Nombre complexe - Complex number

Un nombre complexe peut être représenté visuellement comme une paire de nombres ( a ,  b ) formant un vecteur sur un diagramme appelé diagramme d' Argand , représentant le plan complexe . Re est l'axe réel, Im est l'axe imaginaire et i est « l' unité imaginaire » qui satisfait i 2 = −1 .

En mathématiques , un nombre complexe est un nombre qui peut être exprimé sous la forme a + bi , où a et b sont des nombres réels , et i est un symbole , appelé unité imaginaire , qui satisfait l' équation i 2 = -1 . Parce qu'aucun nombre réel ne satisfait cette équation, j'ai été appelé un nombre imaginaire par René Descartes . Pour le nombre complexe a + bi , a est appelé le partie réelle etbest appelé lepartie imaginaire . L'ensemble des nombres complexes est désigné par l'un des symbolesou C . Malgré la nomenclature historique « imaginaire », les nombres complexes sont considérés dans les sciences mathématiques comme tout aussi « réels » que les nombres réels et sont fondamentaux dans de nombreux aspects de la description scientifique du monde naturel.

Les nombres complexes permettent de résoudre toutes les équations polynomiales , même celles qui n'ont pas de solutions en nombres réels. Plus précisément, le théorème fondamental de l'algèbre affirme que toute équation polynomiale à coefficients réels ou complexes a une solution qui est un nombre complexe. Par exemple, l'équation n'a pas de solution réelle, puisque le carré d'un nombre réel ne peut pas être négatif, mais a les deux solutions complexes non réelles −1 + 3 i et −1 − 3 i .

L'addition, la soustraction et la multiplication de nombres complexes peuvent être naturellement définies en utilisant la règle i 2 = −1 combinée aux lois associative , commutative et distributive . Tout nombre complexe non nul a un inverse multiplicatif . Cela fait des nombres complexes un champ qui a les nombres réels comme sous-champ. Les nombres complexes forment aussi un espace vectoriel réel de dimension deux, avec {1, i } comme base standard .

Cette base standard fait des nombres complexes un plan cartésien , appelé plan complexe . Cela permet une interprétation géométrique des nombres complexes et de leurs opérations, et inversement d'exprimer en termes de nombres complexes certaines propriétés et constructions géométriques. Par exemple, les nombres réels forment la ligne réelle qui est identifiée à l'axe horizontal du plan complexe. Les nombres complexes de valeur absolue un forment le cercle unité . L'addition d'un nombre complexe est une translation dans le plan complexe, et la multiplication par un nombre complexe est une similitude centrée à l'origine. La conjugaison complexe est la symétrie de réflexion par rapport à l'axe réel. La valeur absolue complexe est une norme euclidienne .

En résumé, les nombres complexes forment une structure riche qui est à la fois un corps algébriquement clos , une algèbre commutative sur les réels et un espace vectoriel euclidien de dimension deux.

Définition

Une illustration du nombre complexe z = x + iy sur le plan complexe . La partie réelle est x et sa partie imaginaire est y .

Un nombre complexe est un nombre de la forme a + bi , où a et b sont des nombres réels , et i est un indéterminé satisfaisant i 2 = −1 . Par exemple, 2 + 3 i est un nombre complexe.

De cette façon, un nombre complexe est défini comme un polynôme à coefficients réels dans l'indéterminé unique i , pour lequel la relation i 2 + 1 = 0 est imposée. Sur la base de cette définition, des nombres complexes peuvent être additionnés et multipliés, en utilisant l'addition et la multiplication pour les polynômes. La relation i 2 + 1 = 0 induit les égalités i 4 k = 1, i 4 k +1 = i , i 4 k +2 = −1, et i 4 k +3 = − i , qui sont valables pour tous les entiers k ; ceux-ci permettent la réduction de tout polynôme résultant de l'addition et de la multiplication de nombres complexes à un polynôme linéaire en i , encore de la forme a + bi avec des coefficients réels a, b.

Le nombre réel a est appelé partie réelle du nombre complexe a + bi ; le nombre réel b est appelé sa partie imaginaire . A souligner, la partie imaginaire ne comporte pas de facteur i ; c'est-à-dire que la partie imaginaire est b , pas bi .

Formellement, les nombres complexes sont définis comme l' anneau quotient de l' anneau polynomial dans l'indéterminé i , par l' idéal généré par le polynôme i 2 + 1 (voir ci - dessous ).

Notation

Un nombre réel a peut être considéré comme un nombre complexe a + 0 i , dont la partie imaginaire est 0. Un nombre purement imaginaire bi est un nombre complexe 0 + bi , dont la partie réelle est nulle. Comme pour les polynômes, il est courant d'écrire a pour a + 0 i et bi pour 0 + bi . De plus, lorsque la partie imaginaire est négative, c'est-à-dire que b = − |b| < 0 , il est courant d'écrire a|b|i au lieu de a + (− |b| ) i ; par exemple, pour b = −4 , 3 − 4 i peut s'écrire au lieu de 3 + (−4) i .

Puisque la multiplication de l'indéterminé i et d'un réel est commutative dans les polynômes à coefficients réels, le polynôme a + bi peut s'écrire a + ib . C'est souvent utile pour les parties imaginaires désignées par des expressions, par exemple, lorsque b est un radical.

La partie réelle d'un nombre complexe z est notée Re( z ) , , ou ; la partie imaginaire d'un nombre complexe z est notée Im( z ) , , ou Par exemple,

L' ensemble de tous les nombres complexes est désigné par ( blackboard bold ) ou C (upright bold).

Dans certaines disciplines, en particulier en électromagnétisme et en génie électrique , j est utilisé à la place de i car i est fréquemment utilisé pour représenter le courant électrique . Dans ces cas, les nombres complexes s'écrivent a + bj , ou a + jb .

Visualisation

Un nombre complexe z , comme un point (noir) et son vecteur de position (bleu)

Un nombre complexe z peut ainsi être identifié à une paire ordonnée de nombres réels, qui à leur tour peuvent être interprétés comme les coordonnées d'un point dans un espace à deux dimensions. L'espace le plus immédiat est le plan euclidien avec des coordonnées appropriées, qui est alors appelé plan complexe ou diagramme d'Argand , du nom de Jean-Robert Argand . Un autre espace important sur lequel les coordonnées peuvent être projetées est la surface bidimensionnelle d'une sphère, qui est alors appelée sphère de Riemann .

Plan complexe cartésien

La définition des nombres complexes impliquant deux valeurs réelles arbitraires suggère immédiatement l'utilisation de coordonnées cartésiennes dans le plan complexe. L' axe horizontal ( réel ) est généralement utilisé pour afficher la partie réelle, avec des valeurs croissantes vers la droite, et la partie imaginaire marque l' axe vertical ( imaginaire ), avec des valeurs croissantes vers le haut.

