Algèbre booléenne complète - Complete Boolean algebra

Cet article concerne un type de structure mathématique. Pour des ensembles complets d'opérateurs booléens, consultez Complétude fonctionnelle .

En mathématiques , une algèbre booléenne complète est une algèbre booléenne dans laquelle chaque sous-ensemble a un supremum (la plus petite borne supérieure ). Des algèbres booléennes complètes sont utilisées pour construire des modèles à valeurs booléennes de la théorie des ensembles dans la théorie du forçage . Chaque algèbre booléenne A a une complétion essentiellement unique, qui est une algèbre booléenne complète contenant A telle que chaque élément est le supremum d'un sous-ensemble de A . En tant qu'ensemble partiellement ordonné , ce complètement de A est le complètement de Dedekind–MacNeille .

Plus généralement, si κ est un cardinal alors une algèbre booléenne est dite κ-complète si tout sous-ensemble de cardinalité inférieur à a un supremum.

Exemples

  • Chaque fini algèbre booléenne est terminée.
  • L' algèbre des sous-ensembles d'un ensemble donné est une algèbre booléenne complète.
  • Les ensembles ouverts réguliers de tout espace topologique forment une algèbre booléenne complète. Cet exemple est particulièrement important car chaque poset de forçage peut être considéré comme un espace topologique (une base pour la topologie constituée d'ensembles qui sont l'ensemble de tous les éléments inférieurs ou égaux à un élément donné). L'algèbre ouverte régulière correspondante peut être utilisée pour former des modèles à valeurs booléennes qui sont alors équivalents à des extensions génériques par le poset de forçage donné.
  • L'algèbre de tous les sous-ensembles mesurables d'un espace de mesure -fini, les ensembles nuls modulo, est une algèbre booléenne complète. Lorsque l'espace de mesure est l'intervalle unitaire avec la -algèbre des ensembles mesurables de Lebesgue, l'algèbre booléenne est appelée algèbre aléatoire .
  • L'algèbre de tous les sous-ensembles mesurables d'un espace de mesure est une algèbre booléenne ℵ 1 -complète, mais n'est généralement pas complète.
  • L'algèbre de tous les sous-ensembles d'un ensemble infini qui sont finis ou ont un complément fini est une algèbre booléenne mais n'est pas complète.
  • L'algèbre booléenne de tous les ensembles de Baire modulo les maigres ensembles dans un espace topologique à base dénombrable est complète ; lorsque l'espace topologique est constitué de nombres réels, l'algèbre est parfois appelée algèbre de Cantor .

  • Un autre exemple d'algèbre booléenne qui n'est pas complète est l'algèbre booléenne P(ω) de tous les ensembles de nombres naturels , quotiente par l'idéal Fin des sous-ensembles finis. L'objet résultant, noté P(ω)/Fin, se compose de toutes les classes d'équivalence d'ensembles de naturels, où la relation d'équivalence pertinente est que deux ensembles de naturels sont équivalents si leur différence symétrique est finie. Les opérations booléennes sont définies de manière analogue, par exemple, si A et B sont deux classes d'équivalence dans P(ω)/Fin, nous définissons comme étant la classe d'équivalence de , où a et b sont des éléments (n'importe quels) de A et B respectivement .

    Soit maintenant a 0 , a 1 , … des ensembles infinis deux à deux disjoints de naturels, et soit A 0 ,  A 1 , … leurs classes d'équivalence correspondantes dans P(ω)/Fin. Alors étant donné toute borne supérieure X de A 0 ,  A 1 , … dans P(ω)/Fin, nous pouvons trouver une borne supérieure moindre , en retirant d'un représentant pour X un élément de chaque a n . Donc les A n n'ont pas de supremum.

  • Une algèbre booléenne est complète si et seulement si son espace de pierre des idéaux premiers est extrêmement déconnecté .

Propriétés des algèbres booléennes complètes

  • Le théorème d'extension de Sikorski stipule que si A est une sous-algèbre d'une algèbre booléenne B , alors tout homomorphisme de A à une algèbre booléenne complète C peut être étendu à un morphisme de B à C .
  • Chaque sous-ensemble d'une algèbre booléenne complète a un supremum, par définition ; il s'ensuit que chaque sous-ensemble a également un infimum (la plus grande borne inférieure).
  • Pour une algèbre booléenne complète, les deux lois distributives infinies sont valables.
  • Pour une algèbre booléenne complète, les lois de de-Morgan sont infinies .

