Quantité conservée - Conserved quantity

En mathématiques, une quantité conservée d'un système dynamique est fonction des variables dépendantes dont la valeur reste constante le long de chaque trajectoire du système.

Tous les systèmes n'ont pas conservé des quantités, et les quantités conservées ne sont pas uniques, car on peut toujours appliquer une fonction à une quantité conservée, comme l'ajout d'un nombre.

Étant donné que de nombreuses lois de la physique expriment une sorte de conservation , des quantités conservées existent généralement dans les modèles mathématiques de systèmes physiques. Par exemple, tout modèle de mécanique classique aura l'énergie mécanique en tant que quantité conservée tant que les forces impliquées sont conservatrices .

Équations différentielles

Pour un système d' équations différentielles du premier ordre

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)}$

où le gras indique des quantités vectorielles , une fonction scalaire H ( r ) est une quantité conservée du système si, pour tous les temps et conditions initiales dans un domaine spécifique,

${\ displaystyle {\ frac {dH} {dt}} = 0}$

Notez qu'en utilisant la règle de chaîne multivariée ,

${\ displaystyle {\ frac {dH} {dt}} = \ nabla H \ cdot {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ nabla H \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r }, t)}$

afin que la définition puisse s'écrire comme

${\ displaystyle \ nabla H \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t) = 0}$

qui contient des informations spécifiques au système et peut être utile pour trouver des quantités conservées ou pour établir s'il existe ou non une quantité conservée.

Mécanique hamiltonienne

Pour un système défini par l' hamiltonien H , une fonction f des coordonnées généralisées q et de l'impulsion généralisée p a une évolution dans le temps

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} = \ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ partial f} {\ partiel t }}}$

et donc est conservé si et seulement si . Désigne ici le crochet de Poisson . ${\ textstyle \ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} = 0}$${\ displaystyle \ {f, {\ mathcal {H}} \}}$

Mécanique lagrangienne

Supposons qu'un système soit défini par le lagrangien L avec des coordonnées généralisées q . Si L n'a pas de dépendance temporelle explicite (donc ), alors l'énergie E définie par ${\ textstyle {\ frac {\ partial L} {\ partial t}} = 0}$

${\ displaystyle E = \ sum _ {i} \ left [{\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ droite] -L}$

est conservé.

De plus, si , alors q est dit une coordonnée cyclique et l'impulsion généralisée p définie par ${\ textstyle {\ frac {\ partial L} {\ partial q}} = 0}$

${\ displaystyle p = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}}}}}$

est conservé. Ceci peut être dérivé en utilisant les équations d'Euler – Lagrange .

Voir également

• Système conservateur
• Fonction Lyapunov
• Système hamiltonien
• Loi de la conservation
• Théorème de Noether
• Charge (physique)
• Invariant (physique)

Les références