}{2}} +ix{\sqrt {2}}\Im (\alpha )}}{\pi ^{1/4}}}~.}$

La résolution de l'identité peut également être exprimée en termes de position et de quantité de mouvement des particules. Pour chaque dimension de coordonnées (en utilisant une notation adaptée avec une nouvelle signification pour ), ${\style d'affichage x}$

${\displaystyle |\alpha \rangle \equiv |x,p\rangle \qquad \qquad x\equiv \langle {\hat {x}}\rangle \qquad \qquad p\equiv \langle {\hat {p}} \rangle }$

la relation de fermeture des états cohérents se lit

${\displaystyle I=\int |x,p\rangle \,\langle x,p|~{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} p}{2\pi \hbar }}~ .}$

Ceci peut être inséré dans n'importe quelle valeur d'espérance de la mécanique quantique, la reliant à une intégrale quasi-classique de l'espace des phases et expliquant, en particulier, l'origine des facteurs de normalisation pour les fonctions de partition classiques , cohérentes avec la mécanique quantique. ${\displaystyle (2\pi \hbar )^{-1}}$

En plus d'être un état propre exact des opérateurs d'annihilation, un état cohérent est un état propre commun approximatif de la position et de la quantité de mouvement des particules. Restreindre à nouveau à une dimension,

${\displaystyle {\hat {x}}|x,p\rangle \approx x|x,p\rangle \qquad \qquad {\hat {p}}|x,p\rangle \approx p|x,p\ rang }$

L'erreur dans ces approximations est mesurée par les incertitudes de position et de quantité de mouvement,

${\displaystyle \langle x,p|\left({\hat {x}}-x\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta x\right)^{2}\qquad \qquad \langle x,p|\left({\hat {p}}-p\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta p\right)^{2}~.}$

État cohérent thermique

Un état cohérent thermique monomode est produit en déplaçant un état mixte thermique dans l' espace des phases , en analogie directe avec le déplacement de l'état de vide en vue de générer un état cohérent. La matrice de densité d'un état thermique cohérent dans la représentation de l'opérateur lit

${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta )={\frac {1}{Z}}D(\alpha )e^{-\hbar \beta \omega a^{\dagger }a}D^{\ poignard }(\alpha ),}$

où est l' opérateur de déplacement qui génère l'état cohérent d'amplitude complexe , et . La fonction de partition est égale à ${\style d'affichage D(\alpha )}$${\displaystyle D(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle }$${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle \beta =1/(k_{B}T)}$

${\displaystyle Z={\text{tr}}\left\{\displaystyle e^{-\hbar \beta \omega a^{\dagger }a}\right\}=\sum _{n=0}^ {\infty }e^{-n\beta \hbar \omega }={\frac {1}{1-e^{-\hbar \beta \omega }}}.}$

En utilisant le développement de l'opérateur d'unité dans les états de Fock , , la définition de l' opérateur de densité peut être exprimée sous la forme suivante ${\displaystyle I\equiv \sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|}$

${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta )={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }D( \alpha )|n\rangle \langle n|D^{\dagger }(\alpha )={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n \hbar \beta \omega }|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|,}$

où représente l' état de Fock déplacé . On remarque que si la température descend à zéro, on a ${\displaystyle |\alpha ,n\rangle }$

${\displaystyle \lim _{\beta \to \infty }\rho (\alpha ,\beta )=\lim _{\beta \to \infty }\sum _{n=0}^{\infty }e^ {-n\hbar \beta \omega }(1-e^{-\hbar \beta \omega })|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|=\sum _{n=0}^{ \infty }\delta _{n,0}|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|=|\alpha ,0\rangle \langle \alpha ,0|,}$

qui est la matrice de densité pour un état cohérent. Le nombre moyen de photons dans cet état peut être calculé comme ci-dessous

${\displaystyle \langle n\rangle ={\text{Tr}}\{\rho a^{\dagger }a\}={\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{D ^{\dagger }(\alpha )a^{\dagger }D({\alpha })D^{\dagger }(\alpha )aD(\alpha )e^{-\beta \hbar \omega a^{ \dagger }a}\}={\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{(a^{\dagger }+\alpha ^{*})(a+\alpha )e^{ -\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}=}$

