Filtre en peigne - Comb filter

Dans le traitement du signal , un filtre en peigne est un filtre mis en œuvre en ajoutant une version retardée d'un signal à lui-même, provoquant des interférences constructives et destructives . La réponse en fréquence d'un filtre en peigne est constituée d'une série d'encoches régulièrement espacées, donnant l'apparence d'un peigne .

Applications

Les filtres en peigne sont utilisés dans diverses applications de traitement du signal, notamment :

• Filtres en cascade intégrateur-peigne (CIC), couramment utilisés pour l'anticrénelage lors des opérations d' interpolation et de décimation qui modifient la fréquence d'échantillonnage d'un système à temps discret.
• Les filtres en peigne 2D et 3D implémentés dans le matériel (et parfois dans le logiciel) dans les décodeurs de télévision analogique PAL et NTSC , réduisent les artefacts tels que l' exploration de points .
• Traitement du signal audio , y compris le délai , le flanger , la synthèse de modélisation physique et la synthèse de guide d' ondes numérique . Si le délai est fixé à quelques millisecondes, un filtre en peigne peut modéliser l'effet des ondes stationnaires acoustiques dans une cavité cylindrique ou dans une corde vibrante .
• En astronomie, l' astro-peigne promet d'augmenter de près de cent fois la précision des spectrographes existants .

En acoustique , le filtrage en peigne peut apparaître comme un artefact indésirable. Par exemple, deux haut-parleurs jouant le même signal à des distances différentes de l'auditeur créent un effet de filtrage en peigne sur l'audio. Dans n'importe quel espace clos, les auditeurs entendent un mélange de son direct et de son réfléchi. Le son réfléchi prend un chemin plus long et retardé par rapport au son direct, et un filtre en peigne est créé où les deux se mélangent à l'auditeur.

Mise en œuvre

Les filtres en peigne existent sous deux formes, feedforward et feedback ; qui font référence à la direction dans laquelle les signaux sont retardés avant d'être ajoutés à l'entrée.

Les filtres en peigne peuvent être mis en œuvre sous des formes à temps discret ou à temps continu qui sont très similaires.

Formulaire d'anticipation

La structure générale d'un filtre en peigne feedforward est décrite par l' équation aux différences :

${\displaystyle y[n]=x[n]+\alpha x[nK]}$

où est la longueur de retard (mesuré dans des échantillons), et α est un facteur de mise à l' échelle appliquée au signal retardé. La transformée en z des deux membres de l'équation donne : ${\style d'affichage K}$

${\displaystyle Y(z)=\left(1+\alpha z^{-K}\right)X(z)}$

La fonction de transfert est définie comme :

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}=1+\alpha z^{-K}={\frac {z^{K}+\alpha }{ z^{K}}}}$

Fréquence de réponse

La réponse en fréquence d'un système à temps discret exprimée dans le domaine z , est obtenue par substitution z = e ^jΩ . Par conséquent, pour le filtre en peigne feedforward :

${\displaystyle H\left(e^{j\Omega }\right)=1+\alpha e^{-j\Omega K}}$

En utilisant la formule d'Euler , la réponse en fréquence est également donnée par

${\displaystyle H\left(e^{j\Omega }\right)={\bigl [}1+\alpha \cos(\Omega K){\bigr ]}-j\alpha \sin(\Omega K) }$

La réponse en amplitude , qui ignore la phase, est souvent intéressante . Ceci est défini comme :

${\displaystyle \left|H\left(e^{j\Omega }\right)\right|={\sqrt {\Re \left\{H\left(e^{j\Omega }\right)\right \}^{2}+\Im \left\{H\left(e^{j\Omega }\right)\right\}^{2}}}}$

Dans le cas du filtre en peigne feedforward, il s'agit de :

${\displaystyle \left|H\left(e^{j\Omega }\right)\right|={\sqrt {\left(1+\alpha ^{2}\right)+2\alpha \cos(\ Oméga K)}}}$

La (1 + α ² ) durée est constante, tandis que la 2 α cos ( #k ) durée varie périodiquement . Par conséquent, la réponse en amplitude du filtre en peigne est périodique.

Les graphiques montrent la réponse d'amplitude pour différentes valeurs de α , démontrant cette périodicité. Quelques propriétés importantes :

• La réponse chute périodiquement à un minimum local (parfois connu sous le nom de cran ) et augmente périodiquement jusqu'à un maximum local (parfois connu sous le nom de pic ).
• Pour les valeurs positives de α , le premier minimum se produit à la moitié de la période de retard et répéter à des multiples pairs de la fréquence de retard par la suite:

${\displaystyle f={\frac {1}{2K}},{\frac {3}{2K}},{\frac {5}{2K}}\cdots }$.

• Les niveaux des maxima et minima sont toujours équidistants de 1.
• Lorsque α = ± 1 , les minima ont une amplitude nulle. Dans ce cas, les minima sont parfois appelés nulls .
• Les maxima pour les valeurs positives de α coïncident avec les minima pour les valeurs négatives de , et vice versa.${\style d'affichage \alpha }$

Réponse impulsive

Le filtre en peigne feedforward est l'un des filtres à réponse impulsionnelle finie les plus simples . Sa réponse est simplement l'impulsion initiale avec une deuxième impulsion après le délai.