L'achèvement d'une algèbre booléenne

La complétion d'une algèbre booléenne peut être définie de plusieurs manières équivalentes :

  • La complétion de A est (à isomorphisme près) l'unique algèbre booléenne complète B contenant A telle que A est dense dans B ; cela signifie que pour chaque élément non nul de B, il existe un élément non nul plus petit de A .
  • La complétion de A est (à isomorphisme près) l'unique algèbre booléenne complète B contenant A telle que chaque élément de B est le supremum d'un sous-ensemble de A .

La complétion d'une algèbre booléenne A peut être construite de plusieurs manières :

  • La complétion est l'algèbre booléenne des ensembles ouverts réguliers dans l' espace de Stone des idéaux premiers de A . Chaque élément x de A correspond à l'ensemble ouvert des idéaux premiers ne contenant pas x (qui est ouvert et fermé, et donc régulier).
  • La complétion est l'algèbre de Boole des coupes régulières de A . Ici , une coupe est un sous - ensemble U de A + (les éléments non nuls de A ) de telle sorte que si q est en U et p  ≤  q alors p est en U , et est appelé régulière si chaque fois que p ne sont pas en U il y a une certaine r  ≤  p tel que U n'a pas d'éléments ≤  r . Chaque élément p de A correspond à la coupe d'éléments  p .

Si A est un espace métrique et B son achèvement, alors toute isométrie de A à un espace métrique complet C peut être étendue à une unique isométrie de B à C . L'énoncé analogue pour les algèbres booléennes complètes n'est pas vrai : un homomorphisme d'une algèbre booléenne A à une algèbre booléenne complète C ne peut pas nécessairement être étendu à un homomorphisme (préservant le supremum) d'algèbres booléennes complètes de la complétion B de A à C . (Par le théorème d'extension de Sikorski, il peut être étendu à un homomorphisme d'algèbres booléennes de B à C , mais ce ne sera pas en général un homomorphisme d'algèbres booléennes complètes ; en d'autres termes, il n'a pas besoin de préserver les suprema.)

Algèbres booléennes κ-complètes libres

À moins que l' Axiome du Choix ne soit relaxé, les algèbres booléennes complètes libres générées par un ensemble n'existent pas (à moins que l'ensemble ne soit fini). Plus précisément, pour tout κ cardinale, il existe une algèbre booléenne complète de cardinalité 2 κ supérieur à κ qui est généré comme une algèbre booléenne complète par un sous - ensemble dénombrable; par exemple l'algèbre booléenne des ouverts réguliers dans l'espace produit κ ω , où κ a la topologie discrète. Un ensemble générateur dénombrable est constitué de tous les ensembles a m , n pour m , n entiers, constitués des éléments x  ∊  κ ω tels que x ( m ) <  x ( n ). (Cette algèbre booléenne est appelée algèbre d'effondrement , car forcer avec elle effondre le cardinal κ sur ω.)

En particulier, le foncteur d'oubli des algèbres booléennes complètes aux ensembles n'a pas d'adjoint à gauche, même s'il est continu et que la catégorie des algèbres booléennes est petit-complet. Cela montre que la "condition d'ensemble de solutions" dans le théorème du foncteur adjoint de Freyd est nécessaire.

Etant donné un ensemble X , on peut former l'algèbre booléenne libre A engendrée par cet ensemble puis prendre sa complétion B . Cependant B n'est pas une algèbre booléenne complète "libre" générée par X (à moins que X ne soit fini ou que AC soit omis), car une fonction de X vers une algèbre booléenne libre C ne peut en général pas être étendue à un morphisme (préservant la suprématie) de Algèbres booléennes de B à C .

D'autre part, pour tout cardinal fixe κ, il existe une algèbre booléenne κ-complète libre (ou universelle) générée par tout ensemble donné.

Voir également

Les références

  1. ^ Stavi, Jonathan (1974), « Un modèle de ZF avec une algèbre booléenne complète libre infinie », Israel Journal of Mathematics , 20 (2) : 149-163, doi : 10.1007/BF02757883 , S2CID  119543439 .