Composition fonctionnelle - Function composition

En mathématiques , la composition de fonctions est une opération qui prend deux fonctions f et g et produit une fonction h telle que h ( x ) = g ( f ( x ) ) . Dans cette opération, la fonction g est appliquée au résultat de l'application de la fonction f à x . C'est-à-dire que les fonctions f  : XY et g  : YZ sont composées pour produire une fonction qui mappe x dans X à g ( f ( x )) dans Z .

Intuitivement, si z est une fonction de y , et y est une fonction de x , alors z est une fonction de x . La résultante composite fonction est notée g  ∘  f  : XZ , défini par ( g  ∘  f  ) ( x ) = g ( f ( x )) pour tout x dans  X . La notation g  ∘  f se lit comme " g cercle f ", " g rond f ", " g sur f ", " g composé avec f ", " g après f ", " g suivant f ", " g de f " , " f puis g ", ou " g sur f ", ou " la composition de g et f ". Intuitivement, la composition de fonctions est un processus de chaînage dans lequel la sortie de la fonction f alimente l'entrée de la fonction g .

La composition des fonctions est un cas particulier de la composition des relations , parfois aussi notée . En conséquence, toutes les propriétés de composition des relations sont vraies de la composition des fonctions, bien que la composition des fonctions ait quelques propriétés supplémentaires.

La composition des fonctions est différente de la multiplication des fonctions, et a des propriétés tout à fait différentes ; en particulier, la composition des fonctions n'est pas commutative .

Exemples

Exemple concret pour la composition de deux fonctions.
  • Composition de fonctions sur un ensemble fini : Si f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} , et g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} , alors gf = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} , comme indiqué dans la figure.
  • Composition de fonctions sur un ensemble infini : Si f : ℝ → ℝ (où est l'ensemble de tous les nombres réels ) est donnée par f ( x ) = 2 x + 4 et g : ℝ → ℝ est donnée par g ( x ) = x 3 , alors :
( Fg ) ( x ) = f ( g ( x )) = f ( x 3 ) = 2 x 3 + 4 , et
( gf )( x ) = g ( f ( x )) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3 .
  • Si l'altitude d'un avion à l'instant  t est a ( t ) , et la pression atmosphérique à l'altitude x est p ( x ) , alors ( pa )( t ) est la pression autour de l'avion à l'instant  t .

Propriétés

La composition des fonctions est toujours associative — une propriété héritée de la composition des relations . Autrement dit, si f , g et h sont composables, alors f ( g  ∘  h ) = ( f  ∘  g ) h . Comme les parenthèses ne changent pas le résultat, elles sont généralement omises.

Au sens strict, la composition g  ∘  f n'a de sens que si le codomaine de f est égal au domaine de g ; dans un sens plus large, il suffit que le premier soit un sous - ensemble du second. De plus, il est souvent commode de restreindre tacitement le domaine de f , de telle sorte que f ne produise que des valeurs dans le domaine de g . Par exemple, la composition g  ∘  f des fonctions f  : (−∞,+9] définie par f ( x ) = 9 − x 2 et g  : [0,+∞) définie par peut être définie sur l' intervalle [−3,+3] .

Les compositions de deux fonctions réelles , la valeur absolue et une fonction cubique , dans des ordres différents, montrent une non-commutativité de composition.

Les fonctions g et f sont dits déplacements à l'autre si g  ∘  f = f  ∘  g . La commutativité est une propriété spéciale, atteinte uniquement par des fonctions particulières, et souvent dans des circonstances particulières. Par exemple, | x | + 3 = | x + 3 | seulement lorsque x 0 . L'image montre un autre exemple.

La composition des fonctions un-à-un (injectives) est toujours un-à-un. De même, la composition des fonctions sur (surjectives) est toujours sur. Il s'ensuit que la composition de deux bijections est aussi une bijection. La fonction inverse d'une composition (supposée inversible) a la propriété que ( f  ∘  g ) −1 = g −1f −1 .

Des dérivés de compositions impliquant des fonctions différentiables peuvent être trouvés en utilisant la règle de la chaîne . Les dérivées supérieures de telles fonctions sont données par la formule de Faà di Bruno .

Monoïdes de composition

Supposons que l'on ait deux (ou plus) fonctions f : XX , g : XX ayant le même domaine et codomaine ; celles-ci sont souvent appelées transformations . Ensuite , on peut former des chaînes de transformations composées ensemble, telles que ffgf . De telles chaînes ont la structure algébrique d'un monoïde , appelé monoïde de transformation ou (beaucoup plus rarement) un monoïde de composition . En général, les monoïdes de transformation peuvent avoir une structure remarquablement compliquée. Un exemple notable est la courbe de Rham . L'ensemble de toutes les fonctions f : XX est appelé demi - groupe de transformation complète ou demi - groupe symétrique sur  X . (On peut en fait définir deux semi-groupes selon la façon dont on définit l'opération de semi-groupe comme la composition gauche ou droite de fonctions.)