Un nombre cartographié peut être considéré soit comme le point coordonné , soit comme un vecteur de position de l'origine à ce point. Les valeurs de coordonnées d'un nombre complexe z peuvent donc être exprimées sous sa forme cartésienne , rectangulaire ou algébrique .

Notamment, les opérations d'addition et de multiplication prennent un caractère géométrique très naturel, lorsque les nombres complexes sont considérés comme des vecteurs de position : l'addition correspond à l' addition vectorielle , tandis que la multiplication (voir ci - dessous ) correspond à multiplier leurs grandeurs et à additionner les angles qu'ils font avec le axe réel. Vue sous cet angle, la multiplication d'un nombre complexe par i correspond à une rotation du vecteur position dans le sens antihoraire d'un quart de tour ( 90° ) autour de l'origine, ce qui peut s'exprimer algébriquement de la manière suivante :

Plan complexe polaire

L' argument φ et le module de r localiser un point dans le plan complexe.

Module et argumentation

Une option alternative pour les coordonnées dans le plan complexe est le système de coordonnées polaires qui utilise la distance du point z à l' origine ( O ) et l'angle sous-tendu entre l' axe réel positif et le segment de ligne Oz dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Cela conduit à la forme polaire des nombres complexes.

La valeur absolue (ou module ou magnitude ) d'un nombre complexe z = x + yi est

Si z est un nombre réel (c'est-à-dire si y = 0 ), alors r = | x | . C'est-à-dire que la valeur absolue d'un nombre réel est égale à sa valeur absolue en tant que nombre complexe.

Par le théorème de Pythagore , la valeur absolue d'un nombre complexe est la distance à l'origine du point représentant le nombre complexe dans le plan complexe .

L' argumentation de z (dans de nombreuses applications appelées la « phase » φ ) est l'angle du rayon Oz avec l'axe réel positif, et est écrit sous la forme arg z . Comme pour le module, l'argument peut être trouvé à partir de la forme rectangulaire x + yi — en appliquant la tangente inverse au quotient des parties imaginaires par les parties réelles. En utilisant une identité de demi-angle, une seule branche de l'arctan suffit pour couvrir la plage de la fonction arg , (− π , π ] , et évite une analyse au cas par cas plus subtile

Normalement, comme indiqué ci - dessus, la principale valeur dans l'intervalle (- π , π ] est choisie Si la valeur de arg est négative, les valeurs dans la plage. (- π , π ] ou [0, 2 π ) peut être obtenu en ajoutant 2 π . la valeur de φ est exprimé en radians dans cet article. Il peut augmenter par un multiple entier de 2 π et de donner toujours le même angle, considéré comme sous - tendu par les rayons de l'axe réel positif et de l'origine par z . Par conséquent, la fonction arg est parfois considérée comme multivaluée L'angle polaire pour le nombre complexe 0 est indéterminé, mais le choix arbitraire de l'angle polaire 0 est courant.

La valeur de φ est égal au résultat de atan2 :

Ensemble, r et φ donnent une autre façon de représenter des nombres complexes, la forme polaire , comme la combinaison de module et l' argument spécifie entièrement la position d'un point sur le plan. La récupération des coordonnées rectangulaires d'origine à partir de la forme polaire se fait par la formule appelée forme trigonométrique

En utilisant la formule d'Euler, cela peut être écrit comme

En utilisant la fonction cis , cela est parfois abrégé en

Dans la notation d'angle , souvent utilisé dans l' électronique pour représenter un phaseur avec une amplitude r et la phase φ , il est écrit

Graphiques complexes

Un graphique de roue de couleur de l'expression ( z 2 − 1)( z − 2 − i ) 2/z 2 + 2 + 2 je

Lors de la visualisation de fonctions complexes , une entrée et une sortie complexes sont nécessaires. Parce que chaque nombre complexe est représenté en deux dimensions, la représentation graphique d'une fonction complexe nécessiterait la perception d'un espace à quatre dimensions , ce qui n'est possible que dans les projections. Pour cette raison, d'autres façons de visualiser des fonctions complexes ont été conçues.

Dans la coloration de domaine, les dimensions de sortie sont respectivement représentées par la couleur et la luminosité. Chaque point du plan complexe en tant que domaine est orné , généralement avec une couleur représentant l'argument du nombre complexe et une luminosité représentant la magnitude. Les taches sombres marquent des modules proches de zéro, les taches plus claires sont plus éloignées de l'origine, la gradation peut être discontinue, mais est supposée monotone. Les couleurs varient souvent par pas de??/3pour 0 à 2 π du rouge, jaune, vert, cyan, bleu, au magenta. Ces tracés sont appelés graphiques à roues chromatiques . Cela fournit un moyen simple de visualiser les fonctions sans perdre d'informations. L'image montre des zéros pour ±1, (2 + i ) et des pôles à ± −2 −2 i .

Les surfaces de Riemann sont une autre façon de visualiser des fonctions complexes. Les surfaces de Riemann peuvent être considérées comme des déformations du plan complexe ; tandis que les axes horizontaux représentent les entrées réelles et imaginaires, l'axe vertical unique ne représente que la sortie réelle ou imaginaire. Cependant, les surfaces de Riemann sont construites de telle manière que leur rotation de 180 degrés montre la sortie imaginaire, et vice versa. Contrairement à la coloration de domaine, les surfaces de Riemann peuvent représenter des fonctions multivaluées comme z .

Histoire

La solution en radicaux (sans fonctions trigonométriques ) d'une équation cubique générale contient les racines carrées des nombres négatifs lorsque les trois racines sont des nombres réels, une situation qui ne peut être rectifiée par la factorisation assistée par le test de racine rationnelle si la cubique est irréductible (le soi-disant casus irreducibilis ). Cette énigme a conduit le mathématicien italien Gerolamo Cardano à concevoir des nombres complexes vers 1545, bien que sa compréhension soit rudimentaire.

Les travaux sur le problème des polynômes généraux ont finalement conduit au théorème fondamental de l'algèbre , qui montre qu'avec les nombres complexes, une solution existe à chaque équation polynomiale de degré un ou plus. Les nombres complexes forment ainsi un corps algébriquement clos , où toute équation polynomiale a une racine .

De nombreux mathématiciens ont contribué au développement des nombres complexes. Les règles d'addition, de soustraction, de multiplication et d'extraction de racines de nombres complexes ont été développées par le mathématicien italien Rafael Bombelli . Un formalisme plus abstrait pour les nombres complexes a été développé par le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton , qui a étendu cette abstraction à la théorie des quaternions .

La première référence éphémère aux racines carrées de nombres négatifs peut peut-être dire de se produire dans le travail du mathématicien grec Hero d'Alexandrie au 1er siècle après JC , où dans son Stereometrica qu'il considère, apparemment par erreur, le volume d'un impossible frustum de une pyramide pour arriver au terme dans ses calculs, bien que les quantités négatives n'aient pas été conçues dans les mathématiques hellénistiques et que Hero l'ait simplement remplacée par sa valeur positive.

