Problème d'encastrement de Connes - Connes embedding problem

Le problème de plongement de Connes , formulé par Alain Connes dans les années 1970, est un problème majeur de la théorie de l' algèbre de von Neumann . Pendant ce temps, le problème a été reformulé dans plusieurs domaines différents des mathématiques. Dan Voiculescu développant sa théorie de l'entropie libre a découvert que le problème d'encastrement de Connes est lié à l'existence de micro-états. Certains résultats de la théorie des algèbres de von Neumann peuvent être obtenus en supposant une solution positive au problème. Le problème est lié à certaines questions fondamentales de la théorie quantique, qui ont conduit à la réalisation qu'il a également des implications importantes en informatique.

Le problème admet un certain nombre de formulations équivalentes. Notamment, cela équivaut aux problèmes de longue date suivants :

• La conjecture de QWEP de Kirchberg en C * -algèbre théorie
• Le problème de Tsirelson en théorie de l'information quantique
• Le prédual de toute algèbre de von Neumann (séparable) est représentable de manière finie dans la classe des traces.

En janvier 2020, Ji, Natarajan, Vidick, Wright et Yuen ont annoncé un résultat dans la théorie de la complexité quantique qui implique une réponse négative au problème d'intégration de Connes.

Déclaration

Soit un ultrafiltre libre sur les nombres naturels et soit R le facteur hyperfini de type II ₁ avec trace . On peut construire l'ultrapuissance comme suit : soit l'algèbre de von Neumann des suites normées et soit . Le quotient s'avère être un facteur II ₁ avec trace , où est toute séquence représentative de . ${\displaystyle \omega }$${\style d'affichage \tau }$${\displaystyle R^{\omega }}$${\displaystyle l^{\infty }(R)=\{(x_{n})_{n}\subseteq R:\sup _{n}||x_{n}||<\infty \}}$${\displaystyle I_{\omega }=\{(x_{n})\in l^{\infty }(R):\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}^{*} x_{n})^{\frac {1}{2}}=0\}}$${\displaystyle R^{\omega }=l^{\infty }(R)/I_{\omega }}$${\displaystyle \tau _{R^{\omega }}(x)=\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}+I_{\omega })}$${\style d'affichage (x_{n})_{n}}$${\style d'affichage x}$

Le problème d'imbrication de Connes demande si chaque facteur de type II ₁ sur un espace de Hilbert séparable peut être intégré dans certains . ${\displaystyle R^{\omega }}$

Une solution positive au problème impliquerait qu'il existe des sous-espaces invariants pour une grande classe d'opérateurs dans les facteurs II-1 ( Uffe Haagerup ) ; tous les groupes discrets dénombrables sont hyperlinéaires . Une solution positive au problème serait impliquée par l'égalité entre l'entropie libre et l'entropie libre définie par les micro-états ( Dan Voiculescu ). En janvier 2020, un groupe de chercheurs a affirmé avoir résolu le problème par la négative, c'est-à-dire qu'il existe des facteurs de von Neumann de type II ₁ qui n'intègrent pas une ultrapuissance du facteur hyperfini II ₁ . ${\displaystyle \chi ^{*}}$ ${\displaystyle R^{\omega }}$

La classe d'isomorphisme de est indépendante de l'ultrafiltre si et seulement si l' hypothèse du continu est vraie (Ge-Hadwin et Farah-Hart-Sherman), mais une telle propriété de plongement ne dépend pas de l'ultrafiltre car les algèbres de von Neumann agissant sur des espaces de Hilbert séparables sont, grosso modo, très petits. ${\displaystyle R^{\omega }}$

Le problème admet un certain nombre de formulations équivalentes.

Conférences dédiées au problème d'encastrement de Connes

• Atelier sur le problème de l'encastrement et la théorie de l'information quantique de Connes ; Université Vanderbilt à Nashville Tennessee; 1-7 mai 2020 ( reporté; à confirmer )
• Le problème d'intégration de Connes aux multiples facettes ; BIRS, Canada; 14 -19 juillet 2019
• École d'hiver : problème d'encastrement de Connes et théorie de l'information quantique ; Université d'Oslo, 07-11 janvier 2019
• Atelier sur les groupes sofiques et hyperlinéaires et la conjecture d'encastrement de Connes ; UFSC Florianopolis, Brésil ; 10-21 juin 2018
• Propriétés d'approximation dans les algèbres d'opérateurs et la théorie ergodique ; UCLA ; 30 avril - 5 mai 2018
• Algèbres d'opérateurs et théorie de l'information quantique ; Institut Henri Poincaré, Paris ; décembre 2017
• Atelier sur les espaces opérateurs, l'analyse harmonique et la probabilité quantique ; ICMAT, Madrid ; 20 mai-14 juin 2013
• Atelier Fields autour du problème d'intégration de Connes – Université d'Ottawa, 16-18 mai 2008

Les références

Lectures complémentaires

• Capraro, Valerio (2010). "Une enquête sur la conjecture d'intégration de Connes". arXiv : 1003.2076 [ math.OA ].
• Farah, moi; Hart, B.; Sherman, D. (2013). « Théorie des modèles des algèbres d'opérateurs I : stabilité ». Bulletin de la Société mathématique de Londres . 45 (4) : 825-838. arXiv : 0908.2790 . doi : 10.1112/blms/bdt014 . S2CID  15024863 .
• Gé ; Hadwin (2001). « Ultraproduits de C *-algèbres ». Oper. Théorie Adv. Appl . 127 : 305-326. doi : 10.1007/978-3-0348-8374-0_17 . ISBN 978-3-0348-9539-2.
• Collins, Benoît ; Dykema, Ken (2008). « Une linéarisation du problème d'encastrement de Connes » (PDF) . Journal de mathématiques de New York . 14 : 617-641.
• Sherman, David (2008). "Notes sur les automorphismes des ultra-pouvoirs des facteurs II ₁ ". arXiv : 0809.4439 [ math.OA ].
• Pisier, Gilles . « Produits tensoriels des algèbres C* et des espaces d'opérateurs : le problème de Connes-Kirchberg » (PDF) .