La similitude qui transforme le triangle EFA en triangle ATB est la composition d'une homothétie H   et d'une rotation  R , dont le centre commun est  S.  Par exemple, l'image de  sous la rotation  R est  U , qui peut s'écrire  R ( A ) = U.  Et  H ( U ) = B  signifie que l' application  H transforme U   en B.  Ainsi  H ( R ( A )) = ( H ∘ R ) ( A ) = B .

Si les transformations sont bijectives (et donc inversibles), alors l'ensemble de toutes les combinaisons possibles de ces fonctions forme un groupe de transformations ; et on dit que le groupe est engendré par ces fonctions. Un résultat fondamental de la théorie des groupes, le théorème de Cayley , dit essentiellement que tout groupe n'est en fait qu'un sous-groupe d'un groupe de permutation (jusqu'à l' isomorphisme ).

L'ensemble de toutes les fonctions bijectives f : XX (appelées permutations ) forme un groupe par rapport à la composition des fonctions. C'est le groupe symétrique , aussi parfois appelé groupe de composition .

Dans le demi-groupe symétrique (de toutes les transformations), on trouve également une notion plus faible et non unique d'inverse (appelée pseudo-inverse) car le demi-groupe symétrique est un demi-groupe régulier .

Pouvoirs fonctionnels

Si Y X , alors f : XY peut composer avec lui-même ; ceci est parfois noté f 2 . C'est-à-dire:

( Ff ) (x) = f ( f ( x )) = f 2 ( x )
( Fff ) (x) = f ( f ( f ( x ))) = f 3 ( x )
( Ffff ) (x) = f ( f ( f ( f ( x )))) = f 4 ( x )

Plus généralement, pour tout entier naturel n 2 , la n ième puissance fonctionnelle peut être définie inductivement par f n = ff n −1 = f n −1f , une notation introduite par Hans Heinrich Bürmann et John Frederick William Herschel . La composition répétée d'une telle fonction avec elle-même est appelée fonction itérée .

  • Par convention, f 0 est défini comme la carte d'identité sur le domaine de f , id X .
  • Si même Y = X et f : XX admet une fonction inverse f −1 , les puissances fonctionnelles négatives f n sont définies pour n > 0 comme la puissance négative de la fonction inverse : f n = ( f −1 ) n .

Remarque : si f prend ses valeurs dans un anneau (en particulier pour f réel ou complexe ), il y a un risque de confusion, car f n pourrait également représenter le produit n fois de  f , par exemple f 2 ( x ) = f ( x ) · f ( x ) . Pour les fonctions trigonométriques, ce dernier est généralement destiné, au moins pour les exposants positifs. Par exemple, en trigonométrie , cette notation en exposant représente l' exponentiation standard lorsqu'elle est utilisée avec des fonctions trigonométriques : sin 2 ( x ) = sin( x ) · sin( x ) . Cependant, pour les exposants négatifs (en particulier −1), il se réfère néanmoins généralement à la fonction inverse, par exemple, tan −1 = arctan ≠ 1/tan .

Dans certains cas, lorsque, pour une fonction donnée f , l'équation gg = f a une solution unique g , cette fonction peut être définie comme la racine carrée fonctionnelle de f , alors notée g = f 1/2 .

Plus généralement, lorsque g n = f a une solution unique pour un nombre naturel n > 0 , alors f m / n peut être défini comme g m .

Sous des restrictions supplémentaires, cette idée peut être généralisée de sorte que le nombre d'itérations devienne un paramètre continu ; dans ce cas, un tel système est appelé un écoulement , spécifié par des solutions de l'équation de Schröder . Les fonctions itérées et les flux se produisent naturellement dans l'étude des fractales et des systèmes dynamiques .

Pour éviter l' ambiguïté, certains mathématiciens choisissent d'utiliser pour indiquer le sens de la composition, l' écriture f n ( x ) pour la n ième itérer de la fonction f ( x ) , comme, par exemple, f ∘3 ( x ) sens f ( f ( f ( x ))) . Dans le même but, f [ n ] ( x ) a été utilisé par Benjamin Peirce alors qu'Alfred Pringsheim et Jules Molk ont suggéré n f ( x ) à la place.

Notations alternatives

De nombreux mathématiciens, en particulier en théorie des groupes , omettent le symbole de composition, écrivant gf pour gf .

Au milieu du 20e siècle, certains mathématiciens ont décidé qu'écrire " gf " pour signifier " d'abord appliquer f , puis appliquer g " était trop déroutant et ont décidé de changer les notations. Ils écrivent " xf " pour " f ( x ) " et " ( xf ) g " pour " g ( f ( x )) ". Cela peut être plus naturel et sembler plus simple que d'écrire des fonctions à gauche dans certains domaines - en algèbre linéaire , par exemple, lorsque x est un vecteur ligne et que f et g désignent des matrices et que la composition se fait par multiplication matricielle . Cette notation alternative est appelée notation suffixe . L'ordre est important car la composition des fonctions n'est pas nécessairement commutative (ex. multiplication matricielle). Les transformations successives s'appliquant et composant à droite s'accordent avec la séquence de lecture de gauche à droite.