L'impulsion pour étudier les nombres complexes en tant que sujet en soi est apparue pour la première fois au XVIe siècle lorsque des solutions algébriques pour les racines des polynômes cubiques et quartiques ont été découvertes par des mathématiciens italiens (voir Niccolò Fontana Tartaglia , Gerolamo Cardano ). On s'est vite rendu compte (mais prouvé bien plus tard) que ces formules, même si l'on ne s'intéressait qu'aux solutions réelles, nécessitaient parfois la manipulation de racines carrées de nombres négatifs. A titre d'exemple, la formule de Tartaglia pour une équation cubique de la forme x 3 = px + q donne la solution de l'équation x 3 = x comme

À première vue, cela ressemble à un non-sens. Cependant, des calculs formels avec des nombres complexes montrent que l'équation z 3 = i a trois solutions : en les substituant à leur tour par dans la formule cubique de Tartaglia et en simplifiant, on obtient 0, 1 et −1 comme solutions de x 3x = 0 . Bien sûr, cette équation particulière peut être résolue à vue, mais elle illustre que lorsque des formules générales sont utilisées pour résoudre des équations cubiques avec des racines réelles, comme les mathématiciens ultérieurs l'ont montré rigoureusement, l'utilisation de nombres complexes est inévitable . Rafael Bombelli a été le premier à aborder explicitement ces solutions apparemment paradoxales d'équations cubiques et a développé les règles d'une arithmétique complexe en essayant de résoudre ces problèmes.

Le terme « imaginaire » pour ces quantités a été inventé par René Descartes en 1637, qui s'est efforcé d'insister sur leur caractère irréel.

... parfois seulement imaginaire, c'est-à-dire qu'on peut en imaginer autant que je l'ai dit dans chaque équation, mais parfois il n'existe aucune quantité qui corresponde à celle que nous imaginons.
[ ... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui correspond à celle qu'on imaginer. ]

Une autre source de confusion était que l'équation semblait être capricieusement incohérente avec l'identité algébrique , qui est valable pour les nombres réels non négatifs a et b , et qui a également été utilisée dans les calculs de nombres complexes avec l'un de a , b positif et le autre négatif. L'utilisation incorrecte de cette identité (et de l'identité associée ) dans le cas où a et b sont tous les deux négatifs a même tourmenté Euler. Cette difficulté a finalement conduit à la convention d'utiliser le symbole spécial i à la place de pour se prémunir contre cette erreur. Même ainsi, Euler considérait qu'il était naturel d'initier les élèves aux nombres complexes bien plus tôt qu'aujourd'hui. Dans son manuel d'algèbre élémentaire, Elements of Algebra , il introduit ces nombres presque en même temps et les utilise ensuite de manière naturelle tout au long.

Au XVIIIe siècle, les nombres complexes sont devenus de plus en plus utilisés, car il a été remarqué que la manipulation formelle d'expressions complexes pouvait être utilisée pour simplifier les calculs impliquant des fonctions trigonométriques. Par exemple, en 1730, Abraham de Moivre a noté que les identités compliquées reliant les fonctions trigonométriques d'un multiple entier d'un angle aux puissances des fonctions trigonométriques de cet angle pourraient être simplement réexprimées par la formule bien connue suivante qui porte son nom, de La formule de Moivre :

En 1748, Leonhard Euler va plus loin et obtient la formule d' analyse complexe d' Euler :

en manipulant formellement des séries entières complexes et a observé que cette formule pouvait être utilisée pour réduire toute identité trigonométrique à des identités exponentielles beaucoup plus simples.

L'idée d'un nombre complexe en tant que point dans le plan complexe ( ci-dessus ) a été décrite pour la première fois par le mathématicien danois - norvégien Caspar Wessel en 1799, bien qu'elle ait été anticipée dès 1685 dans A Treatise of Algebra de Wallis .

Les mémoires de Wessel parurent dans les Actes de l' Académie de Copenhague mais passèrent largement inaperçus. En 1806, Jean-Robert Argand a publié indépendamment une brochure sur les nombres complexes et a fourni une preuve rigoureuse du théorème fondamental de l'algèbre . Carl Friedrich Gauss avait déjà publié une preuve essentiellement topologique du théorème en 1797 mais avait exprimé ses doutes à l'époque sur « la vraie métaphysique de la racine carrée de -1 ». Ce n'est qu'en 1831 qu'il surmonta ces doutes et publia son traité sur les nombres complexes en tant que points dans le plan, établissant en grande partie la notation et la terminologie modernes.

Si on considérait autrefois ce sujet d'un faux point de vue et qu'on trouvait donc une obscurité mystérieuse, c'est en grande partie attribuable à une terminologie maladroite. Si l'on n'avait pas appelé unités +1, -1, positives, négatives ou imaginaires (ou même impossibles), mais plutôt, disons, unités directes, inverses ou latérales, on aurait à peine pu parler d'une telle obscurité. — Gauss (1831)

Au début du XIXe siècle, d'autres mathématiciens découvrirent indépendamment la représentation géométrique des nombres complexes : Buée, Mourey , Warren , Français et son frère, Bellavitis .

Le mathématicien anglais GH Hardy a fait remarquer que Gauss était le premier mathématicien à utiliser les nombres complexes « d'une manière vraiment sûre et scientifique », bien que des mathématiciens tels que le norvégien Niels Henrik Abel et Carl Gustav Jacob Jacobi les utilisaient nécessairement de manière routinière avant que Gauss ne publie son traité de 1831.

Augustin Louis Cauchy et Bernhard Riemann ont amené ensemble les idées fondamentales de l' analyse complexe à un haut degré d'achèvement, commençant vers 1825 dans le cas de Cauchy.

Les termes communs utilisés dans la théorie sont principalement dus aux fondateurs. Argand appelé cos φ + i sin φ le facteur de direction , et le module ; Cauchy (1821) a appelé cos φ + i sin φ la forme réduite (l'expression réduite) et a apparemment introduit le terme argument ; Gauss a utilisé i pour , a introduit le terme nombre complexe pour a + bi et a appelé a 2 + b 2 la norme . L'expression coefficient de direction , souvent utilisée pour cos φ + i sin φ , est due à Hankel (1867), et la valeur absolue, pour le module, est due à Weierstrass.

Les écrivains classiques ultérieurs sur la théorie générale incluent Richard Dedekind , Otto Hölder , Felix Klein , Henri Poincaré , Hermann Schwarz , Karl Weierstrass et bien d'autres. Des travaux importants (y compris une systématisation) en calcul multivarié complexe ont été commencés au début du 20ème siècle. Des résultats importants ont été obtenus par Wilhelm Wirtinger en 1927.

Relations et opérations

Égalité

Les nombres complexes ont une définition similaire de l'égalité aux nombres réels ; deux nombres complexes a 1 + b 1 i et a 2 + b 2 i sont égaux si et seulement si leurs parties réelle et imaginaire sont égales, c'est-à-dire si a 1 = a 2 et b 1 = b 2 . Nonzéro nombres complexes écrits en forme polaire sont égaux si et seulement si elles ont la même ampleur et leurs arguments diffèrent par un multiple entier de 2 π .

