Algèbre de composition - Composition algebra

En mathématiques , une algèbre de composition $A$ sur un corps $K$ est une algèbre pas nécessairement associative sur $K$ avec une forme quadratique non dégénérée $N$ qui satisfait

{\style d'affichage N(xy)=N(x)N(y)}

pour tout $x$ et $y$ dans $A$ .

Une algèbre de composition comprend une involution appelée conjugaison : La forme quadratique est appelée la norme de l'algèbre. $x\mapsto x^{*}.$ ${\style d'affichage N(x)=xx^{*}}$

Une algèbre de composition ( A , *, N ) est soit une algèbre de division ou une algèbre de division , en fonction de l'existence d'une valeur non nulle v dans A tel que N ( v ) = 0, appelé un vecteur nul . Lorsque x n'est pas un vecteur nul, l' inverse multiplicatif de x est . Lorsqu'il existe un vecteur nul non nul, N est une forme quadratique isotrope , et "l'algèbre se divise". ${\textstyle {\frac {x^{*}}{N(x)}}}$

Théorème de structure

Toute algèbre de composition unitaire sur un corps $K$ peut être obtenue par application répétée de la construction de Cayley-Dickson à partir de $K$ (si la caractéristique de $K$ est différente de $2$ ) ou d'une sous-algèbre de composition à 2 dimensions (si $char(K) = 2$ ) . Les dimensions possibles d'une algèbre de composition sont $1$ , $2$ , $4$ et $8$ .

Les algèbres de composition à une dimension n'existent que lorsque $char(K) 2$ .
Les algèbres de composition de dimension 1 et 2 sont commutatives et associatives.
Algèbre de composition de dimension 2 sont des extensions de champs quadratiques de $K$ ou isomorphe à $K \oplus K$ .
Les algèbres de composition de dimension 4 sont appelées algèbres de quaternions . Ils sont associatifs mais pas commutatifs.
Les algèbres de composition de dimension 8 sont appelées algèbres d'octonions . Ils ne sont ni associatifs ni commutatifs.

Pour une terminologie cohérente, les algèbres de dimension 1 ont été appelées unarion , et celles de dimension 2 binarion .

Instances et utilisation

Lorsque le corps $K$ est pris pour les nombres complexes $C$ et la forme quadratique $z 2$ , alors quatre algèbres de composition sur $C$ sont $C lui$ - $même$ , les nombres bicomplexes , les biquaternions (isomorphe à l' anneau matriciel complexe 2 × 2 $M(2,$ $C$ $)$ ), et les bioctonions $C$ $\otimes$ $O$ , également appelés octonions complexes.

L'anneau matriciel $M(2, C)$ a longtemps été un objet d'intérêt, d'abord sous forme de biquaternions par Hamilton (1853), plus tard sous forme de matrice isomorphe, et surtout sous forme d' algèbre de Pauli .

La fonction quadratique $N (x) = x 2$ sur le corps des nombres réels forme l'algèbre de composition primordiale. Lorsque le champ $K$ est considéré comme des nombres réels $R$ , alors il n'y a que six autres algèbres de composition réelles. En deux, quatre et huit dimensions, il existe à la fois une algèbre de division et une "algèbre de division" :

binarions : nombres complexes de forme quadratique

x 2 + y 2

et nombres complexes scindés de forme quadratique

x 2 - y 2

,

quaternions et quaternions dédoublés ,

octonions et octonions fendus .

A chaque algèbre de composition est associée une forme bilinéaire B( x,y ) construite avec la norme N et une identité de polarisation :

{\style d'affichage B(x,y)\ =\ [N(x+y)-N(x)-N(y)]/2.}

Histoire

La composition des sommes de carrés a été notée par plusieurs premiers auteurs. Diophante était conscient de l'identité impliquant la somme de deux carrés, maintenant appelée identité Brahmagupta-Fibonacci , qui est également articulée comme une propriété des normes euclidiennes des nombres complexes lorsqu'elles sont multipliées. Leonhard Euler a discuté de l' identité à quatre carrés en 1748, et cela a conduit WR Hamilton à construire son algèbre à quatre dimensions des quaternions . En 1848, des tessarines ont été décrites donnant la première lumière aux nombres bicomplexes.

Vers 1818, l'érudit danois Ferdinand Degen afficha l' identité à huit carrés de Degen , qui fut plus tard liée aux normes des éléments de l' algèbre octonionique :

Historiquement, la première algèbre non associative, les nombres de Cayley ... est née dans le contexte du problème de la théorie des nombres des formes quadratiques permettant la composition... cette question de la théorie des nombres peut se transformer en une question concernant certains systèmes algébriques, les algèbres de composition. ..

En 1919, Leonard Dickson a avancé l'étude du problème de Hurwitz avec un aperçu des efforts à cette date, et en exposant la méthode de doubler les quaternions pour obtenir les nombres de Cayley . Il a introduit une nouvelle unité imaginaire $e$ , et pour les quaternions $q$ et $Q$ écrit un nombre de Cayley $q + Q e$ . En désignant le quaternion conjugué par $q'$ , le produit de deux nombres de Cayley est

{\style d'affichage (q+Qe)(r+Re)=(qr-R'Q)+(Rq+Qr')e.}

Le conjugué d'un nombre de Cayley est $q' - Q e$ , et la forme quadratique est $qq' + QQ'$ , obtenue en multipliant le nombre par son conjugué. La méthode de doublement est désormais appelée construction de Cayley-Dickson .

En 1923, le cas des algèbres réelles à formes définies positives était délimité par le théorème de Hurwitz (algèbres de composition) .

En 1931, Max Zorn a introduit un gamma (γ) dans la règle de multiplication de la construction de Dickson pour générer des octonions scindés . Adrian Albert a également utilisé le gamma en 1942 lorsqu'il a montré que le doublement de Dickson pouvait être appliqué à n'importe quel champ avec la fonction de mise au carré pour construire des algèbres binarion, quaternion et octonion avec leurs formes quadratiques. Nathan Jacobson a décrit les automorphismes des algèbres de composition en 1958.

Les algèbres de composition classiques sur $R$ et $C$ sont des algèbres unitaires . Composition algèbres sans une identité multiplicatif ont été trouvés par HP Petersson ( Petersson algèbres ) et Susumu Okubo ( Okubo algèbres ) et d' autres.

Voir également

Les références

Lectures complémentaires

Faraut, Jacques; Koranyi, Adam (1994). Analyse sur cônes symétriques . Monographies mathématiques d'Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York. p. 81-86. ISBN 0-19-853477-9. MR 1446489 .
Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction aux formes quadratiques sur les champs . Études supérieures en mathématiques . 67 . Société mathématique américaine. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023 .
Harvey, F. Reese (1990). Spineurs et étalonnages . Perspectives en mathématiques. 9 . San Diego : Presse académique . ISBN 0-12-329650-1. Zbl 0694.53002 .

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