${\displaystyle =|\alpha |^{2}{\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\ }+{\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{a^{\dagger }ae^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}=|\ alpha |^{2}+{\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\beta \hbar \omega },}$

où pour le dernier terme on peut écrire

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\beta \hbar \omega }=-{\frac {\partial }{\partial (\beta \hbar \omega )}} \left(\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta \hbar \omega }\right)={\frac {e^{-\beta \hbar \omega }}{( 1-e^{-\beta \hbar \omega })^{2}}}.}$

En conséquence, nous trouvons

${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}+\langle n\rangle _{\text{th}},}$

où est la moyenne du nombre de photons calculé par rapport à l'état thermique. Nous avons défini ici, pour faciliter la notation, ${\displaystyle \langle n\rangle _{\text{th}}}$

${\displaystyle \langle O\rangle _{\text{th}}={\frac {1}{Z}}{\text{tr}}\{e^{-\beta \hbar \omega a^{\ poignard }a}O\},}$

et nous écrivons explicitement

${\displaystyle \langle n\rangle _{\text{th}}={\frac {1}{e^{\beta \hbar \omega }-1}}.}$

A la limite nous obtenons , ce qui est cohérent avec l'expression de l' opérateur matriciel densité à température nulle. De même, la variance du nombre de photons peut être évaluée comme ${\displaystyle \beta \to \infty }$${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\langle n^{2}\rangle -\langle n\rangle ^{2}=\sigma _{\text{th}}^{2}+|\alpha |^ {2}\left(1+2\langle a^{\dagger }a\rangle _{\text{th}}\right),}$

avec . On en déduit que le second moment ne peut pas être découplé des moments de distribution thermique et quantique, contrairement à la valeur moyenne (premier moment). En ce sens, la statistique photonique de l'état thermique déplacé n'est pas décrite par la somme des statistiques de Poisson et de Boltzmann . La distribution de l'état thermique initial dans l'espace des phases s'élargit en raison du déplacement cohérent. ${\displaystyle \sigma _{\text{th}}^{2}=\langle n^{2}\rangle _{\text{th}}-\langle n\rangle _{\text{th}}^ {2}}$