Commande

Contrairement aux nombres réels, il n'y a pas d'ordre naturel des nombres complexes. En particulier, il n'y a pas d'ordre linéaire sur les nombres complexes compatible avec l'addition et la multiplication - les nombres complexes ne peuvent pas avoir la structure d'un champ ordonné. C'est par exemple parce que chaque somme de carrés non triviale dans un champ ordonné est ≠ 0 , et i 2 + 1 2 = 0 est une somme de carrés non triviale. Ainsi, les nombres complexes sont naturellement considérés comme existant sur un plan à deux dimensions.

Conjuguer

Représentation géométrique de z et de son conjugué z dans le plan complexe

Le complexe conjugué du nombre complexe z = x + yi est donné par xyi . Il est noté soit z soit z * . Cette opération unaire sur les nombres complexes ne peut être exprimée en appliquant seulement leurs opérations de base addition, soustraction, multiplication et division.

Géométriquement, z est la "réflexion" de z autour de l'axe réel. Conjuguer deux fois donne le nombre complexe d'origine

ce qui fait de cette opération une involution . La réflexion laisse à la fois la partie réelle et la magnitude de z inchangées, c'est-à-dire

et

La partie imaginaire et l'argument d'un nombre complexe z changent de signe sous conjugaison

Pour plus de détails sur l'argument et la magnitude, voir la section sur la forme polaire .

Le produit d'un nombre complexe z = x + yi et de son conjugué est appelé carré absolu . C'est toujours un nombre réel non négatif et égal au carré de la grandeur de chacun :

Cette propriété peut être utilisée pour convertir une fraction avec un dénominateur complexe en une fraction équivalente avec un dénominateur réel en développant à la fois le numérateur et le dénominateur de la fraction par le conjugué du dénominateur donné. Ce processus est parfois appelé « rationalisation » du dénominateur (bien que le dénominateur dans l'expression finale puisse être un nombre réel irrationnel), car il ressemble à la méthode pour supprimer les racines d'expressions simples dans un dénominateur.

Les parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe z peuvent être extraites en utilisant la conjugaison :

De plus, un nombre complexe est réel si et seulement s'il est égal à son propre conjugué.

La conjugaison distribue sur les opérations arithmétiques complexes de base :

La conjugaison est également employée en géométrie inversive , une branche de la géométrie étudiant les réflexions plus générales que celles autour d'une ligne. Dans l' analyse de réseau de circuits électriques , le conjugué complexe est utilisé pour trouver l'impédance équivalente lorsque le théorème de transfert de puissance maximale est recherché.

Addition et soustraction

L'addition de deux nombres complexes peut se faire géométriquement en construisant un parallélogramme.

Deux nombres complexes a et b sont plus facilement additionnés en ajoutant séparément leurs parties réelle et imaginaire des sommations. C'est-à-dire:

De même, la soustraction peut être effectuée comme

En utilisant la visualisation des nombres complexes dans le plan complexe, l'addition a l'interprétation géométrique suivante : la somme de deux nombres complexes a et b , interprétés comme des points dans le plan complexe, est le point obtenu en construisant un parallélogramme à partir des trois sommets O , et les pointes des flèches étiquetées a et b (à condition qu'elles ne soient pas sur une ligne). De manière équivalente, en appelant ces points A , B , respectivement et le quatrième point du parallélogramme X les triangles OAB et XBA sont congrus . On peut obtenir une visualisation de la soustraction en considérant plus du négatif soustractif .

Multiplication et carré

Les règles de la propriété distributive , les propriétés commutatives (d'addition et de multiplication) et la propriété de définition i 2 = −1 s'appliquent aux nombres complexes. Il s'ensuit que

En particulier,

Réciproque et division

En utilisant la conjugaison, l' inverse d'un nombre complexe non nul z = x + yi peut toujours être décomposé en

puisque non nul implique que x 2 + y 2 est supérieur à zéro.

Cela peut être utilisé pour exprimer une division d'un nombre complexe arbitraire w = u + vi par un nombre complexe non nul z comme

Multiplication et division sous forme polaire

Multiplication de 2 + i (triangle bleu) et 3 + i (triangle rouge). Le triangle rouge est mis en rotation pour correspondre au sommet du bleu et étiré par √5 , la longueur de l' hypoténuse du triangle bleu.

Les formules de multiplication, de division et d'exponentiation sont plus simples sous forme polaire que les formules correspondantes en coordonnées cartésiennes. Etant donné deux nombres complexes z 1 = r 1 (cos  de 1 + i  sin  φ 1 ) et z 2 = r 2 (cos  & phiv 2 + i  sin  φ 2 ) , en raison des identités trigonométriques

nous pouvons dériver

En d'autres termes, les valeurs absolues sont multipliées et les arguments sont ajoutés pour donner la forme polaire du produit. Par exemple, multiplier par i correspond à un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, ce qui donne i 2 = −1 . L'image de droite illustre la multiplication des

Puisque les parties réelle et imaginaire de 5 + 5 i sont égales, l'argument de ce nombre est de 45 degrés, ou π /4 (en radian ). D'autre part, c'est aussi la somme des angles à l'origine des triangles rouge et bleu sont respectivement arctan (1/3) et arctan(1/2). Ainsi, la formule

tient. Comme la arctan fonction peut être très efficace approximée, formules comme celle - ci - connu sous le nom de Machin formules - sont utilisées pour des approximations de haute précision de π .

De même, la division est donnée par

Racine carrée

Les racines carrées de a + bi (avec b ≠ 0 ) sont , où

et

sgn est la fonction signum . Ceci peut être vu en équerrant pour obtenir a + bi . On appelle ici le module de a + bi , et le signe racine carrée indique la racine carrée à partie réelle non négative, appelée racine carrée principale ; aussi où z = a + bi .

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle peut être définie pour chaque nombre complexe z par la série entière

qui a un rayon de convergence infini .

La valeur à 1 de la fonction exponentielle est le nombre d'Euler

Si z est réel, on a La continuation analytique permet d'étendre cette égalité pour toute valeur complexe de z , et donc de définir l'exponentiation complexe de base e comme

Équation fonctionnelle

La fonction exponentielle satisfait l' équation fonctionnelle Cela peut être prouvé soit en comparant le développement en séries entières des deux membres, soit en appliquant la continuation analytique de la restriction de l'équation aux arguments réels.

la formule d'Euler

La formule d'Euler stipule que, pour tout nombre réel y ,

L'équation fonctionnelle implique donc que, si x et y sont réels, on a

qui est la décomposition de la fonction exponentielle en ses parties réelle et imaginaire.