Les mathématiciens qui utilisent la notation suffixe peuvent écrire « fg », ce qui signifie d'abord appliquer f puis appliquer g , en respectant l'ordre dans lequel les symboles apparaissent dans la notation suffixe, rendant ainsi la notation « fg » ambiguë. Les informaticiens peuvent écrire « f  ; g » pour cela, ce qui permet de lever l'ambiguïté de l'ordre de composition. Pour distinguer l'opérateur de composition de gauche d'un point-virgule de texte, dans la notation Z, le caractère ⨾ est utilisé pour la composition de la relation de gauche . Étant donné que toutes les fonctions sont des relations binaires , il est correct d'utiliser le point-virgule [fat] pour la composition des fonctions également (voir l'article sur la composition des relations pour plus de détails sur cette notation).

Opérateur de composition

Étant donné une fonction  g , l' opérateur de composition C g est défini comme l' opérateur qui mappe des fonctions aux fonctions comme

Les opérateurs de composition sont étudiés dans le domaine de la théorie des opérateurs .

Dans les langages de programmation

La composition de fonctions apparaît sous une forme ou une autre dans de nombreux langages de programmation .

Fonctions multivariées

La composition partielle est possible pour les fonctions multivariées . La fonction résultant du remplacement d' un argument x i de la fonction f par la fonction g est appelée composition de f et g dans certains contextes d'ingénierie informatique, et est notée f | x i = g

Lorsque g est une simple constante b , la composition dégénère en une évaluation (partielle), dont le résultat est également appelé restriction ou cofacteur .

En général, la composition de fonctions multivariées peut impliquer plusieurs autres fonctions comme arguments, comme dans la définition de fonction récursive primitive . Étant donné f , une fonction n -aire et n fonctions m -aires g 1 , ..., g n , la composition de f avec g 1 , ..., g n , est la fonction m -aire

.

Ceci est parfois appelé le composé généralisé ou la superposition de f avec g 1 , ..., g n . La composition partielle en un seul argument mentionné précédemment peut être instanciée à partir de ce schéma plus général en définissant toutes les fonctions d'argument sauf une comme des fonctions de projection convenablement choisies . Ici, g 1 , ..., g n peut être vu comme une seule fonction vecteur/ tuple dans ce schéma généralisé, auquel cas c'est précisément la définition standard de la composition de fonction.

Un ensemble d' opérations finitaires sur un ensemble de base X est appelé un clone s'il contient toutes les projections et est fermé par composition généralisée. Notez qu'un clone contient généralement des opérations d' arités diverses . La notion de commutation trouve également une généralisation intéressante dans le cas multivarié ; on dit qu'une fonction f d'arité n commute avec une fonction g d'arité m si f est un homomorphisme préservant g , et vice versa c'est-à-dire :

.

Une opération unaire commute toujours avec elle-même, mais ce n'est pas nécessairement le cas pour une opération binaire (ou d'arité supérieure). Une opération binaire (ou d'arité supérieure) qui commute avec elle-même est appelée médiale ou entropique .

Généralisations

La composition peut être généralisée à des relations binaires arbitraires . Si RX × Y et SY × Z sont deux relations binaires, leur composition RS est la relation définie par {( x , z ) ∈ X × Z  : yY . ( x , y ) R ( y , z ) S } . Considérant une fonction comme un cas particulier d'une relation binaire (à savoir les relations fonctionnelles ), la composition de la fonction satisfait la définition de la composition de la relation. Un petit cercle RS a été utilisé pour la notation infixée de composition des relations , ainsi que des fonctions. Cependant, lorsqu'elle est utilisée pour représenter la composition de fonctions , la séquence de texte est inversée pour illustrer les différentes séquences d'opérations en conséquence.

La composition est définie de la même manière pour les fonctions partielles et le théorème de Cayley a son analogue appelé le théorème de Wagner-Preston .

La catégorie des ensembles avec des fonctions comme morphismes est la catégorie prototypique . Les axiomes d'une catégorie sont en fait inspirés des propriétés (et aussi de la définition) de la composition des fonctions. Les structures données par la composition sont axiomatisées et généralisées dans la théorie des catégories avec le concept de morphisme en tant que remplacement théorique des catégories de fonctions. L'ordre inversé de composition dans la formule ( f  ∘  g ) −1 = ( g −1f −1 ) s'applique à la composition de relations utilisant des relations inverses , et donc en théorie des groupes . Ces structures forment des catégories de poignards .

Typographie

Le symbole de la composition est codé comme U + 2218 RING OPÉRATEUR (HTML  ∘ · ∘, ∘ ); voir l' article Symbole de degré pour les caractères Unicode d'apparence similaire. En TeX , c'est écrit \circ.

Voir également

Remarques

Les références

Liens externes