Interprétation pôle-zéro

En regardant à nouveau la fonction de transfert de domaine z du filtre en peigne feedforward :

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{K}+\alpha }{z^{K}}}}$

le numérateur est égal à zéro chaque fois que z ^K = − α . Celui-ci a K solutions, également espacées autour d'un cercle dans le plan complexe ; ce sont les zéros de la fonction de transfert. Le dénominateur est zéro à z ^K = 0 , donnant K pôles à z = 0 . Cela conduit à un tracé pôle-zéro comme ceux illustrés.

Pôle-zéro parcelle de filtre en peigne feedforward avec K = 8 et α = 0,5

Pôle-zéro parcelle de filtre en peigne feedforward avec K = 8 et α = -0,5

Formulaire de commentaires

De même, la structure générale d'un filtre en peigne de rétroaction est décrite par l' équation de différence :

${\displaystyle y[n]=x[n]+\alpha y[nK]}$

Cette équation peut être réarrangée de manière à ce que tous les termes dans soient du côté gauche, puis en prenant la transformée en z : ${\style d'affichage y}$

${\displaystyle \left(1-\alpha z^{-K}\right)Y(z)=X(z)}$

La fonction de transfert est donc :

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1}{1-\alpha z^{-K}}}={\frac {z ^{K}}{z^{K}-\alpha }}}$

Fréquence de réponse

Substitution de z = e ^jΩ dans l' expression du domaine z pour le filtre en peigne de rétroaction :

${\displaystyle H\left(e^{j\Omega }\right)={\frac {1}{1-\alpha e^{-j\Omega K}}}}$

La réponse en amplitude est la suivante :

${\displaystyle \left|H\left(e^{j\Omega }\right)\right|={\frac {1}{\sqrt {\left(1+\alpha ^{2}\right)-2 \alpha \cos(\Omega K)}}}}$

Encore une fois, la réponse est périodique, comme le montrent les graphiques. Le filtre en peigne de rétroaction a certaines propriétés en commun avec la forme feedforward :

• La réponse chute périodiquement à un minimum local et augmente jusqu'à un maximum local.
• Les maxima pour les valeurs positives de α coïncident avec les minima pour les valeurs négatives de , et vice versa.${\style d'affichage \alpha }$
• Pour les valeurs positives de α , le premier maximum se produit à 0 et se répète à des multiples pairs de la fréquence de retard par la suite:

${\displaystyle f=0,{\frac {1}{K}},{\frac {2}{K}},{\frac {3}{K}}\cdots }$.

Cependant, il existe également des différences importantes car la réponse en amplitude a un terme au dénominateur :

• Les niveaux des maxima et des minima ne sont plus équidistants de 1. Les maxima ont une amplitude de 1/1 − α.
• Le filtre n'est stable que si | a | est strictement inférieur à 1. Comme le montrent les graphiques, comme | a | augmente, l'amplitude des maxima augmente de plus en plus rapidement.

Réponse impulsive

Le filtre en peigne de rétroaction est un type simple de filtre à réponse impulsionnelle infinie . Si elle est stable, la réponse consiste simplement en une série répétée d'impulsions dont l'amplitude diminue avec le temps.

Interprétation pôle-zéro

En regardant à nouveau la fonction de transfert de domaine z du filtre en peigne de rétroaction :

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{K}}{z^{K}-\alpha }}}$

Cette fois, le numérateur est zéro à z ^K = 0 , donnant K zéros à z = 0 . Le dénominateur est égal à zéro lorsque z ^K = α . Celui-ci a K solutions, également espacées autour d'un cercle dans le plan complexe ; ce sont les pôles de la fonction de transfert. Cela conduit à un tracé pôle-zéro comme ceux illustrés ci-dessous.

Pôle-zéro parcelle de filtre en peigne à rétroaction avec K = 8 et α = 0,5

Pôle-zéro parcelle de filtre en peigne à rétroaction avec K = 8 et α = -0,5

Filtres en peigne à temps continu

Les filtres en peigne peuvent également être mis en œuvre en temps continu . La forme d'anticipation peut être décrite par l'équation :

${\style d'affichage y(t)=x(t)+\alpha x(t-\tau )}$

où τ est le retard (en secondes). Celui-ci a la fonction de transfert suivante :

${\displaystyle H(s)=1+\alpha e^{-s\tau }}$

La forme prédictive consiste en un nombre infini de zéros espacés le long de l'axe jω.

Le formulaire de rétroaction a l'équation :

${\displaystyle y(t)=x(t)+\alpha y(t-\tau )}$

et la fonction de transfert suivante :

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1-\alpha e^{-s\tau }}}}$

La forme de rétroaction consiste en un nombre infini de pôles espacés le long de l'axe jω.

Les implémentations en temps continu partagent toutes les propriétés des implémentations en temps discret respectives.

Voir également

• Interféromètre Fabry–Pérot

Les références

Liens externes

• Médias liés aux filtres en peigne sur Wikimedia Commons