Logarithme complexe

Dans le cas réel, le logarithme népérien peut être défini comme l' inverse de la fonction exponentielle. Pour étendre cela au domaine complexe, on peut partir de la formule d'Euler. Cela implique que, si un nombre complexe est écrit sous forme polaire

avec puis avec

comme logarithme complexe, on a un inverse propre :

Toutefois, étant donné cosinus et sinus sont des fonctions périodiques, l'addition d'un multiple entier de 2 π pour φ ne change pas z . Par exemple, e = e 3 = −1 , donc et 3 sont des valeurs possibles pour le logarithme népérien de −1 .

Par conséquent, si le logarithme complexe ne doit pas être défini comme une fonction à plusieurs valeurs

il faut utiliser une coupe de branche et restreindre le codomaine , ce qui donne la fonction bijective

Si n'est pas un nombre réel non positif (un nombre positif ou non réel), la valeur principale résultante du logarithme complexe est obtenue avec π < φ < π . C'est une fonction analytique en dehors des nombres réels négatifs, mais elle ne peut pas être prolongée en une fonction continue à tout nombre réel négatif , où la valeur principale est ln z = ln(− z ) + .

Exponentiation

Si x > 0 est réel et z complexe, l'exponentiation est définie comme

ln désigne le logarithme népérien.

Il semble naturel d'étendre cette formule aux valeurs complexes de x , mais il y a quelques difficultés résultant du fait que le logarithme complexe n'est pas vraiment une fonction, mais une fonction multivaluée .

Il s'ensuit que si z est comme ci-dessus, et si t est un autre nombre complexe, alors l' exponentiation est la fonction multivaluée

Exposants entiers et fractionnaires

Représentation géométrique des racines 2e à 6e d'un nombre complexe z , sous forme polaire re r = | z  | et φ = arg z . Si z est réel, φ = 0 ou π . Les racines principales sont représentées en noir.

Si, dans la formule précédente, t est un entier, alors le sinus et le cosinus sont indépendants de k . Ainsi, si l'exposant n est un entier, alors z n est bien défini, et la formule d'exponentiation se simplifie en la formule de de Moivre :

Les n n ième racines d'un nombre complexe z sont données par

pour 0 kn − 1 . (Voici la racine n ième (positive) habituelle du nombre réel positif r .) Comme le sinus et le cosinus sont périodiques, les autres valeurs entières de k ne donnent pas d'autres valeurs.

Bien que la n ième racine d'un nombre réel positif r est choisi pour être le positif nombre réel c satisfaisant c n = r , il n'y a pas de façon naturelle à distinguer un complexe particulier n ième racine d'un nombre complexe. Par conséquent, la racine n ième est une fonction de valeur n de z . Ceci implique que, contrairement au cas des nombres réels positifs, on a

puisque le côté gauche est constitué de n valeurs et le côté droit est une valeur unique.

Propriétés

Structure du champ

L'ensemble des nombres complexes est un corps . En bref, cela signifie que les faits suivants sont valables : tout d'abord, deux nombres complexes peuvent être additionnés et multipliés pour donner un autre nombre complexe. Deuxièmement, pour tout nombre complexe z , son inverse additif z est également un nombre complexe ; et troisièmement, chaque nombre complexe non nul a un nombre complexe réciproque . De plus, ces opérations satisfont à un certain nombre de lois, par exemple la loi de commutativité d'addition et de multiplication pour deux nombres complexes quelconques z 1 et z 2 :

Ces deux lois et les autres exigences sur un champ peuvent être prouvées par les formules données ci-dessus, en utilisant le fait que les nombres réels eux-mêmes forment un champ.

Contrairement aux réels, n'est pas un champ ordonné , c'est-à-dire qu'il n'est pas possible de définir une relation z 1 < z 2 qui soit compatible avec l'addition et la multiplication. En fait, dans tout corps ordonné, le carré de tout élément est nécessairement positif, donc i 2 = −1 exclut l'existence d'un ordre sur

Lorsque le champ sous-jacent d'un sujet ou d'une construction mathématique est le champ des nombres complexes, le nom du sujet est généralement modifié pour refléter ce fait. Par exemple : analyse complexe , matrice complexe , polynôme complexe et algèbre de Lie complexe .

Solutions d'équations polynomiales

Étant donné des nombres complexes (appelés coefficients ) a 0 , ...,  a n , l'équation

a au moins une solution complexe z , à condition qu'au moins l'un des coefficients les plus élevés a 1 , ...,  a n soit non nul. C'est l'énoncé du théorème fondamental de l'algèbre , de Carl Friedrich Gauss et Jean le Rond d'Alembert . De ce fait, est appelé un champ algébriquement clos . Cette propriété ne vaut pas pour le corps des nombres rationnels (le polynôme x 2 − 2 n'a pas de racine rationnelle, puisque √2 n'est pas un nombre rationnel) ni pour les nombres réels (le polynôme x 2 + a n'a pas de réel racine pour a > 0 , puisque le carré de x est positif pour tout nombre réel x ).

Il y a plusieurs preuves de ce théorème, soit par des méthodes analytiques telles que le théorème de Liouville , ou topologiques ceux tels que le nombre de tours , ou une preuve combinant théorie de Galois et le fait que tout polynôme réel de bizarre degré a au moins une racine réelle.

De ce fait, les théorèmes valables pour tout champ algébriquement clos s'appliquent à Par exemple, toute matrice carrée complexe non vide a au moins une valeur propre (complexe) .

Caractérisation algébrique

Le champ a les trois propriétés suivantes :

On peut montrer que tout champ ayant ces propriétés est isomorphe (en tant que champ) à Par exemple, la clôture algébrique du champ du nombre p -adique satisfait également ces trois propriétés, donc ces deux champs sont isomorphes (en tant que champs, mais pas comme des champs topologiques). Aussi, est isomorphe au domaine des séries de Puiseux complexes . Cependant, la spécification d'un isomorphisme nécessite l' axiome du choix . Une autre conséquence de cette caractérisation algébrique est qu'elle contient de nombreux sous-champs propres isomorphes à .

Caractérisation en tant que champ topologique

La caractérisation précédente de ne décrit que les aspects algébriques de C'est-à-dire que les propriétés de proximité et de continuité , qui importent dans des domaines tels que l' analyse et la topologie , ne sont pas traitées. La description suivante d' un champ topologique (c'est-à-dire un champ qui est équipé d'une topologie , ce qui permet la notion de convergence) prend en compte les propriétés topologiques. contient un sous-ensemble P (à savoir l'ensemble des nombres réels positifs) d'éléments non nuls satisfaisant les trois conditions suivantes :

  • P est fermé par addition, multiplication et prise d'inverses.
  • Si x et y sont des éléments distincts de P , alors soit xy soit yx est dans P .
  • Si S est un sous-ensemble non vide de P , alors S + P = x + P pour un certain x dans

De plus, a un automorphisme involutif non trivial xx * (à savoir la conjugaison complexe), tel que x x * est dans P pour tout x non nul dans

Tout champ F avec ces propriétés peut être doté d'une topologie en prenant les ensembles B ( x ,  p ) = {  y | p − ( yx )( yx )* ∈ P  }  comme base , où x s'étend sur le champ et p s'étend sur P . Avec cette topologie F est isomorphe en tant que champ topologique à

Les seuls champs topologiques localement compacts connectés sont et Cela donne une autre caractérisation de comme un champ topologique, car peut être distingué de parce que les nombres complexes non nuls sont connectés , tandis que les nombres réels non nuls ne le sont pas.