États cohérents des condensats de Bose-Einstein

• Un condensat de Bose-Einstein (BEC) est un ensemble d'atomes de bosons qui sont tous dans le même état quantique. Dans un système thermodynamique, l'état fondamental devient macroscopiquement occupé en dessous d'une température critique - à peu près lorsque la longueur d'onde thermique de Broglie est plus longue que l'espacement interatomique. On pense que la superfluidité dans l'hélium-4 liquide est associée à la condensation de Bose-Einstein dans un gaz parfait. Mais ⁴ He a des interactions fortes, et le facteur de structure liquide (une statistique d'ordre 2) joue un rôle important. L'utilisation d'un état cohérent pour représenter la composante superfluide de ⁴ Il a fourni une bonne estimation du condensat / fractions non-condensat dans superfluidité, conformément aux résultats de la diffusion des neutrons lents. La plupart des propriétés superfluides spéciales découlent directement de l'utilisation d'un état cohérent pour représenter la composante superfluide - qui agit comme un état monocorps occupé macroscopiquement avec une amplitude et une phase bien définies sur tout le volume. (Le composant superfluide de ⁴ He passe de zéro à la température de transition à 100 % au zéro absolu. Mais la fraction de condensat est d'environ 6 % à la température du zéro absolu, T=0K.)
• Au début de l'étude de la superfluidité, Penrose et Onsager ont proposé une métrique ("paramètre d'ordre") pour la superfluidité. Elle était représentée par une composante factorisée macroscopique (une valeur propre macroscopique) dans la matrice de densité réduite du premier ordre. Plus tard, CN Yang a proposé une mesure plus généralisée de la cohérence quantique macroscopique, appelée « Ordre à longue portée hors diagonale » (ODLRO), qui comprenait des systèmes de fermions ainsi que des bosons. ODLRO existe chaque fois qu'il existe une composante factorisée macroscopiquement grande (valeur propre) dans une matrice de densité réduite de n'importe quel ordre. La superfluidité correspond à une grande composante factorisée dans la matrice de densité réduite du premier ordre. (Et, toutes les matrices de densité réduite d'ordre supérieur se comportent de la même manière.) La supraconductivité implique une grande composante factorisée dans la matrice de densité réduite de 2ème ordre (" paire d'électrons de Cooper ").
• Les matrices de densité réduite utilisées pour décrire la cohérence quantique macroscopique dans les superfluides sont formellement les mêmes que les fonctions de corrélation utilisées pour décrire les ordres de cohérence dans le rayonnement. Les deux sont des exemples de cohérence quantique macroscopique. La composante cohérente macroscopiquement grande, plus le bruit, dans le champ électromagnétique, telle que donnée par la description de Glauber du signal plus le bruit, est formellement la même que la composante superfluide macroscopiquement grande plus la composante fluide normale dans le modèle à deux fluides de la superfluidité.
• Le rayonnement électromagnétique quotidien, comme les ondes radio et TV, est également un exemple d'états quasi cohérents (cohérence quantique macroscopique). Cela devrait "donner une pause" à la démarcation conventionnelle entre quantique et classique.
• La cohérence en superfluidité ne doit être attribuée à aucun sous-ensemble d'atomes d'hélium ; c'est une sorte de phénomène collectif dans lequel tous les atomes sont impliqués (similaire à l'appariement de Cooper en supraconductivité, comme indiqué dans la section suivante).

États électroniques cohérents en supraconductivité

• Les électrons sont des fermions, mais lorsqu'ils s'apparient en paires de Cooper, ils agissent comme des bosons et peuvent ainsi former collectivement un état cohérent à basse température. Cet appariement n'est pas réellement entre les électrons, mais dans les états disponibles pour les électrons entrant et sortant de ces états. L'appariement de Cooper fait référence au premier modèle de supraconductivité.
• Ces états cohérents expliquent en partie des effets tels que l' effet Hall quantique dans les semi - conducteurs supraconducteurs à basse température .

Généralisations

• Selon Gilmore et Perelomov, qui l'ont montré indépendamment, la construction d'états cohérents peut être considérée comme un problème en théorie des groupes , et ainsi les états cohérents peuvent être associés à des groupes différents du groupe de Heisenberg , ce qui conduit aux états cohérents canoniques discutés ci-dessus. . De plus, ces états cohérents peuvent être généralisés aux groupes quantiques . Ces sujets, avec des références à des travaux originaux, sont discutés en détail dans les États cohérents en physique mathématique .

• Dans la théorie quantique des champs et la théorie des cordes , une généralisation des états cohérents au cas où une infinité de degrés de liberté sont utilisés pour définir un état de vide avec une valeur attendue de vide différente du vide d'origine.
• Dans les systèmes quantiques à plusieurs corps unidimensionnels avec des degrés de liberté fermioniques, les états excités de faible énergie peuvent être approximés comme des états cohérents d'un opérateur de champ bosonique qui crée des excitations particule-trou. Cette approche est appelée bosonisation .
• Les états cohérents gaussiens de la mécanique quantique non relativiste peuvent être généralisés aux états cohérents relativistes des particules de Klein-Gordon et de Dirac.
• Les états cohérents sont également apparus dans des travaux sur la gravitation quantique à boucles ou pour la construction de la relativité générale quantique canonique (semi)classique.

Voir également

• États cohérents en physique mathématique
• Théorie quantique des champs
• Optique quantique
• Amplificateur quantique
• Champ électromagnétique
• Degré de cohérence

Liens externes

• États quantiques du champ lumineux
• États de Glauber : États cohérents de l'oscillateur harmonique quantique
• Mesurer un état cohérent avec les statistiques de photons interactives

Les références