Conjugaison compliquée - Complex conjugate

Représentation géométrique (diagramme d'Argand) de et de son conjugué dans le plan complexe. Le conjugué complexe est trouvé en réfléchissant à travers l'axe réel.

En mathématiques , le complexe conjugué d'un nombre complexe est le nombre avec une partie réelle égale et une partie imaginaire égale en grandeur mais opposée en signe . Autrement dit, (si et sont réels, alors) le complexe conjugué de est égal à Le complexe conjugué de est souvent noté comme

Sous forme polaire , le conjugué de est Cela peut être montré en utilisant la formule d'Euler .

Le produit d'un nombre complexe et de son conjugué est un nombre réel :  (ou  en coordonnées polaires ).

Si une racine d'un polynôme univarié à coefficients réels est complexe, alors son conjugué complexe est également une racine .

Notation

Le conjugué complexe d'un nombre complexe s'écrit ou La première notation, un vinculum , évite la confusion avec la notation pour le conjugué transposé d'une matrice , qui peut être considérée comme une généralisation du complexe conjugué. La seconde est préférée en physique , où le poignard (†) est utilisé pour la transposition conjuguée, ainsi qu'en génie électrique et en génie informatique , où la notation à barres peut être confondue avec la négation logique ("PAS") symbole de l' algèbre booléenne , tandis que la barre la notation est plus courante en mathématiques pures . Si un nombre complexe est représenté sous forme de matrice , les notations sont identiques.

Propriétés

Les propriétés suivantes s'appliquent à tous les nombres complexes et sauf indication contraire, et peuvent être prouvées par écrit et sous la forme

Pour deux nombres complexes, la conjugaison est distributive sur l'addition, la soustraction, la multiplication et la division :

Un nombre complexe est égal à son conjugué complexe si sa partie imaginaire est nulle, ou de manière équivalente, si le nombre est réel. En d'autres termes, les nombres réels sont les seuls points fixes de conjugaison.

La conjugaison ne change pas le module d'un nombre complexe :

La conjugaison est une involution , c'est-à-dire que le conjugué du conjugué d'un nombre complexe est En symboles,

Le produit d'un nombre complexe par son conjugué est égal au carré du module du nombre. Cela permet de calculer facilement l' inverse multiplicatif d'un nombre complexe donné en coordonnées rectangulaires.

La conjugaison est commutative sous composition avec exponentiation aux puissances entières, avec la fonction exponentielle, et avec le logarithme népérien pour les arguments non nuls :

Si est un polynôme à coefficients réels et alors aussi. Ainsi, les racines non réelles de polynômes réels apparaissent dans des paires conjuguées complexes ( voir Théorème des racines conjuguées complexes ).

En général, si est une fonction holomorphe dont la restriction aux nombres réels est à valeur réelle, et et sont définis, alors

L'application de à est un homéomorphisme (où la topologie sur est considérée comme la topologie standard) et antilinéaire , si l'on considère comme un espace vectoriel complexe sur lui-même. Même si elle semble être une fonction bien éduquée , elle n'est pas holomorphe ; elle inverse l'orientation alors que les fonctions holomorphes conservent localement l'orientation. Il est bijectif et compatible avec les opérations arithmétiques, et est donc un automorphisme de champ . Comme il garde les nombres réels fixes, c'est un élément du groupe de Galois de l' extension de corps Ce groupe de Galois n'a que deux éléments : et l'identité sur Ainsi les deux seuls automorphismes de corps de qui laissent les nombres réels fixes sont conjugaison complexe.

Utiliser comme variable

Une fois un nombre complexe ou donné, son conjugué suffit à reproduire les parties de la -variable :

  • Partie réelle :
  • Partie imaginaire :
  • Module (ou valeur absolue) :
  • Argument : donc

De plus, peut être utilisé pour spécifier des lignes dans le plan : l'ensemble

est une droite passant par l'origine et perpendiculaire à puisque la partie réelle de n'est nulle que lorsque le cosinus de l'angle entre et est nul. De même, pour une unité complexe fixe l'équation
détermine la droite passant par parallèle à la droite passant par 0 et

Ces utilisations du conjugué de comme variable sont illustrées dans le livre de Frank Morley Inversive Geometry (1933), écrit avec son fils Frank Vigor Morley.

Généralisations

Les autres algèbres réelles planes, les nombres doubles et les nombres complexes divisés sont également analysés en utilisant la conjugaison complexe.

Pour les matrices de nombres complexes, où représente la conjugaison élément par élément de Contraste ceci à la propriété où représente la transposée conjuguée de

Prendre la transposée conjuguée (ou adjointe) de matrices complexes généralise la conjugaison complexe. Encore plus général est le concept d' opérateur adjoint pour les opérateurs sur les espaces de Hilbert complexes (éventuellement de dimension infinie) . Tout cela est subsumé par les *-opérations des C*-algèbres .

On peut aussi définir une conjugaison pour les quaternions et les quaternions dédoublés : le conjugué de est

Toutes ces généralisations ne sont multiplicatives que si les facteurs sont inversés :

Puisque la multiplication des algèbres réelles planes est commutative , ce renversement n'y est pas nécessaire.

Il existe également une notion abstraite de conjugaison pour les espaces vectoriels sur les nombres complexes . Dans ce contexte, toute application antilinéaire qui satisfait

  1. où et est la carte d'identité sur
  2. pour tous et
  3. pour tous

s'appelle une conjugaison complexe , ou une structure réelle . Comme l'involution est antilinéaire , elle ne peut pas être la carte d'identité sur

Bien sûr, est une transformation -linéaire de si l'on note que chaque espace complexe a une forme réelle obtenue en prenant les mêmes vecteurs que dans l'espace d'origine et en restreignant les scalaires à être réels. Les propriétés ci-dessus définissent en fait une structure réelle sur l'espace vectoriel complexe

Un exemple de cette notion est l'opération de transposition conjuguée de matrices complexes définie ci-dessus. Cependant, sur les espaces vectoriels complexes génériques, il n'y a pas de notion canonique de conjugaison complexe.

Voir également

Les références

Bibliographie

  • Budinich, P. et Trautman, A. L'échiquier spinorial . Springer-Verlag, 1988. ISBN  0-387-19078-3 . (les cartes antilinéaires sont discutées dans la section 3.3).