Construction formelle

Construction en paires ordonnées

William Rowan Hamilton a introduit l'approche pour définir l'ensemble des nombres complexes comme l'ensemble des paires ordonnées ( a ,  b ) de nombres réels, dans lesquels les règles d'addition et de multiplication suivantes sont imposées :

C'est alors juste une question de notation pour exprimer ( a ,  b ) comme a + bi .

Construction comme champ quotient

Bien que cette construction de bas niveau décrive avec précision la structure des nombres complexes, la définition équivalente suivante révèle la nature algébrique de manière plus immédiate. Cette caractérisation repose sur la notion de corps et de polynômes. Un corps est un ensemble doté d'opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division qui se comportent comme il est familier, disons, des nombres rationnels. Par exemple, la loi de distribution

doit être valable pour trois éléments x , y et z d'un champ. L'ensemble des nombres réels forme un champ. Un polynôme p ( X ) à coefficients réels est une expression de la forme

où les a 0 , ...,  a n sont des nombres réels. L'addition et la multiplication habituelles de polynômes confèrent à l'ensemble de tous ces polynômes une structure en anneau . Cet anneau est appelé anneau polynomial sur les nombres réels.

L'ensemble des nombres complexes est défini comme l' anneau quotient. Ce champ d'extension contient deux racines carrées de −1 , à savoir (les co-ensembles de) X et X , respectivement. (Les co-ensembles de) 1 et X forment une base de [ X ]/( X 2 + 1) en tant qu'espace vectoriel réel , ce qui signifie que chaque élément du champ d'extension peut être écrit de manière unique comme une combinaison linéaire dans ces deux éléments. De manière équivalente, les éléments du champ d'extension peuvent être écrits sous forme de paires ordonnées ( a ,  b ) de nombres réels. L'anneau quotient est un corps, car X 2 + 1 est irréductible sur donc l'idéal qu'il engendre est maximal .

Les formules d'addition et de multiplication dans l'anneau modulo la relation X 2 = -1 , correspondent aux formules d'addition et de multiplication de nombres complexes définis comme des paires ordonnées. Les deux définitions du champ sont donc isomorphes (en tant que champs).

Accepter que soit algébriquement clos, puisqu'il s'agit d'une extension algébrique de dans cette approche, est donc la clôture algébrique de

Représentation matricielle des nombres complexes

Les nombres complexes a + bi peuvent également être représentés par des matrices 2 × 2 qui ont la forme :

Ici, les entrées a et b sont des nombres réels. Comme la somme et le produit de deux de ces matrices sont à nouveau de cette forme, ces matrices forment un sous - anneau de l'anneau 2 × 2 matrices.

Un calcul simple montre que la carte :

est un isomorphisme d'anneau du corps des nombres complexes à l'anneau de ces matrices. Cet isomorphisme associe le carré de la valeur absolue d'un nombre complexe au déterminant de la matrice correspondante, et le conjugué d'un nombre complexe à la transposée de la matrice.

La description géométrique de la multiplication des nombres complexes peut également être exprimée en termes de matrices de rotation en utilisant cette correspondance entre les nombres complexes et de telles matrices. L'action de la matrice sur un vecteur ( x , y ) correspond à la multiplication de x + iy par a + ib . En particulier, si le déterminant est 1 , il existe un nombre réel t tel que la matrice a la forme :

Dans ce cas, l'action de la matrice sur les vecteurs et la multiplication par le nombre complexe sont toutes deux la rotation de l'angle t .

Analyse complexe

Graphique de roue chromatique de sin(1/ z ) . Les parties noires à l'intérieur font référence à des nombres ayant de grandes valeurs absolues.

L'étude des fonctions d'une variable complexe est connue sous le nom d' analyse complexe et a une énorme utilité pratique en mathématiques appliquées ainsi que dans d'autres branches des mathématiques. Souvent, les preuves les plus naturelles d'énoncés en analyse réelle ou même en théorie des nombres utilisent des techniques d'analyse complexe (voir le théorème des nombres premiers pour un exemple). Contrairement aux fonctions réelles, qui sont généralement représentées sous forme de graphiques à deux dimensions, les fonctions complexes ont des graphiques à quatre dimensions et peuvent utilement être illustrées par un codage couleur d'un graphique à trois dimensions pour suggérer quatre dimensions, ou en animant la transformation dynamique de la fonction complexe du plan complexe.

Fonctions exponentielles complexes et fonctions associées

Les notions de séries convergentes et de fonctions continues en analyse (réelle) ont des analogues naturels en analyse complexe. Une suite de nombres complexes est dite converger si et seulement si ses parties réelle et imaginaire convergent . Ceci est équivalent à la (ε, δ)-définition des limites , où la valeur absolue des nombres réels est remplacée par celle des nombres complexes. D'un point de vue plus abstrait, , doté de la métrique

est un espace métrique complet , qui inclut notamment l' inégalité triangulaire

pour deux nombres complexes quelconques z 1 et z 2 .

Comme en analyse réelle, cette notion de convergence est utilisée pour construire un certain nombre de fonctions élémentaires : la fonction exponentielle exp z , également notée e z , est définie comme la série infinie

Les séries définissant les fonctions trigonométriques réelles sine et cosinus , ainsi que les fonctions hyperboliques sinh et cosh, se reportent également sur des arguments complexes sans changement. Pour les autres fonctions trigonométriques et hyperboliques, telles que tangente , les choses sont légèrement plus compliquées, car les séries de définition ne convergent pas pour toutes les valeurs complexes. Il faut donc les définir soit en termes de sinus, cosinus et exponentiel, soit, de manière équivalente, en utilisant la méthode de la suite analytique .

La formule d'Euler dit :

pour tout nombre réel φ , en particulier

, qui est l'identité d'Euler .

Contrairement à la situation des nombres réels, il existe une infinité de solutions complexes z de l'équation

pour tout nombre complexe w 0 . On peut montrer qu'une telle solution z - appelée logarithme complexe de w - satisfait

où arg est l' argument défini ci - dessus , et ln le (réel) logarithme népérien . Comme arg est une fonction multivaluée , unique jusqu'à un multiple de 2 π , journal est également multivalué. La valeur principale de log est souvent prise en restreignant la partie imaginaire à l' intervalle (− π , π ] .

L' exponentiation complexe z ω est définie comme

et est à valeurs multiples, sauf si ω est un entier. Pour ω = 1 / n , pour un certain nombre naturel n , cela récupère la non-unicité des racines n ième mentionnées ci-dessus.

