Espace de configuration (physique) - Configuration space (physics)

En mécanique classique , les paramètres qui définissent la configuration d'un système sont appelés coordonnées généralisées , et l'espace vectoriel défini par ces coordonnées est appelé l' espace de configuration du système physique . Il arrive souvent que ces paramètres satisfassent à des contraintes mathématiques, telles que l'ensemble des configurations réelles du système est une variété dans l'espace des coordonnées généralisées. Ce manifold est appelé le manifold de configuration du système. Notez qu'il s'agit d'une notion d'espace de configuration "sans restriction", c'est-à-dire dans lequel différentes particules ponctuelles peuvent occuper la même position. En mathématiques, en particulier en topologie, une notion d' espace de configuration «restreint» est principalement utilisée, dans laquelle les diagonales, représentant des particules «en collision», sont supprimées.

Exemple: une particule dans l'espace 3D

La position d'une seule particule se déplaçant dans l' espace 3 euclidien ordinaire est définie par le vecteur , et donc son espace de configuration est . Il est classique d'utiliser le symbole pour un point dans l'espace de configuration; c'est la convention à la fois dans la formulation hamiltonienne de la mécanique classique et dans la mécanique lagrangienne . Le symbole est utilisé pour désigner les moments; le symbole fait référence aux vitesses.

Une particule peut être contrainte de se déplacer sur une variété spécifique . Par exemple, si la particule est attachée à une liaison rigide, libre de se balancer autour de l'origine, elle est effectivement contrainte de se trouver sur une sphère. Son espace de configuration est le sous-ensemble de coordonnées dans lequel définissent des points sur la sphère . Dans ce cas, on dit que la variété est la sphère, ie .

Pour n particules ponctuelles déconnectées et sans interaction, l'espace de configuration est . En général, cependant, on s'intéresse au cas où les particules interagissent: par exemple, ce sont des emplacements spécifiques dans certains assemblages d'engrenages, poulies, billes de roulement, etc. souvent contraints de se déplacer sans glisser. Dans ce cas, l'espace de configuration n'est pas tout , mais le sous-espace (sous-variété) des positions autorisées que les points peuvent prendre.

Exemple: corps rigide dans l'espace 3D

L'ensemble de coordonnées qui définissent la position d'un point de référence et l'orientation d'un cadre de coordonnées attaché à un corps rigide dans un espace tridimensionnel forme son espace de configuration, souvent indiqué où représente les coordonnées de l'origine du cadre attaché au corps et représente les matrices de rotation qui définissent l'orientation de ce cadre par rapport à un cadre au sol. Une configuration du corps rigide est définie par six paramètres, trois de et trois de , et est dite avoir six degrés de liberté .

Dans ce cas, l'espace de configuration est à six dimensions et un point n'est qu'un point dans cet espace. La "localisation" de dans cet espace de configuration est décrite en utilisant des coordonnées généralisées ; ainsi, trois des coordonnées pourraient décrire l'emplacement du centre de masse du corps rigide, tandis que trois autres pourraient être les angles d'Euler décrivant son orientation. Il n'y a pas de choix canonique des coordonnées; on pourrait aussi choisir une pointe ou une extrémité du corps rigide, au lieu de son centre de masse; on peut choisir d'utiliser des quaternions au lieu des angles d'Euler, et ainsi de suite. Cependant, le paramétrage ne modifie pas les caractéristiques mécaniques du système; toutes les différentes paramétrisations décrivent finalement la même variété (à six dimensions), le même ensemble de positions et d'orientations possibles.

Certaines paramétrages sont plus faciles à utiliser que d'autres, et de nombreuses déclarations importantes peuvent être faites en travaillant sans coordonnées. Des exemples d'énoncés sans coordonnées sont que l' espace tangent correspond aux vitesses des points , tandis que l' espace cotangent correspond aux moments. (Les vitesses et les impulsions peuvent être connectées; pour le cas le plus général et abstrait, cela se fait avec la notion plutôt abstraite de la forme tautologique .)

Exemple: bras robotique

Pour un bras robotisé constitué de nombreuses liaisons rigides, l'espace de configuration se compose de l'emplacement de chaque liaison (considérée comme un corps rigide, comme dans la section ci-dessus), sous réserve des contraintes de la façon dont les liaisons sont fixées les unes aux autres, et leur amplitude de mouvement autorisée. Ainsi, pour les liaisons, on pourrait considérer l'espace total

sauf que tous les divers attachements et contraintes signifient que tous les points de cet espace ne sont pas accessibles. Ainsi, l'espace de configuration est nécessairement un sous-espace de l' espace de configuration -rigid-body.

Notez cependant qu'en robotique, le terme espace de configuration peut également faire référence à un sous-ensemble encore plus réduit: l'ensemble des positions accessibles par l' effecteur terminal d' un robot . Cette définition, cependant, conduit à des complexités décrites par l' holonomie : c'est-à-dire qu'il peut y avoir plusieurs manières différentes d'agencer un bras de robot pour obtenir un emplacement particulier de l'effecteur terminal, et il est même possible de faire bouger le bras du robot tout en gardant le effecteur d'extrémité stationnaire. Ainsi, une description complète du bras, adapté à une utilisation en cinématique, nécessite la spécification de l' ensemble des positions et angles d'articulation, et pas seulement de certains d'entre eux.

Les paramètres d'articulation du robot sont utilisés comme coordonnées généralisées pour définir les configurations. L'ensemble des valeurs des paramètres de jonction est appelé espace de jonction . Les équations cinématiques avant et inverse d' un robot définissent des cartes entre les configurations et les positions des effecteurs d'extrémité, ou entre l'espace articulaire et l'espace de configuration. La planification du mouvement du robot utilise ce mappage pour trouver un chemin dans l'espace articulaire qui fournit un itinéraire réalisable dans l'espace de configuration de l'effecteur terminal.

Définition formelle

En mécanique classique , la configuration d'un système est constituée des positions de tous les composants soumis à des contraintes cinématiques.

Espace de phase

L'espace de configuration est insuffisant pour décrire complètement un système mécanique: il ne prend pas en compte les vitesses. L'ensemble des vitesses disponibles pour un système définit un plan tangent au manifold de configuration du système. En un point , ce plan tangent est désigné par . Les vecteurs Momentum sont des fonctionnelles linéaires du plan tangent, appelées vecteurs cotangents; pour un point , ce plan cotangent est noté . L'ensemble des positions et des moments d'un système mécanique forme le faisceau cotangent du collecteur de configuration . Cette plus grande variété est appelée l' espace des phases du système.

Territoire de l'État

En mécanique quantique , le concept analogue s'appelle l' espace d'états. Un ensemble assez différent de formalismes et de notations est utilisé dans ce cas. L'analogue d'une «particule ponctuelle» devient un point unique dans la ligne projective complexe , également connue sous le nom de sphère de Bloch . C'est complexe, car une fonction d'onde de mécanique quantique a une phase complexe; elle est projective parce que la fonction d'onde est normalisée à la probabilité unitaire. Autrement dit, étant donné une fonction d'onde, on est libre de la normaliser par la probabilité totale , la rendant ainsi projective.

Voir également

Les références

  1. ^ John J. Craig, Introduction à la robotique: mécanique et contrôle , 3e éd. Prentice-Hall, 2004
  2. ^ Sussman, Gerald (2001). Structure et interprétation de la mécanique classique . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN   0262194554 .

Liens externes