Surface conique - Conical surface

Une surface conique circulaire

En géométrie , une surface conique ( générale ) est la surface illimitée formée par l'union de toutes les lignes droites qui passent par un point fixe - le sommet ou le sommet - et tout point d'une courbe de l'espace fixe - la directrice - qui ne contient pas le sommet. Chacune de ces lignes est appelée une génératrice de la surface.

Chaque surface conique est réglée et développable . En général, une surface conique se compose de deux moitiés non délimitées congruentes reliées par le sommet. Chaque moitié s'appelle une nappe et est l'union de tous les rayons qui partent du sommet et passent par un point d'une courbe spatiale fixe. (Dans certains cas, cependant, les deux nappes peuvent se croiser, voire coïncider avec toute la surface.) Parfois, le terme "surface conique" est utilisé pour désigner une seule nappe.

Si la directrice est un cercle , et le sommet est situé sur l' axe du cercle (la ligne qui contient le centre de et est perpendiculaire à son plan), on obtient la surface conique circulaire droite . Ce cas particulier est souvent appelé cône , car c'est l'une des deux surfaces distinctes qui délimitent le solide géométrique de ce nom. Cet objet géométrique peut également être décrit comme l'ensemble de tous les points balayés par une ligne qui intercepte l'axe et tourne autour de lui ; ou l'union de toutes les lignes qui coupent l'axe à un point fixe et à un angle fixe . L' ouverture du cône est l'angle .

Plus généralement, lorsque la directrice est une ellipse , ou une conique quelconque , et que le sommet est un point arbitraire non sur le plan de , on obtient un cône elliptique ou une quadrique conique , qui est un cas particulier d'une surface quadrique .

Une surface cylindrique peut être considérée comme un cas limite d'une surface conique dont le sommet est déplacé vers l'infini dans une direction particulière. En effet, en géométrie projective, une surface cylindrique n'est qu'un cas particulier d'une surface conique.

Équations

Une surface conique peut être décrite paramétriquement comme

,

où est le sommet et est la directrice.

Une surface conique circulaire droite d'ouverture , dont l'axe est l' axe des coordonnées, et dont le sommet est l'origine, elle est décrite paramétriquement comme

où et s'étendent sur et , respectivement. Sous forme implicite , la même surface est décrite par où

Plus généralement, une surface conique circulaire droite avec un sommet à l'origine, un axe parallèle au vecteur , et une ouverture , est donnée par l' équation vectorielle implicite où

ou

où , et désigne le produit scalaire .

En trois coordonnées, x, y et z, une surface conique de directrice elliptique, de sommet à l'origine, est donnée par cette équation homogène de degré 2 :

Voir également