Les nombres complexes, contrairement aux nombres réels, ne satisfont pas en général aux identités de puissance et de logarithme non modifiées, en particulier lorsqu'ils sont naïvement traités comme des fonctions à valeur unique ; voir panne de puissance et identités logarithmiques . Par exemple, ils ne satisfont pas

Les deux côtés de l'équation sont multivalués par la définition de l'exponentiation complexe donnée ici, et les valeurs de gauche sont un sous-ensemble de celles de droite.

Fonctions holomorphes

Une fonction f : → est dite holomorphe si elle satisfait les équations de Cauchy-Riemann . Par exemple, toute -linéaire carte → peut être écrit sous la forme

avec des coefficients complexes a et b . Cette application est holomorphe si et seulement si b = 0 . La deuxième sommation est réelle-différentiable, mais ne satisfait pas les équations de Cauchy-Riemann .

Une analyse complexe montre certaines caractéristiques qui ne sont pas apparentes dans une analyse réelle. Par exemple, deux fonctions holomorphes f et g qui s'accordent sur un sous - ensemble ouvert arbitrairement petit de nécessairement s'accorder partout. Les fonctions méromorphes , des fonctions qui peuvent être écrites localement sous la forme f ( z )/( zz 0 ) n avec une fonction holomorphe f , partagent encore certaines des caractéristiques des fonctions holomorphes. D'autres fonctions ont des singularités essentielles , telles que sin(1/ z ) à z = 0 .

Applications

Les nombres complexes ont des applications dans de nombreux domaines scientifiques, notamment le traitement du signal , la théorie du contrôle , l' électromagnétisme , la dynamique des fluides , la mécanique quantique , la cartographie et l'analyse des vibrations . Certaines de ces applications sont décrites ci-dessous.

Géométrie

Formes

Trois points non colinéaires dans le plan déterminent la forme du triangle . Localisant les points dans le plan complexe, cette forme d'un triangle peut être exprimée par l'arithmétique complexe comme

La forme d'un triangle restera la même, lorsque le plan complexe sera transformé par translation ou dilatation (par une transformation affine ), correspondant à la notion intuitive de forme, et décrivant la similarité . Ainsi, chaque triangle est dans une classe de similarité de triangles de même forme.

Géométrie fractale

L'ensemble de Mandelbrot avec les axes réels et imaginaires étiquetés.

L' ensemble de Mandelbrot est un exemple populaire de fractale formée sur le plan complexe. Il est défini en traçant chaque emplacement où l'itération de la séquence ne diverge pas lorsqu'elle est itérée à l' infini. De même, les ensembles de Julia ont les mêmes règles, sauf où reste constant.

Triangles

Chaque triangle a une inellipse Steiner unique - une ellipse à l'intérieur du triangle et tangente aux milieux des trois côtés du triangle. Les foyers de l'ellipse de Steiner d'un triangle peuvent être trouvés comme suit, selon le théorème de Marden : Notons les sommets du triangle dans le plan complexe par a = x A + y A i , b = x B + y B i , et c = x C + y C i . Écrivez l' équation cubique , prenez sa dérivée et égalisez la dérivée (quadratique) à zéro. Le théorème de Marden dit que les solutions de cette équation sont les nombres complexes indiquant les emplacements des deux foyers de l'ellipse de Steiner.

Théorie algébrique des nombres

Construction d'un pentagone régulier à l' aide d'une règle et d'un compas .

Comme mentionné ci-dessus, toute équation polynomiale non constante (en coefficients complexes) a une solution dans . A fortiori , il en est de même si l'équation a des coefficients rationnels. Les racines de telles équations sont appelées nombres algébriques - elles sont un objet principal d'étude en théorie algébrique des nombres . Par rapport à , la clôture algébrique de , qui contient également tous les nombres algébriques, a l'avantage d'être facilement compréhensible en termes géométriques. De cette façon, les méthodes algébriques peuvent être utilisées pour étudier des questions géométriques et vice versa. Avec des méthodes algébriques, appliquant plus spécifiquement la machinerie de la théorie des champs au corps de nombres contenant les racines de l'unité , on peut montrer qu'il n'est pas possible de construire un nonagone régulier en utilisant uniquement une boussole et une règle - un problème purement géométrique.

Un autre exemple est les entiers gaussiens ; c'est-à-dire des nombres de la forme x + iy , où x et y sont des nombres entiers, qui peuvent être utilisés pour classer des sommes de carrés .

Théorie analytique des nombres

La théorie analytique des nombres étudie les nombres, souvent entiers ou rationnels, en tirant parti du fait qu'ils peuvent être considérés comme des nombres complexes, dans lesquels des méthodes analytiques peuvent être utilisées. Cela se fait en encodant les informations de la théorie des nombres dans des fonctions à valeurs complexes. Par exemple, la fonction zêta de Riemann ζ( s ) est liée à la distribution des nombres premiers .

Intégrales incorrectes

Dans les champs appliqués, les nombres complexes sont souvent utilisés pour calculer certaines intégrales impropres à valeur réelle , au moyen de fonctions à valeur complexe. Plusieurs méthodes existent pour ce faire ; voir méthodes d'intégration de contours .

Équations dynamiques

Dans les équations différentielles , il est courant de trouver d'abord toutes les racines complexes r de l' équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire ou d'un système équation et tentent alors de résoudre le système en termes de fonctions de base de la forme f ( t ) = e rt . De même, dans les équations aux différences , les racines complexes r de l'équation caractéristique du système d'équations aux différences sont utilisées, pour tenter de résoudre le système en termes de fonctions de base de la forme f ( t ) = r t .

Algèbre linéaire

La décomposition propre est un outil utile pour calculer les puissances matricielles et les exponentielles matricielles . Cependant, elle nécessite souvent l'utilisation de nombres complexes, même si la matrice est réelle (par exemple, une matrice de rotation ).

Les nombres complexes généralisent souvent des concepts conçus à l'origine dans les nombres réels. Par exemple, la transposée conjuguée généralise la transposée, les matrices hermitiennes généralisent les matrices symétriques et les matrices unitaires généralisent les matrices orthogonales .

En mathématiques appliquées

Théorie du contrôle

En théorie du contrôle , les systèmes sont souvent transformés à partir du domaine temporel au domaine de fréquence en utilisant la transformée de Laplace . Les zéros et les pôles du système sont ensuite analysés dans le plan complexe . Les techniques du locus racine , du tracé de Nyquist et du tracé de Nichols utilisent toutes le plan complexe.

Dans la méthode du locus racine, il est important que les zéros et les pôles se trouvent dans les demi-plans gauche ou droit, c'est-à-dire qu'ils aient une partie réelle supérieure ou inférieure à zéro. Si un système linéaire invariant dans le temps (LTI) a des pôles qui sont

Si un système a des zéros dans le demi-plan droit, il s'agit d'un système à phase non minimale .

