Constante d'intégration - Constant of integration

En calcul , la constante d'intégration , souvent notée , est un terme constant ajouté à une primitive d'une fonction pour indiquer que l' intégrale indéfinie de (c'est-à-dire l' ensemble de toutes les primitives de ), sur un domaine connexe , n'est définie que jusqu'à à une constante additive. Cette constante exprime une ambiguïté inhérente à la construction des primitives.

Plus précisément, si une fonction est définie sur un intervalle , et est une primitive de , alors l'ensemble de toutes les primitives de est donné par les fonctions , où est une constante arbitraire (ce qui signifie que toute valeur de ferait une primitive valide). Pour cette raison, l'intégrale indéfinie est souvent écrite comme , bien que la constante d'intégration puisse parfois être omise dans les listes d'intégrales pour plus de simplicité.

Origine

La dérivée de toute fonction constante est zéro. Une fois que l'on a trouvé une primitive pour une fonction , ajouter ou soustraire n'importe quelle constante nous donnera une autre primitive, car . La constante est une façon d'exprimer que chaque fonction avec au moins une primitive en aura un nombre infini.

Soit et soit deux fonctions partout dérivables. Supposons que pour tout nombre réel x . Alors il existe un nombre réel tel que pour tout nombre réel x .

Pour le prouver, notez que . Ainsi peut être remplacé par , et par la fonction constante , dans le but de prouver qu'une fonction dérivable partout dont la dérivée est toujours nulle doit être constante :

Choisissez un nombre réel et laissez . Pour tout x , le théorème fondamental du calcul , ainsi que l'hypothèse que la dérivée de s'annule, implique que

montrant ainsi qu'il s'agit d'une fonction constante.

Deux faits sont cruciaux dans cette preuve. Tout d'abord, la vraie ligne est connectée . Si la ligne réelle n'a pas été connecté, nous serions toujours pas en mesure d'intégrer de notre fixe un à tout donné x . Par exemple, si on demandait des fonctions définies sur l'union des intervalles [0,1] et [2,3], et si a était 0, alors il ne serait pas possible d'intégrer de 0 à 3, car la fonction n'est pas défini entre 1 et 2. Ici, il y aura deux constantes, une pour chaque composante connexe du domaine . En général, en remplaçant les constantes par des fonctions localement constantes , on peut étendre ce théorème à des domaines déconnectés. Par exemple, il y a deux constantes d'intégration pour , et une infinité pour , donc par exemple, la forme générale de l'intégrale de 1/ x est :

Deuxièmement, et ont été supposés être partout différentiables. Si et ne sont pas dérivables en un seul point, alors le théorème peut échouer. A titre d'exemple, laissez être la fonction step Heaviside , qui est zéro pour les valeurs négatives de x et un pour les valeurs non négatives de x , et laissez . Alors la dérivée de est nulle là où elle est définie, et la dérivée de est toujours nulle. Pourtant, il est clair que et ne diffèrent pas par une constante, même si l'on suppose que et sont partout continus et presque partout dérivables, le théorème échoue toujours. À titre d'exemple, prenez pour être la fonction Cantor et laissez à nouveau .

Par exemple, supposons que l'on veuille trouver des primitives de . L'un de ces dérivés est . Un autre est . Un troisième est . Chacun d'eux a un dérivé , ce sont donc tous des dérivés de .

Il s'avère que l'addition et la soustraction de constantes sont la seule flexibilité dont nous disposons pour trouver différentes primitives de la même fonction. C'est-à-dire que toutes les primitives sont identiques à une constante près. Pour exprimer ce fait pour , nous écrivons :

Le remplacement par un nombre produira une primitive. Cependant, en écrivant au lieu d'un nombre, on obtient une description compacte de toutes les primitives possibles de . est appelée constante d'intégration . Il est facile de déterminer que toutes ces fonctions sont en effet des dérivées de :

Nécessité

À première vue, il peut sembler que la constante est inutile, puisqu'elle peut être mise à zéro. De plus, lors de l'évaluation d' intégrales définies en utilisant le théorème fondamental du calcul , la constante s'annulera toujours avec elle-même.

Cependant, essayer de mettre la constante à zéro n'a pas toujours de sens. Par exemple, peut être intégré d'au moins trois manières différentes :

Ainsi, la mise à zéro peut toujours laisser une constante. Cela signifie que, pour une fonction donnée, il n'y a pas de « primitive la plus simple ».

Un autre problème avec la mise à zéro est que parfois nous voulons trouver une primitive qui a une valeur donnée en un point donné (comme dans un problème de valeur initiale ). Par exemple, pour obtenir la primitive de qui a la valeur 100 à x = , alors une seule valeur de fonctionnera (dans ce cas ).

Cette restriction peut être reformulée dans le langage des équations différentielles . Trouver une intégrale indéfinie d'une fonction revient à résoudre l'équation différentielle . Toute équation différentielle aura de nombreuses solutions, et chaque constante représente la solution unique d'un problème de valeur initiale bien posé . Imposer la condition que notre primitive prenne la valeur 100 à x = est une condition initiale. Chaque condition initiale correspond à une et une seule valeur de , donc sans cela il serait impossible de résoudre le problème.

Il y a une autre justification, venant de l'algèbre abstraite . L'espace de toutes les fonctions à valeur réelle (appropriées) sur les nombres réels est un espace vectoriel , et l' opérateur différentiel est un opérateur linéaire . L'opérateur mappe une fonction à zéro si et seulement si cette fonction est constante. Par conséquent, le noyau de est l'espace de toutes les fonctions constantes. Le processus d'intégration indéfinie revient à trouver une pré-image d'une fonction donnée. Il n'y a pas de pré-image canonique pour une fonction donnée, mais l'ensemble de toutes ces pré-images forme un coset . Choisir une constante revient à choisir un élément du coset. Dans ce contexte, la résolution d'un problème de valeur initiale est interprétée comme se situant dans l' hyperplan donné par les conditions initiales .

Les références