Analyse des signaux

Les nombres complexes sont utilisés dans l' analyse des signaux et d'autres champs pour une description pratique des signaux variant périodiquement. Pour des fonctions réelles données représentant des quantités physiques réelles, souvent en termes de sinus et de cosinus, des fonctions complexes correspondantes sont considérées dont les parties réelles sont les quantités d'origine. Pour une onde sinusoïdale d'une fréquence donnée , la valeur absolue | z | du z correspondant est l' amplitude et l' argument arg z est la phase .

Si l'analyse de Fourier est utilisée pour écrire un signal à valeur réelle donné comme une somme de fonctions périodiques, ces fonctions périodiques sont souvent écrites comme des fonctions à valeurs complexes de la forme

et

où représente la fréquence angulaire et le nombre complexe A code la phase et l'amplitude comme expliqué ci-dessus.

Cette utilisation est également étendue au traitement du signal numérique et au traitement d'image numérique , qui utilisent des versions numériques de l'analyse de Fourier (et de l' analyse par ondelettes ) pour transmettre, compresser , restaurer et traiter autrement les signaux audio numériques , les images fixes et les signaux vidéo .

Un autre exemple, pertinent pour les deux bandes latérales de modulation d'amplitude de la radio AM, est :

En physique

Electromagnétisme et électrotechnique

En génie électrique , la transformée de Fourier est utilisée pour analyser des tensions et des courants variables . Le traitement des résistances , des condensateurs et des inductances peut ensuite être unifié en introduisant des résistances imaginaires dépendantes de la fréquence pour les deux derniers et en combinant les trois en un seul nombre complexe appelé impédance . Cette approche est appelée calcul de phaseur .

En électrotechnique, l'unité imaginaire est notée j , pour éviter toute confusion avec I , qui est généralement utilisé pour désigner le courant électrique , ou, plus particulièrement, i , qui est généralement utilisé pour désigner le courant électrique instantané.

Étant donné que la tension dans un circuit alternatif oscille, elle peut être représentée par

Pour obtenir la grandeur mesurable, la partie réelle est prise :

Le signal à valeur complexe V ( t ) est appelé la représentation analytique du signal mesurable à valeur réelle v ( t ) .

Dynamique des fluides

En dynamique des fluides , des fonctions complexes sont utilisées pour décrire l'écoulement potentiel en deux dimensions .

Mécanique quantique

Le champ des nombres complexes est intrinsèque aux formulations mathématiques de la mécanique quantique , où les espaces de Hilbert complexes fournissent le contexte pour une telle formulation qui est pratique et peut-être la plus standard. Les formules de base originales de la mécanique quantique - l' équation de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg - utilisent des nombres complexes.

Relativité

En relativité restreinte et générale , certaines formules de la métrique sur l' espace-temps deviennent plus simples si l'on considère que la composante temporelle du continuum de l'espace-temps est imaginaire. (Cette approche n'est plus standard en relativité classique, mais est utilisée de manière essentielle en théorie quantique des champs .) Les nombres complexes sont essentiels aux spineurs , qui sont une généralisation des tenseurs utilisés en relativité.

Généralisations et notions associées

Graphique de quaternion Cayley Q8 montrant les cycles de multiplication par i , j et k

Le processus d'extension du champ des réels à est connu sous le nom de construction de Cayley-Dickson . Il peut être porté plus loin à des dimensions plus élevées, donnant les quaternions et les octonions qui (en tant qu'espace vectoriel réel) sont de dimension 4 et 8, respectivement. Dans ce contexte, les nombres complexes ont été appelés les binarions .

Tout comme en appliquant la construction aux réels, la propriété d' ordre est perdue, les propriétés familières des nombres réels et complexes disparaissent à chaque extension. Les quaternions perdent leur commutativité, c'est-à-dire x · yy · x pour certains quaternions x ,  y , et la multiplication des octonions , en plus de ne pas être commutative, échoue à être associative : ( x · yzx ·( y · z ) pour certains octonions x ,  y ,  z .

Les réels, les nombres complexes, les quaternions et les octonions sont tous des algèbres de division normées sur . D'après le théorème de Hurwitz, ils sont les seuls ; les sedenions , la prochaine étape de la construction Cayley-Dickson, n'ont pas cette structure.

La construction Cayley-Dickson est étroitement liée à la représentation régulière de la pensée comme une - algèbre (un espace -vector avec une multiplication), par rapport à la base (1,  i ) . Cela signifie ce qui suit : la carte -linéaire

pour un nombre complexe fixe, w peut être représenté par une matrice 2 × 2 (une fois qu'une base a été choisie). Par rapport à la base (1,  i ) , cette matrice est

c'est-à-dire celui mentionné dans la section sur la représentation matricielle des nombres complexes ci-dessus. Bien qu'il s'agisse d' une représentation linéaire de dans les matrices réelles 2 × 2, ce n'est pas la seule. N'importe quelle matrice

a la propriété que son carré est le négatif de la matrice identité : J 2 = − I . Puis

est également isomorphe au domaine et donne une structure complexe alternative sur Ceci est généralisé par la notion de structure complexe linéaire .

Les nombres hypercomplexes se généralisent également et Par exemple, cette notion contient les nombres complexes fractionnés , qui sont des éléments de l'anneau (par opposition aux nombres complexes). Dans cet anneau, l'équation a 2 = 1 a quatre solutions.

Le champ est l'achèvement du champ des nombres rationnels , par rapport à la métrique de valeur absolue habituelle . D'autres choix de métriques sur conduisent aux champs de nombres p- adiques (pour tout nombre premier p ), qui sont de ce fait analogues à . Il n'y a pas d'autres moyens non triviaux de compléter que et par le théorème d' Ostrowski . Les clôtures algébriques de portent encore une norme, mais (contrairement à ) ne sont pas complètes par rapport à elle. L'achèvement de s'avère algébriquement clos. Par analogie, le corps est appelé nombres complexes p- adiques.

Les champs et leurs extensions de champ fini, y compris sont appelés champs locaux .

Voir également

Remarques

Les références

Ouvrages cités

Lectures complémentaires

Mathématique

Historique

  • Bourbaki, Nicolas (1998). « Fondements des mathématiques § logique : théorie des ensembles ». Éléments de l'histoire des mathématiques . Springer.
  • Burton, David M. (1995). L'histoire des mathématiques (3e éd.). New York : McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-009465-9.
  • Katz, Victor J. (2004). Une histoire des mathématiques, version brève . Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-16193-2.
  • Nahin, Paul J. (1998). Un conte imaginaire : L'histoire de . Presse de l'Université de Princeton. ISBN 978-0-691-02795-1. — Une introduction douce à l'histoire des nombres complexes et aux débuts de l'analyse complexe.
  • Ebbinghaus, HD ; Hermès, H. ; Hirzebruch, F.; Koecher, M. ; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R. (1991). Nombres (éd. relié). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2. — Une perspective avancée sur le développement historique du concept de nombre.